2.3-二次函数与一元二次方程、不等式

设这个矩形的一条边长为xｍ，则另一条边长为（１２－x）ｍ．由题意，得（１２－x）x＞２０，其中x∈｛x｜０＜x＜１２｝．整理得－１２x＋２０＜０，x∈｛x｜０＜x＜１２｝①.求得不等式①的解集，就得到了问题的答案．2x一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是２的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是：a＋bx＋c＞０或a＋bx＋c＜０，其中a，b，c均为常数，a≠０．2x2x问题：园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉．若栅栏的长度是２４ｍ，围成的矩形区域的面积要大于２０平方米，则这个矩形的边长为多少米？在初中，我们学习了从一次函数的观点看一元一次方程、一元一次不等式的思想方法．类似地，能否从二次函数的观点看一元二次不等式，进而得到一元二次不等式的求解方法呢？下面，我们先考察一元二次不等式－１２x＋２０＜０与二次函数y＝－１２x＋２０之间的关系．2x2x我们知道，对于一元二次方程a＋bx＋c＝０（a＞０），设Δ＝－４ac，它的根按照Δ＞０，Δ＝０，Δ＜０可分为三种情况．相应地，二次函数y＝a＋bx＋c（a＞０）的图象与x轴的位置关系也分为三种情况．因此，我们分三种情况来讨论对应的一元二次不等式a＋bx＋c＞０（a＞０）和a＋bx＋c＜０（a＞０）的解集．2x2b2x2x2x二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系判别式Δ=b2-4acΔ0Δ=0Δ0y=ax2+bx+c(a0)的图象ax2+bx+c=0(a0)的根有两个相异实根x1,x2(x1x2)有两个相等实根x1=x2=−b2a没有实数根ax2+bx+c0(a0)的解集{x|xx1,或xx2}xx≠-b2aRax2+bx+c0(a0)的解集{x|x1xx2}⌀⌀例１求不等式－５x＋６＞０的解集．2x例２求不等式９－６x＋１＞０的解集2x例３求不等式－＋２x－３＞０的解集2x课堂练习１．求下列不等式的解集：（１）（x＋２）（x－３）＞０；（２）３－７x≤１０；（３）－＋４x－４＜０；（４）－x＋１４＜０；（５）－２＋x≤－３；（６）－３x＋４＞０．2x2x2x2x2x２．当自变量x在什么范围取值时，下列函数的值等于０？大于０？小于０？（１）y＝３－６x＋２；（２）y＝２５－；（３）y＝＋６x＋１０；（４）y＝－３＋１２x－１２．2x2x2x2x例４一家车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x（单位：辆）与创造的价值y（单位：元）之间有如下的关系：y＝－２＋２２０x．若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收６０００元以上，则在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？2x例５某种汽车在水泥路面上的刹车距离s（单位：ｍ）和汽车刹车前的车速v（单位：ｋｍ／ｈ）之间有如下关系：s＝１２０v＋１１８０．刹车距离是指汽车刹车后由于惯性往前滑行的距离．在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于３９．５ｍ，那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少（精确到１ｋｍ／ｈ）？2x课堂练习１．x是什么实数时，有意义？２．如图，在长为８ｍ，宽为６ｍ的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪．如果要求花卉带的宽度相同，且草坪的面积不超过总面积的一半，那么花卉带的宽度应为多少米？12x2x３．某网店销售一批新款削笔器，每个削笔器的最低售价为１５元．若按最低售价销售，每天能卖出３０个；若一个削笔器的售价每提高１元，日销售量将减少２个．为了使这批削笔器每天获得４００元以上的销售收入，应怎样制定这批削笔器的销售价格？1.一元二次不等式的解集与其系数的关系剖析:(1)如果一元二次不等式ax2+bx+c0的解集是{x|nxm}(nm),或一元二次不等式ax2+bx+c≥0的解集是{x|n≤x≤m}(nm),那么有𝑎0,𝑚+𝑛=-𝑏𝑎,𝑚𝑛=𝑐𝑎.如果一元二次不等式ax2+bx+c0的解集是{x|xn,或xm}(nm),或一元二次不等式ax2+bx+c≥0的解集是{x|x≤n,或x≥m}(nm),那么有𝑎0,𝑚+𝑛=-𝑏𝑎,𝑚𝑛=𝑐𝑎.知识拓展(2)如果一元二次不等式ax2+bx+c0的解集是R,那么有𝑎0,𝛥=𝑏2-4𝑎𝑐0;如果一元二次不等式ax2+bx+c≥0的解集是R,那么有𝑎0,𝛥=𝑏2-4𝑎𝑐≤0.如果一元二次不等式ax2+bx+c0的解集是R,那么有𝑎0,𝛥=𝑏2-4𝑎𝑐0;如果一元二次不等式ax2+bx+c≤0的解集是R,那么有𝑎0,𝛥=𝑏2-4𝑎𝑐≤0.(3)如果一元二次不等式ax2+bx+c0的解集是⌀,那么有𝑎0,𝛥=𝑏2-4𝑎𝑐≤0;如果一元二次不等式ax2+bx+c≥0的解集是⌀,那么有𝑎0,𝛥=𝑏2-4𝑎𝑐0.如果一元二次不等式ax2+bx+c0的解集是⌀,那么有𝑎0,𝛥=𝑏2-4𝑎𝑐≤0;如果一元二次不等式ax2+bx+c≤0的解集是⌀,那么有𝑎0,𝛥=𝑏2-4𝑎𝑐0.题型一题型二题型三题型四题型一解一元二次不等式【例1】解下列不等式:(1)x(7-x)≥12;(2)x22(x-1).分析:由于所给的不等式不是一般形式,故应先将它们转化为一般形式,即不等式(1)可以化为x2-7x+12≤0再求解,不等式(2)可以化为x2-2x+20再求解.解:(1)原不等式可化为x2-7x+12≤0,Δ=10,对应方程x2-7x+12=0的两根为x1=3,x2=4,所以原不等式的解集为{x|3≤x≤4}.(2)原不等式可以化为x2-2x+20,因为判别式Δ=4-8=-40,方程x2-2x+2=0无实根,所以原不等式的解集为R.题型一题型二题型三题型四反思解一元二次不等式的一般步骤:(1)将不等式等价变形为一般形式,使二次项系数大于零;(2)计算对应方程的判别式;(3)求出相应的一元二次方程的根,或根据判别式说明方程没有实根;(4)根据一元二次不等式的解集写出原不等式的解集.题型一题型二题型三题型四【变式训练1】解下列不等式:(1)x2-5x-60;(2)4(2x2-2x+1)x(4-x).解:(1)方程x2-5x-6=0的两根为x1=-1,x2=6.结合二次函数y=x2-5x-6的图象(图略),知原不等式的解集为{x|x-1,或x6}.(2)由原不等式得8x2-8x+44x-x2.故原不等式等价于9x2-12x+40.解方程9x2-12x+4=0,得x1=x2=23.结合二次函数y=9x2-12x+4的图象(图略),知原不等式的解集为𝑥𝑥≠23.题型一题型二题型三题型四反思已知一元二次不等式的解集求参数的值的步骤:(1)确定x2的系数a≠0;(2)明确不等式ax2+bx+c0(或0,或≥0,或≤0)的解集的“端点”是相应的一元二次方程ax2+bx+c=0的根;(3)借助一元二次方程根与系数的关系,列出关于参数的方程(组),解得参数的值.题型一题型二题型三题型四【变式训练2】已知关于x的不等式x2+ax+b0的解集为(1,2),试求关于x的不等式bx2+ax+10的解集.解:由条件知1,2是方程x2+ax+b=0的两根,∴-𝑎=1+2,𝑏=1×2,即𝑎=-3,𝑏=2.∴不等式bx2+ax+10即为2x2-3x+10.解得x12或x1.∴不等式的解集为-∞,12∪(1,+∞).题型一题型二题型三题型四题型三含参数的一元二次不等式的解法【例3】解关于x的不等式ax2-(a+1)x+10(a∈R).分析:先对二次项系数a分大于0、小于0、等于0讨论,并分别求出对应方程的解,再根据解的大小写出解集.解:当a=0时,原不等式即为-x+10,解得x1;当a0时,原不等式化为𝑥-1𝑎(x-1)0.∵1𝑎1,∴解不等式得x1或x1𝑎;当a0时,原不等式化为𝑥-1𝑎(x-1)0.若a=1,则1𝑎=1,不等式无解;若a1,则1𝑎1,解不等式得1𝑎𝑥1;题型一题型二题型三题型四若0a1,则1𝑎1,解不等式得1x1𝑎.综上,当a0时,不等式的解集为𝑥𝑥1𝑎,或𝑥1;当a=0时,不等式的解集为{x|x1};当0a1时,不等式的解集为𝑥1𝑥1𝑎;当a=1时,不等式的解集为⌀;当a1时,不等式的解集为𝑥1𝑎𝑥1.题型一题型二题型三题型四反思含参数不等式的解题步骤为:(1)将二次项系数化为正数;(2)判断相应的方程是否有根(如果可以直接分解因式,可省去此步);(3)根据根的情况写出相应的解集.若方程有两个相异实根,为了写出解集还要比较两个根的大小.另外,当二次项含有参数时,应先讨论二次项系数是否为0.题型一题型二题型三题型四题型二已知一元二次不等式的解集求参数的值【例2】关于x的不等式ax2+bx+2≤0的解集是{x|x≤-1,或x≥2},求a,b的值.分析:-1和2是关于x的一元二次方程ax2+bx+2=0的两根,借助于一元二次方程根与系数的关系,求出a与b的值.解:由ax2+bx+2≤0的解集是{x|x≤-1,或x≥2},知a0,且ax2+bx+2=0的两根分别是x1=-1,x2=2,∴-𝑏𝑎=1,2𝑎=-2,∴a=-1,b=1.题型一题型二题型三题型四【变式训练3】解关于x的不等式x2-ax-2a20(a∈R).解:原不等式转化为(x-2a)(x+a)0.对应的一元二次方程的根为x1=2a,x2=-a.(1)当a0时,x1x2,不等式的解集为{x|-ax2a};(2)当a=0时,原不等式化为x20,无解;(3)当a0时,x1x2,不等式的解集为{x|2ax-a}.综上所述,当a0时,原不等式的解集为{x|-ax2a};当a=0时,原不等式的解集为⌀;当a0时,原不等式的解集为{x|2ax-a}.题型一题型二题型三题型四题型四易错辨析易错点:忽略二次项系数的正负致错【例4】解不等式(2-x)(x+3)0.错解:方程(2-x)(x+3)=0的解为x1=-3,x2=2,所以原不等式的解集为{x|-3x2}.错因分析:该不等式的二次项系数是负的,应先化为正的再求解.正解:原不等式可化为(x-2)(x+3)0,对应方程(x-2)(x+3)=0的两解为x1=-3,x2=2,所以原不等式的解集为{x|x-3,或x2}.小结-28-第1课时一元二次不等式及其解法2020/10/13申占宝28东风中学养正毓德自强不息