2.5夹角的计算

5.夹角的计算学习目标：1.了解直线间的夹角、平面间的夹角、直线与平面间的夹角的形成；2.理解直线间的夹角、平面间的夹角、直线与平面间的夹角的定义；3.掌握用向量方法求解夹角间的计算.学习重点：直线间的夹角、平面间的夹角、直线与平面间的夹角.学习难点：用向量法解决线线角、线面角、面面角的计算.1．两直线的夹角当两条直线l1与l2时，把两条直线交角中，范围在内的角叫做两直线的夹角．2．异面直线l1与l2的夹角(1)定义：直线l1与l2是异面直线，在直线l1上任取一点A作AB∥l2，我们把和直线AB的夹角叫作异面直线l1与l2的夹角．共面[0，π2]直线l1(2)计算：设直线l1与l2的方向向量分别为s1、s2.当0≤〈s1，s2〉≤π2时，直线l1与l2的夹角等于；当π2〈s1，s2〉≤π时，直线l1与l2的夹角等于．3．平面间的夹角(1)定义：平面π1与π2相交于直线l，点R为直线l上任意一点，过点R，在上作直线l1⊥l，在上作直线l2⊥l，则的夹角叫作平面π1与π2的夹角．〈s1，s2〉π－〈s1，s2〉平面π1平面π2直线l1和l2(2)计算：已知平面π1和π2的法向量分别为n1和n2，当0≤〈n1，n2〉≤π2时，平面π1和π2的夹角等于〈n1，n2〉；当π2〈n1，n2〉≤π时，平面π1和π2的夹角等于π－〈n1，n2〉．直线与平面的夹角(1)平面外一条直线与它在该平面内的投影的夹角叫作该直线与此平面的夹角．(2)如果一条直线与一个平面垂直，这条直线与平面的夹角为2.(3)如果一条直线与一个平面平行或在平面内，这条直线与平面的夹角为0.1．求空间角时，要注意角的范围．(1)异面直线夹角范围是0，π2；(2)两平面夹角范围是0，π2.2．求两异面直线的夹角、两平面夹角时可用定义求解；也可用直线的方向向量、平面的法向量的夹角进行求解，但要注意其转化关系．归纳、领悟[例1]如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，∠BAD＝90°，AD∥BC，AB＝BC＝a，AD＝2a，且PA⊥底面ABCD，∠PDA＝30°，AE⊥PD，E为垂足．(1)求证：BE⊥PD；(2)求异面直线AE与CD夹角的余弦值．[思路点拨]要证明两直线垂直，或求两直线的夹角，只要适当地建立空间直角坐标系，求出两直线对应的方向向量，然后借助于这两个向量的数量积公式即可求得．[精解详析]以A为原点，AB，AD，AP所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，如图，则A(0,0,0)，B(a,0,0)，C(a，a,0)，D(0,2a,0)．又∵∠PDA＝30°，∴AP＝AD·tan30°＝2a·33＝233a，AE＝AD·sin30°＝2a·12＝a.过E作EF⊥AD，垂足为F，在Rt△AFE中，AE＝a，∠EAF＝60°，∴AF＝a2，EF＝32a.∴P0，0，233a，E0，12a，32a.(1)证明：BE＝－a，12a，32a，PD＝0，2a，－233a，∴BE·PD＝0＋a2－a2＝0.∴BE⊥PD，∴BE⊥PD.(2)AE＝0，12a，32a，CD＝(－a，a,0)．则cos〈AE，CD〉＝AE·CD|AE||CD|＝12a22a·a＝24，即AE与CD的夹角的余弦值为24[一点通]（1）求两异面直线的夹角时，可用向量法转化为求两异面直线的方向向量a，b的夹角〈a，b〉．但两异面直线的夹角范围是0，π2，所以当〈a，b〉∈π2，π时，两异面直线的夹角应为π－〈a，b〉．（2）合理建立空间直角坐标系，可使两异面直线的夹角问题转化为向量的坐标运算，也可选用基向量法进行求解．[例2](12分)如图，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA＝AC＝1，BC＝2，求平面PAB与平面PBC的夹角的余弦值．[思路点拨]建立空间直角坐标系，利用法向量进行求解．[精解详析]如图建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(2，1,0)，C(0,1,0)，P(0,0,1)，AP＝(0,0,1)，AB＝(2，1,0)，CB＝(2，0,0)，CP＝(0，－1,1)．设平面PAB的法向量为m＝(x，y，z)，mAB,mAP,则即mAB=0，mAP=0.∴x，y，z·0，0，1＝0，x，y，z·2，1，0＝0.∴y＝－2x，z＝0.令x＝1，得m＝(1，－2，0)，设平面PBC的法向量为n＝(x′，y′，z′)，则nCB,nCP,即nCB=0，nCP=0.∴x′，y′，z′·2，0，0＝0，x′，y′，z′·0，－1，1＝0.∴x′＝0，y′＝z′.令y′＝1，∴n＝(0,1,1)．∴cos〈m，n〉＝m·n|m||n|＝－33.而平面PAB与平面PBC夹角∈0，π2∴平面PAB与平面PBC夹角的余弦值为33.[一点通]求两平面的夹角有两种方法：(1)定义法：在两个平面内分别找出与两平面交线垂直的直线，这两条直线的夹角即为两平面的夹角．也可转化为求与两面交线垂直的直线的方向向量的夹角，但要注意其异同．(2)法向量法：分别求出两平面的法向量n1，n2，则两平面的夹角为〈n1，n2〉当〈n1，n2〉∈0，π2时或π－〈n1，n2〉当〈n1，n2〉∈π2，π时.[例3]在正方体AC1中，试求直线A1B与平面A1B1CD的夹角．[思路点拨]建立空间直角坐标系，得到相关点的坐标，准确找出A1B在平面A1B1CD内的投影，利用空间向量的数量积可求夹角．也可利用直线A1B的方向向量与平面A1B1CD的法向量的夹角求解．[精解详析]法一：如图以D为原点，分别以DA、DC、DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．设正方体AC1的棱长为1，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0，1,0)，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B1(1,1,1)．连接BC1，CB1相交于点O，则BO⊥B1C，BO⊥A1B1，B1C∩A1B1＝B1.∴BO⊥平面A1B1CD，A1O就是A1B在平面A1B1CD上的投影，故∠BA1O就是A1B与平面A1B1CD的夹角，又∠BA1O是1AB与1AO的夹角，且1AO＝－12，1，－12，1AB＝(0,1，－1)，∴cos∠BA1O＝1AO·1AB|1AO||1AB|＝1＋12－122＋12＋－122·02＋12＋－12＝323＝32，∴∠BA1O＝30°，即A1B与平面A1B1CD的夹角为30°.法二：建系方法同法一．易求1AB＝(0,1，－1)．又∵B1C⊥BC1，DC⊥BC1，∴BC1⊥平面A1B1CD.∴1BC为平面A1B1CD的一个法向量．而B(1,1,0)，C1(0,1,1)，∴1BC＝(－1,0,1)．∴cos〈1BC，1AB〉＝1BC·1AB|1BC||1AB|＝－12·2＝－12.设直线A1B与平面A1B1CD所成角为θ，则sinθ＝|cos〈1BC，1AB〉|＝12，又θ∈[0，π2]，∴θ＝30°.[一点通]在用向量法求直线OP与α夹角θ时一般有两种途径：一是用定义，求OP在平面α上的投影OP′，则cosθ＝|cos〈OP，OP〉|；二是求出平面的法向量n，则sinθ＝|cos〈n，OP〉|.[例4](12分)如图，在三棱锥A－BCD中，侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，且AD＝3，BD＝CD＝1.另一个侧面ABC是等边三角形．点A在底面BCD上的射影为H.(1)以D点为原点建立空间直角坐标系，并求A，B，C的坐标；(2)求平面BAC与平面DAC的夹角的余弦值．(3)在线段AC上是否存在一点E，使ED与面BCD的夹角为30°？若存在，确定点E的位置；若不存在，说明理由．[思路点拨](1)建立坐标系，证明AD·BC＝0.(2)求两平面法向量的夹角．(3)先假设存在点E满足条件，再建立关于点E的坐标的方程，判断方程是否有符合题意的解，即可得出结论．[精解详析](1)由题意AB＝AC＝2，∴BC＝2.则△BDC为等腰直角三角形．连接BH、CH，∴DB⊥BH，CH⊥BH.∴四边形BHCD为正方形，以DC为y轴，DB为x轴建立空间直角坐标系如图所示，(2分)则A(1,1,1)，B(1,0,0)，C(0,1,0)．(4分)(2)设平面ABC的法向量为n1＝(x，y，z)，则由n1⊥BC知：n1·BC＝－x＋y＝0.同理，由n1⊥CA知：n1·CA＝x＋z＝0.可取n1＝(1,1，－1)．(6分)同理，可求得平面ACD的一个法向量为n2＝(1,0，－1)．则cos〈n1，n2〉＝n1·n2|n1|·|n2|＝1＋0＋13·2＝63，即所求平面BAC与平面DAC的夹角的余弦值为63.(8分)(3)假设存在E满足条件，设CE＝xCA＝(x,0，x)(0≤x≤1)，则DE＝DC＋CE＝(0,1,0)＋(x,0，x)＝(x,1，x)，平面BCD的一个法向量为n＝(0,0,1),∵ED与平面BCD的夹角为30°，由图可知DE与n的夹角为60°，所以cos〈DE，n〉＝DE·n|DE||n|＝x1＋2x2＝cos60°＝12.(10分)则2x＝1＋2x2，解得x＝22，即E(22，1，22)，(11分)|AC|＝2，|CECE|＝1.故线段AC上存在点E(与C的距离为1)，使ED与平面BCD的夹角为30°.(12分)[一点通]解决存在性探究问题，一般先假设存在，然后进行推理计算，推出的结果若符合题意，则说明假设正确．若出现矛盾或得出相反的结论，则否定假设，说明不存在．用向量法求两异面直线的夹角θ及两平面的夹角φ时，要注意两异面直线的夹角、两平面夹角与直线的方向向量a，b的夹角及两平面的法向量n1，n2的夹角的关系：①当cos〈a，b〉0时，cosθ＝－cos〈a，b〉，当cos〈a，b〉≥0时，cosθ＝cos〈a，b〉，即cosθ＝|cos〈a，b〉|.②当cos〈n1，n2〉≥0时，cosφ＝cos〈n1，n2〉，当cos〈n1，n2〉0时，cosφ＝－cos〈n1，n2〉，即cosφ＝|cos〈a，b〉|.回顾小结