第5讲-二次函数轨迹问题

第5讲二次函数轨迹问题本讲内容本讲目标：明确本讲的知识点及考法，了解考试频率，并通过对应例题对该讲知识进行掌握．教学目标：2＋3记忆教学模式2个知识点1.抛物线特殊点的轨迹问题2.焦点与准线3个考点模块考点对应例题抛物线特殊点的轨迹问题1.抛物线顶点轨迹例12.中点的轨迹问题例2焦点与准线3.焦点与准线例3、例4、例5、例6模块一抛物线特殊点轨迹问题题型一抛物线顶点的轨迹例1.（1）已知抛物线y＝2x－4ax＋42a＋a－1，当实数a变化时，抛物线的顶点D都在某条直线l上，求直线l的解析式.解：∵y＝2x－4ax＋42a＋a－1＝2(2)xa＋a－1，∴D(2a，a－1).∵抛物线的顶点D都在某条直线l上，∴直线l的解析式为：y＝12x－1.（2）已知抛物线1C：y＝2x＋2ax＋2x－a＋1，当实数a变化时，抛物线1C的顶点D都在某条抛物线2C上，求抛物线2C的解析式.解：∵1C：y＝2x＋2ax＋2x－a＋1＝2(1)xa－2(1)a－a＋1，∴D(－a－1，－2(1)a－a＋1).∵抛物线1C的顶点D都在某条抛物线2C上，∴抛物线2C的解析式为：y＝－2x＋x＋2.练习（1）已知抛物线y＝－2x＋2ax－2(2)a的顶点为P，当a变化时，点P总在直线l上.求直线l的解析式；解：∵y＝－2x＋2ax－2(2)a＝－2()xa＋4a－4，∴P(a，4a－4).∵当a变化时，点P总在直线l上，∴直线l的解析式为：y＝4x－4.（2）已知，直线1l：y＝23x，抛物线1C：y＝a2x＋6ax＋7a的顶点A在直线1l上.求抛物线1C的解析式.解：∵1C：y＝a2x＋6ax＋7a＝a2(3)x－2a，∴A(－3，－2a).∵点A在直线1l上，∴－2a＝23×(－3)，∴a＝1，∴抛物线1C的解析式为y＝2x＋6x＋7.题型二中点的轨迹问题例2.如图，已知直线AB：y＝kx＋2k＋4与抛物线1C：y＝212x交于A、B两点.（1）直线AB总经过一个定点C，请求出点C坐标；（2）若k＝－2，点D在直线AB上，过点D作y轴的平行线交抛物线1C于点E，P是线段DE的中点，设点D在直线AB上运动时，P的运动轨迹为抛物线2C，求抛物线2C的解析式.xyABOxyPEDOBA解：（1）∵y＝kx＋2k＋4＝k(x＋2)＋4,令x＋2＝0，则x＝－2，y＝4，∴C(－2,4).（2）当k＝－2，y＝－2x，设D(m，－2m)，则E(m，212m)，P(m，214m－m)，∴y＝214x－x.练习（1）如图，抛物线y＝2x－2x－3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点P在直线BC上，过点P作PQ∥y轴交抛物线于点Q，G是线段PQ的中点，求点G的轨迹的解析式.xyQGCABPO解：易知B(3，0)，C(0，－3)，可求BC解析式为y＝x－3.设P(m，m－3)，则Q(m，2m－2m－3)，G(m，212m－12m－3)，∴y＝212x－12x－3.（2）如图，N为抛物线1C：y＝－2x＋8上一动点，点M（2，0）在x轴上，Q为线段MN的中点，设点N在抛物线1C上运动时，Q的运动轨迹为抛物线2C，求抛物线2C的解析式.xyONQM解：设N(m，－2m＋8)，则M(2，0),Q(12m＋1，－212m＋4)，2C：y＝－22x＋4x＋2.模块二焦点与准线知识导航抛物线的定义：平面内，到定点与定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，其中定点叫抛物线的焦点，定直线叫抛物线的准线.例3（1）如图，抛物线y＝212x的焦点F（0，12），准线l的解析式为y＝－12，求证：抛物线y＝212x上任意一点P到点F的距离等于它到直线l的距离，即PF＝PH.xylHOFP解：设P(x，212x)，则2PF＝2x＋2211()22x＝2211()22x，2PH＝2211()22x＝2211()22x，∴2PF＝2PH，∴PF＝PH.（2）已知点M(2，3），F（0，12），点P（m，n）为抛物线y＝212x上一动点，则用含m的式子表示PF＝21122m；PF＋PM的最小值是132.xyOPMF设P(m，212m)，则2PF＝2m＋2211()22m＝2211()22m，∴PF＝21122m.练习将抛物线211:(4)34Cyx先向左平移4个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线2C．(1)直接写出抛物线2C的解析式；(2)如图1，y轴上是否存在定点F，使得抛物线2C上任意一点P到x轴的距离与PF的长总相等？若存在，求出点F的坐标；(3)如图2，D为抛物线1C的顶点，P为抛物线2C上任意一点，过点P作PH⊥x轴于点H，连接DP，求PH＋PD的最小值及此时点P的坐标．xyOxyHDOP图1图2【解】(1)抛物线2C的解析式2114yx；(2)点F的坐标（0,2）.作PH⊥x轴于H,设得抛物线2C上点P（x，2114x），则2224222211111(0)(12)+1=(1)1416244PFxxxxxxPH.即PF＝PH.xyHFOPxyFHDOP(3)由(2)PH＝PF,∴PH＋PD＝PF＋PD,∴当F,P,D在一直线上的,PF＋PD值最小,即PH＋PD最小.此时∵F(0,2),D(4,3),∴最小值为PF＝17,又直线DF为124yx，由2124114yxyx，得117217178xy，∴点P(1172,17178).例4.如图1,P(m,n)是抛物线2114yx上任意一点,l是过点(0,－2)且与x轴平行的直线，过点P作直线PH⊥l于点H．(1)填空：m＝0时，OP＝______________，PH＝_____________；当m＝4,OP＝____________，PH＝____________.(2)对任意点P,猜想OP与PH的大小关系,并证明你的猜想；(3)如图2,若A、B是抛物线2114yx上的两个动点且AB＝6,求A、B两点到直线l的距离之和的最小值.xyHOPxyOBA图1图2【解】(1)OP＝1,PH＝1；OP＝5,PH＝5.(2)OP＝PH.设点P（x，2114x），则2224222211111(1)+1=(1)1416244POxxxxxxPH.即OP＝PH.(3)分别过点A、B作直线l的垂线，垂足分别为C、D，连接OA，OB.由(2)知OB＝BD，OA＝AC.①当AB不过O点时，在△AOB中，∵OB＋OA＞AB，∴BD＋AC＞AB＝6．②当AB过O点时，∵OB＋OA＝AB，∴BD＋AC＝AB＝6．综上所述BD＋AC≥6，即A，B两点到直线l的距离之和的最小值为6．xyCDOBA练习如图1，在以O为原点的平面直角坐标系中，抛物线214yxbxc与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C(0，－1)，连接AC，AO＝2CO，直线，过点G(0，t)且平行于x轴，1t．(1)求抛物线方程；(2)①若D(4，－m)为抛物线214yxbxc上一定点，点D到直线l的距离记为d，当d＝DO时，求t的值；②若D为抛物线214yxbxc上一动点，点D到①中的直线l的距离与OD的长是否恒相等，说明理由；(3)如图2，若E、F为上述抛物线上的两个动点，且EF＝8，线段EF的中点为M，求点M纵坐标的最小值．xylCBAOGxylMCBAOGEF图1图2【解】(1)2114yx；∵AO＝2CO，C(0,－1),∴A(－2,0),代入得抛物线方程2114yx.(2)把D(4，－m)代入抛物线方程2114yx,得m＝3,∴D(4,3),DO＝5.∴d＝5,∴t＝－2.(3)分别过点E、F作直线l的垂线，垂足分别为N、K，连接OE，OF.由(2)知EN＝EO，FK＝FO.①当EF不过O点时，在△EOF中，∵OE＋OF＞EF，∴EN＋FK＞EF＝8．②当AB过O点时，∵OE＋OF＝EF，∴EN＋FK＝OE＋OF＝EF＝8．∴EN＋FK≥8.又MH＝12(EN＋FK)≥4,∴MH的最小值为4即点M纵坐标的最小值为2．xylHKNMCBAOGEF例5如图，抛物线y＝12x2－12与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），点P是抛物线上一动点（不包括A、B），PM⊥x轴于点M，点P的横坐标为t．（1）若－1＜t＜1，求证：OP＋PM为定值，并求出该值．（2）若t＜－1或t＞1，求证：OP－PM为定值，并求出该值．yxBOAMPyxBOAAOBxyPM证明：（1）P（t，12t2－12），OP＝22211()22tt＝12t2＋12，PM＝12t2－12，∴OP＋PM＝t2．（2）P（t，12t2－12），OP＝22211()22tt＝12t2＋12，PM＝12t2－12，∴OP－PM＝1．例6.如图，过点F（0，1）的直线y＝kx＋b与抛物线y＝14x2交于M（x1，y1）和N（x2，y2）两点（其中x1＜0，x2＞0）．（1）求x1·x2的值．（2）分别过M，N作直线l：y＝－1的垂线，垂足分别是M1，N1，连接FM1，FN1，判断△M1FN1的形状，并证明你的结论．解：（1）∵直线y＝kx＋b过点F（0，1），∴b＝1；∵直线y＝kx＋1与抛物线y＝14x2交于M（x1，y1）和N（x2，y2）两点，∴可以得出：kx＋1＝14x2，整理得：14x2－kx－1＝0，∵a＝14，c＝－1，∴x1·x2＝－4，（2）△M1FN1是直角三角形（F点是直角顶点）．理由如下：∵FM12＝FF12＋M1F12＝x12＋4，FN12＝FF12＋F1N12＝x22＋4，M1N12＝（x2－x1）2＝x12＋x22－2x1x2＝x12＋x22＋8，∴FM12＋FN12＝M1N12，∴△M1FN1是以F点为直角顶点的直角三角形．N1F1M1OFMNyxl课后作业二次函数轨迹问题习1（1）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：y＝ax2－4a＋4（a＜0）经过第一象限内的定点P．①直接写出点P的坐标；②若a＝－1，点M坐标为（2，0）是x轴上的点，N为抛物线C1上的点，Q为线段MN的中点．设点N在抛物线C1上运动时，Q的运动轨迹为抛物线C2，求抛物线C2的解析式．QNOMxy解：①∵y＝ax2－4a＋4＝a（x2－4）＋4，该函数图象过第一象限内的定点P，∴x2－4＝0，解得x＝2或x＝－2（舍去），则y＝4，∴点P的坐标是（2，4）；②设点Q的坐标为（xQ，yQ），点N的坐标为（xN，yN）．∵M（2，0）．由点Q是线段MN的中点，可以求得，xN＝2xQ－2，yN＝2yQ．∵a＝－1，∴抛物线C1的解析式为y＝－x2＋8．∵点N在抛物线C1上，∴yN＝－xN2＋8．∴2yQ＝－（2xQ－2）2＋8，即yQ＝－2xQ2＋4xQ＋2，∴抛物线C2的解析式为：y＝－2x2＋4x＋2．习2（2）如图1，直线y＝kx－k2（k＞0）与抛物线y＝ax2有唯一的公共点．①求抛物线的解析式；②已知点A（0，1），直线l：y＝－1，如图2，P是抛物线上一个动点，PB⊥l于B点，连PA、PB，求证：AB平分∠OAP．图1yxOOBAPxyl：y=-1图2解：①22ykxkyax，ax2－kx＋k2＝0，△＝k2－4ak2＝0，a＝14，y＝14x2．②证明：设P（t，14t2），PA＝2221(1)4tt＝14t2＋1，PB＝14t2－（－1）＝14t2＋1，PA＝PB，∴∠PAB＝∠PBA，∵PB⊥l，∴PB∥y轴，∴∠PBA＝∠OAB，∴∠PAB＝∠PAB，∴AB平分∠OAP．