经济学中常用的函数

1§1.3经济学中常用的函数一.常用的几个经济函数二.建立函数关系举例2一.常用的几个经济函数1.需求函数(1)需求函数商品的需求量Qd,受消费者的偏好收入及()dQfp需求函数一般是p的递减函数.最常见、最()dQfpapb(a、b均为正常数)则称此函数为需求函数.商品价格等等因素的影响.但最主要的是价格因素;若不考其它因素,把需求量Qd只看成价格p的函数,即简单的需求函数是如下形式的线性需求函数()dQfp§1.3经济学中常用的函数3这个函数的几何形态,是一条反应需求量与价格关系的bopba特别地,当价格p=0时,需求量Qd=b,它表示人们的Qd曲线,我们称之为需求曲线,如右图.需要是有限的.b/a为最大销售价格,此时需求量为零.作价格函数.当然价格p也可表示成需求量Qd的函数,称()dpgQ4解设价格由70元增加k个3元,则例1某产品销售70元/件,可买出10000件,价格每增1(70),3kp而170p则加3元就少买300件,求需求量Qd与价格p的函数.100,3k从而10000300dQk703,pk17000100,(70,170]dQpp故5(2)供给函数生产者对商品的生产是由多方面因素所决定的,其中()sQgpcpd(c、d均为正常数)反应供给量与价格关系的曲线,我们称之为供给曲线,opQdc–d价格是最主要的因素;一般地,价格越高,就越要加大供应,因此供给量Qs是价格p的单增函数.最简单的供给函数是如下形式的线性供给函数.如图.6例2某商品当价格为50元时,有50单位投放市场,显然只有价格不低于d/c时,才有供给量Qs,因为厂(3)均衡价格均衡价格就是使一种商品的市场需求量Qd与供给量Qs商都不愿作亏本生意.当价格为75元时,有100单位投放市场,求供给Qs与价格p的函数.相等时的价格;即均衡价格就是使f(p)=g(p)时的价格,记为p*.显然此时的市场处于均衡状态.解设,()sQgpcpd则250sQp7即如果需求量大于供给量则价格会上涨,反之,价格当市场价格p高于均衡价格p*时,则供给量Qs将增加,因此,市场上商品价格的调节,就是按照需求律与供需求量Qd将相应地减少;反之,当市场价格p低于均衡价格p*时,则供给量Qs将减少,而需求量Qd将增加.给律来实现的.会降低.因此,市场上商品的价格总是围绕均衡价格上下浮动.82.总成本函数某商品的总成本是指生产一定数量的产品所需的全部()()CxCxx它由固定资本(生产准备费,用于维修、添制设备等)b元每件产品的成本(称为单位成本或平均成本)为经济资源的价格或费用总额.和可变资本(每单位产品消耗原材料、劳力等费用)a元,则生产x件产品的总成本为()Cxaxb93.销售收入函数(总收益函数)4.总利润函数总利润是总收入R(x)与总成本C(x)之差.总收益是产量的函数.设某种产品的销售量为x,价格为p,则销售收入函数为而价格p又可表为x的函数,所以销售收入函数可看成设x件产品的总成本为C(x),销售收入为R(x).则利润为5.其它经济函数x的函数R(x).Rpx()()()LxRxCx10二.建立函数关系举例运用数学来解决实际问题,首先要把问题中的数量关系例3某型号手机价格为每只1000元时能卖出15只,当价格为每只800元时,能卖出20只.已知手机的价格高低与其需求量多少是线性关系,试建立该型号手机的需求量解价格x元/只,需求量y只,则140,(0,1600]40yxx用数学表达式表示出来,也就是建立数学模型.为此必须明确问题中的常量和变量,变量中的自变量和因变量,以及它们之间存在什么关系,以确定函数关系,根据实际问题的要求指出定义域.与价格之间的函数关系.11例4工厂生产某种产品,生产准备费1000元,可变资()41000Cxx()()()41000LxRxCxx1000()4Cxx()8Rxx本4元,单位售价8元.求：(1)总成本函数;(2)单位成本函数;(3)销售收入函数;(4)利润函数.解12例5某工厂在一年内分若干批生产某种车床,年产解设批量为x台,库存费与生产准备费之和为p(x),则全年的生产准备费为(a/x)∙b,库存费为(x/2)∙c,故(),(0,].2abcxpxxax其中a/x为批数,x/2为库存量.量为a台,每批生准备费b元,设产品均匀投入市场(即平均库存量为批量的一半),每年每台库存费为c元,显然,生产批量大则库存费高;生产批量小则批数增多;因而生产准备费高.试求出一年中库存费与生产准备费之和与批量的函数关系.13例6某矿厂A要将生产出的矿石运往铁路旁的冶炼厂B冶炼.已知该矿距冶炼厂所在铁路垂直距离为a公里,xABCMab解22AMxa22(),[0,]ynxambxxb它的垂足C到B的距离为b公里.又知铁路运价为m元/吨·公里,公路运价是n元/吨·公里(mn),为节省运费,拟在铁路上另修一小站M作为转运站,那么总运费的多少决定于M的位置.试求出运费与距离|CM|的函数关系.设运费CM＝x,运费为y,则14例7(复利息问题)设银行将数量为A0的款贷出,每期利率为r.若一期结算一次,则t期后连本带利可收回0(1)tAr若每期结算m次,则t期后连本带利可收回00[(1)](1)mtmtrrAAmm现实生活中一些事物的生长(r0)和率减(r0)就遵这种规律,而且是立即产生立即结算.例如细胞的繁殖、树木生长、物体冷却、放射性元素的率减等.此函数即可看成期数t的函数,也可看成结算次数m的函数.