正余弦定理一轮复习-

第七节正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理；能解决一些简单的三角形度量问题.1．正弦定理：asinA＝bsinB＝csinC＝2R，其中R是三角形外接圆的半径．变形为：(1)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；(2)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；(3)sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R．2．余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC．变形为：cosA＝b2＋c2－a22bc，cosB＝a2＋c2－b22ac，cosC＝a2＋b2－c22ab.基础回顾.sin21sin21sin212AbcBacCabSABC）（3.三角形中常用的面积公式：4.正弦定理解决的问题：已知两边以及一边的对角；已知两角以及任意一边；两边以及夹角求三角形面积.余弦定理解决的问题：已知两边以及夹角；已知三边解三角形；已知两边及一边对角(解一元二次方程).基础回顾；上的高表示边）（)(211ahahS考向一利用正、余弦定理解三角形例1.,,23,643的长求边上，在点，中，在ADBDADBCDACABAABC.10,10,21cos,10103cos,2cos,10322-6232623cos2222222222ADBDBDABBDBDAABDBacbcaBaaAbccba故所以中，在，解得又由），解之（）（得理：解：方法一：由余弦定反思感悟：应熟练掌握正、余弦定理及其变形．解三角形时，有时可用正弦定理，也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷方法二：.10,10,21cos,,10103cos1010sin,sinsin,10322-6232623cos2222222ADBDBDABBDBDAABDBBAaBbaaAbccba故所以中，在，即解得由正弦定理），解之（）（得方法二：由余弦定理：1.在.,23cos,32,2bcbAcaABC求且中，已知即时应用.2,,42,34412232cos.2222bcbbbbbbcacbA所以又或解得即＝：解：由余弦定理变形式用余弦定理可用正弦定理，也可以边；以及一边对角，求第三分析：已知三角形两边学会判断采用哪个定理更简单；注意隐含条件：三角形内角和定理.例2.,coscos试判断三角形形状中，若在ABbaABC考向二利用正、余弦定理判断三角形形状.0)())(()(,,),()(,22,coscos,coscos2222222222222222222222222222222222222222222222222为等腰或者直角三角形故，或，）（，得解：方法一：由ABCcbabaabcbabababacbbcbaacabbcbabaacababcabacbaacbcabbcacbaBbAaABba方法二：由ab＝cosBcosA，得sinAsinB＝cosBcosA，∴sinAcosA＝cosBsinB，∴sin2A＝sin2B.∵A、B为△ABC的内角，∴2A＝2B或2A＝π－2B，∴A＝B或A＋B＝π2.∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．反思感悟：判断形状时候边化角或者角化边，转化为边边关系（因式分解）或者角的关系（三角函数恒等变形），注意：隐藏条件，不漏解.2．在△ABC中，已知2sinAcosB＝sinC，那么△ABC一定是()A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．正三角形解：因为在△ABC中，A＋B＋C＝π，即C＝π－(A＋B)，所以sinC＝sin(A＋B)．由2sinAcosB＝sinC，得2sinAcosB＝sinAcosB＋cosAsinB，即sinAcosB－cosAsinB＝0，即sin(A－B)＝0.又因为－π＜A－B＜π，所以A－B＝0，即A＝B.所以△ABC是等腰三角形，故选B.答案：B即时应用B例3在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c＝2，C＝π3.(1)若△ABC的面积等于3，求a，b；(2)若sinC＋sin(B－A)＝2sin2A，求△ABC的面积．考点四考向三与三角形面积有关的问题.2,244,4,3sin21,3,42cos12222222baababbaabCabSabbaabcbaCABC，解得联立方程组所以即又得）由余弦定理变形式：解：（(2)由题意，得sin(B＋A)＋sin(B－A)＝4sinAcosA，即sinBcosA＝2sinAcosA，当cosA＝0，即A＝π2时，B＝π6，a＝433，b＝233，当cosA≠0时，得sinB＝2sinA，由正弦定理，得b＝2a，联立方程组a2＋b2－ab＝4，b＝2a解得a＝233，b＝433.所以△ABC的面积S＝12absinC＝233.课堂总结感悟提升1．解三角形时，要根据所给的条件选用正弦定理、余弦定理;2．实施角和边的相互转化;3．三角形中的三角式的计算．(1)判断三角形形状要利用正、余弦定理化成仅含边的关系或仅含角的三角函数的关系．(2)要注意利用△ABC中A＋B＋C＝π，以及由此推得的基本关系式sin(B＋C)＝sinA，cos(B＋C)＝－cosA，tan(B＋C)＝－tanA等．