江苏省南京市2020届高三上学期期初联考试卷数学试题-(含解析答案)

1江苏省南京市2020届高三年级第一学期期初联考考试数学试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1．已知集合A＝12xx，B＝0xx，则AB＝．答案：(﹣1，0]考点：集合的运算解析：(﹣1，0]2．已知复数z＝3i1i（i是虚数单位），则z的虚部是．答案：﹣2考点：虚数解析：z＝223i(3i)(1i)i4i34i22i11i(1i)(1i)1i2，所以则z的虚部是﹣2．3．对一批产品的质量（单位：克）进行抽样检测，样本容量为1600，检测结果的频率分布直方图如图所示．根据标准，单件产品质量在区间[25，30)内为一等品，在区间[15，20)，[20，25)和[30，35)内为二等品，其余为三等品．则样本中三等品件数为．答案：200考点：统计，抽样调查解析：2004．现有三张卡片，分别写有“1”、“2”、“3”这三个数字．将这三张卡片随机排序组成一个三位数，则该三位数是偶数的概率是．答案：13考点：古典概型解析：将这三张卡片随机排序组成一个三位数如下：123，132，213，231，312，321，共6种，其中偶数有2种，所以该三位数是偶数的概率是1263．5．函数21logyx的定义域为．答案：[12，)考点：函数的定义域2解析：由21log00xx，解得12x，所以原函数定义域为[12，)．6．运行如图所示的伪代码，其结果为．答案：17考点：算法初步，伪代码解析：根据伪代码所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是累加并输出S＝1＋1＋3＋5＋7的值，所以S＝1＋1＋3＋5＋7＝17．7．在平面直角坐标系xOy中，双曲线C：222116xya(a＞0)的右顶点到双曲线的一条渐近线的距离为453，则双曲线C的方程为．答案：2212016xy考点：双曲线的性质解析：由题意可知双曲线的右顶点为(a，0)，渐近线方程为4yxa，根据点到线的距离公式求得右顶点到双曲线渐近线距离为：2416aa，即可得方程2416aa＝453，解得a2＝20，所以双曲线C的方程为2212016xy．8．如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现．我们来重温这个伟大发现，圆柱的表面积与球的表面积之比为．答案：32考点：圆柱、球的表面积解析：设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R，S圆柱＝2πR×2R＋2×πR2＝6πR2，3S球＝4πR2．所以22S63S42RR圆柱球．9．函数()Asin()fxx(A＞0，＞0)的部分图象如图所示．若函数()yfx在区间[m，n]上的值域为[2，2]，则n﹣m的最小值是．答案：3考点：三角函数的图像与性质解析：由函数的最大值为2，可得A＝2．由12•2＝4，可得4．由五点法作图可得4×2＋＝2，∴＝0，函数()2sin()4fxx．由于函数在[2，5]上是减函数，x＝2时，()fx＝2，x＝5时，()fx＝2，故n﹣m的最小值是5﹣2＝3．10．在公比为q且各项均为正数的等比数列na中，nS为na的前n项和．若121aq，且527SS，则首项1a的值为．答案：14考点：等比数列解析：因为527SS，所以3457aaa，则2341()7aqqq，将121aq代入可得：260qq，因为q＞0，所以q＝2，从而首项1a的值为14．11．已知()fx是定义在区间(﹣1，1)上的奇函数，当x＜0时，()(1)fxxx．已知m满足不等式2(1)(1)0fmfm，则实数m的取值范围为．答案：(0，1)考点：函数性质综合解析：当x＜0时，()(1)fxxx，可得()fx在(﹣1，0)单调递减；由()fx是定义在区间(﹣1，1)上的奇函数，可得()fx也是区间(﹣1，1)上的减函数．因为2(1)(1)0fmfm，所以2(1)(1)fmfm，可得如下不等式组：42211111111mmmm，得02022021mmmm或，解得：01m．所以实数m的取值范围为(0，1)．12．已知圆O：x2＋y2＝4和圆O外一点P(0x，0y)，过点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，且∠AOB＝120°．若点C(8，0)和点P满足PO＝PC，则的范围是．答案：113考点：圆的方程解析：首先求得PO＝4，设P(x，y)，则2216xy①，由PO＝PC，得PO2＝PC2，则x2＋y2＝2[(x﹣8)2＋y2]，化简得222220(1)()1664xyx②，由①②得：2251x，根据﹣4≤2251≤4，求得113．13．如图，已知梯形ABCD，AD∥BC，BC2AD3，取BD中点E，连接AE并延长交CD于F，若ABAD2FACD，则ABAD＝．答案：33考点：平面向量的数量积解析：根据题意可得CF1FD3，21CDCBBAADADABADADAB33，2331132FACD2(CDAD)CD2[(ADAB)AD](ADAB)AB4433221ADABAD2，所以由ABAD2FACD，得2231ABADABAD22ABAD，所以22AD3AB，所以ABAD＝33．14．已知函数1ln1()11122xxfxxx，，，若12xx，且12()()2fxfx，则12xx的取5值范围是．答案：[32ln2，)考点：函数与方程解析：设121xx，则12111ln222xx，得：1212lnxx，所以12xx＝1﹣22lnx＋2x．令222()12lngxxx，2222()xgxx，当1＜2x＜2，2()gx＜0，2()gx在(1，2)上单调递减，当2x＞2，2()gx＞0，2()gx在(2，)上单调递增，∴当x＝2时，2()gx有最小值为32ln2，所以12xx≥32ln2，即12xx的取值范围是[32ln2，)．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD，点F是棱PD的中点，点E为CD的中点．（1）证明：EF∥平面PAC；（2）证明：AF⊥PC．解：16．（本小题满分14分）在△ABC中，A＝34，AB＝6，AC＝32．6（1）求sinB的值；（2）若点D在BC边上，AD＝BD，求△ABD的面积．解：（1）∵A＝34，AB＝6，AC＝32∴由余弦定理可得：BC2＝AB2＋AC2﹣2AB·AC·cosA＝90∴BC＝310由正弦定理可得：232ACsinA102sinBBC10310．（2）∵A＝34，B为锐角∴cosB＝31010由余弦定理：AD2＝AB2＋BD2﹣2AB·BD·cosB因为AD＝BD，所以BD＝AB6102cosB310210所以S△ABD＝12AB·BD·sinB＝110610210＝3所以△ABD的面积为3．17．（本小题满分14分）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一．图中的窗花是由一张圆形纸片剪去一个正十字形剩下的部分，正十字形的顶点都在圆周上．已知正十字形的宽和长都分别为x，y（单位：dm）且x＜y，若剪去的正十字形部分面积为4dm2．（1）求y关于x的函数解析式，并求其定义域；（2）现为了节约纸张，需要所用圆形纸片面积最小．当x取何值时，所用到的圆形纸片面积最小，并求出其最小值．解：（1）由题意可得：224xyx，则242xyx，∵yx，∴0＜x＜27∴y关于x的函数解析式242xyx，定义域为(0，2)．（2）设正十字形的外接圆的直径为d，由图可知22222222454()225224xxdxyxxx，当且仅当2455x时，正十字形的外接圆直径d最小，则半径最小值为25222d，∴正十字形的外接圆面积最小值为2525142答：当x取455，所用到的圆形纸片面积最小，最小值为512．18．（本小题满分16分）已知椭圆C：22221xyab(a＞b＞0)，左、右焦点分别为F1(﹣1，0)，F2(1，0)，椭圆离心率为12，过点P(4，0)的直线l与椭圆C相交于A、B两点（A在B的左侧）．（1）求椭圆C的方程；（2）若B是AP的中点，求直线l的方程；（3）若B点关于x轴的对称点是E，证明：直线AE与x轴相交于定点．解：（1）∵左、右焦点分别为F1(﹣1，0)，F2(1，0)∴c＝1，∵椭圆离心率为12∴a＝2∴b2＝a2﹣c2＝4﹣1＝3∴椭圆C的方程为22143xy．（2）设B(0x，0y)，根据B是AP的中点，得A(024x，02y)由于A、B两点都在椭圆上，可得方程组：822002200143(24)4143xyxy，解得0074358xy或0074358xy，所以B(74，358)或(74，358)设直线l的斜率为k，则k＝358744或358744，即k＝±56所以直线l的方程为：5(4)6yx，化为一般式为：56450xy或56450xy．（3）设A(1x，1y)，B(2x，2y)，则E(2x，2y)设D为直线AE与x轴的焦点，且D(d，0)根据A、D、E三点共线得：1212yyxdxd，解得122112xyxydyy设直线l为：(4)ykx，其中k≠0则11(4)ykx，22(4)ykx，代入122112xyxydyy得12121224()8xxxxdxx22(4)143ykxxy，化简得：2222(34)3264120kxkxk所以21223234kxxk，2122641234kxxk则2222121221226412322424()34341328834kkxxxxkkdkxxk所以直线AE与x轴相交于定点(1，0)．919．（本小题满分16分）在数列na中，已知12a，13()nnaafn．（1）若()fnk（k为常数），314a，求k；（2）若()21fnn．①求证：数列nan为等比数列；②记(1)nnban，且数列nb的前n项和为nT，若3T为数列nT中的最小项，求的取值范围．解：（1）k的值为﹣1；（2）①②20．（本小题满分16分）已知函数()ln2fxxx．10（1）求曲线()yfx在x＝1处的切线方程；（2）函数()fx在区间(k，k＋1)(kN)上有零点，求k的值；（3）记函数21()2()2gxxbxfx，设1x，2x(1x＜2x)是函数()gx的两个极值点，若32b，且12()()gxgxk恒成立，求实数k的最大值．解：（1）∵()ln2fxxx∴1()1fxx则(1)0kf又∵(1)1f∴曲线()yfx在x＝1处的切线方程y＝﹣1．（2）k＝3．（3）11所以实数k的最大值为152ln28．