《高等数学B2》期末复习

《高等数学B2》期末复习第六章定积分应用-平面图形面积和旋转体体积例1设平面图形由抛物线xy22及直线,0x1y所围成，求（1）该平面图形的面积；（2）该平面图形绕x轴旋转一周而成的旋转体体的体积)1,21(10xyxy22解dyyA1022)1(1036y612121022211)2(xdxV21022x41yy练习：设抛物线22,xyxy)103;31(围成平面图形，求（1）平面图形的面积；（2）该平面图形绕y轴旋转一周而成的旋转体的体积第七章微分方程例2微分方程221xyyxdxdy的通解是（）)1)(1(2yxdxdydxxydy)1(12cxxy2arctan2)2tan(2cxxy为通解（可分离变量类型）例3设二阶常系数齐次线性微分方程的通解是,321xxececy3,1rr0)3)(1(rr则这个微分方程是（）特征方程的根：特征方程：0322rr032yyy即微分方程是例4设函数321,,yyy)()()(xfyxQyxPy32211)(yycycA是微分方程的3个线性无关的解，则该方程的通解为（）3212211)()(yccycycB3212211)1()(yccycycC3212211)1()(yccycycD3231,yyyy是对应的齐次微分方程0)()(yxQyxPy的2个线性无关的特解，原方程的通解为3322311)()(yyycyycyD例5微分方程xyyxyA)(2)(xyB有一个特解是（）xeyC)(xyDsin)(A例6求微分方程xydxdyxsin2的特解解满足初始条件224xyxxyxdxdysin2xxxQxxPsin)(,2)(]sin[22cdxexxeydxxdxx通解为]sin[2cdxxxx]sin[ln2ln2cdxexxexx（一阶非齐次线性类型）]sin[2cdxxxx]cos[2cxxdx]coscos[2cxdxxxx]sincos[2cxxxxcxxxx2sincos224xy由,0c微分方程的特解为2sincosxxxxy例7求微分方程xeyyy2202yyy,022rr的通解解对应的齐次线性微分方程为特征方程为0)1)(2(rr特征方程的根为2,1rr齐次线性微分方程的通解为xxececxY221)(1因不是特征方程的根，,)(*xaexy代入，得,1a,)(*xexy所求的通解为xxxeececxyxYy221*)()(),(21Rcc所以令原方程特解练习：微分方程xxeyyy42042yyy,0422rr的一个特解具有解对应的齐次线性微分方程为特征方程为特征方程的根为512,1r1因不是特征方程的根，,)()(*xeBAxxy所以原方程特解形式为：形式为)()(*xy;)()(xeBAxA;)(xAxeB;)(2xeAxCxeBAxx)()(DA第八章空间解析与向量代数一．数量积与向量积计算与应用例8设,kjia2,kjib2)(abrjP则a与b的夹角为（），投影babacos,21663;32bbaabrjP2636练习：向量a与)2,1,2(b平行，且满足,18-ba则a=())4,2,4(例9已知,)211(,,-a,2),1(0,-b)(ba则以a,b为邻边的平行四边形的面积为（）baS210211kjiba,kji205练习：设点,)5,4,2(,)3,2,1(BA则与向量AB同方向的单位向量是（）)32,32,31(二．直线与平面方程及应用：例10已知,)1,1,2(,)1,2,1(ba)1,1,1(0M112121kjiban则过点且平行于a和b的平面方程为（）取平面方程：0)1(5)1()1(3zyxkji53)0153(zyx练习：求与平面132zyx垂直，与直线413221zyx平行、且过点)1,1,1(的平面方程042zyx例11求与两平面的交线平行，且过点的直线方程34zx152zyx)5,2,3(和解直线的方向向量51240121kjinns直线方程：153243zyxkji34练习：经过两点)4,0,1(,)2,1,1(BA的直线方程为（）221121zyx例12两平行平面与间的距离为（）0362145zyx092145zyx2,0yx令,4z得点)4,2,0(距离4196259828d31545在第一个平面上任取一点，求点到面的距离．例13设直线与则两直线的夹角为（）182511:1zyxl326:2zyyxl6)(A4)(B3)(C2)(D)1,2,1(1s)2,1,1(120011212kjinns21663cos2121ssss3两直线的方向向量：例14直线37423zyx3224zyx,)3,7,2(s与平面的位置关系是（）（A）平行，但直线不在平面上（B）直线在平面上（C）垂直相交（D）相交，但不垂直)2,2,4(n0ns)0,4,3(且直线上的点A直线的方向向量和平面的法向量分别为：302)4(2)3(4√练习1：在空间直角坐标系中，下列方程是柱面方程的是（）1)(222zyxA02)(2xxzB222)(yxzC22)(yxzD柱面方程的特点：只含有两个变量的方程B练习2：xoy坐标面上的双曲线369422yx绕x轴旋转一周，所生成的旋转曲面的方程为（）36994222zyx第九章多元函数微分学及应用1.简单二元函数的极限（二重极限）例15函数,0,00,)1(sin),(2yyxyxyyxf)0,0()1(sinlim),(lim2)0,0(),()0,0(),(xyxyyxfyxyx则函数在点（）（A)连续（B）极限不存在（C)极限存在，但不连续（D）无定义2)0,0(),(1sinlimxxxyxyyx001,0)0,0(fA练习：)(11lim00xyxyyx21,0,00,),(2222223yxyxyxxyxf例16设则)()0,0(xf偏导数定义xfxffxx)0,0()0,0(lim)0,0(01lim0xxx例17设,sinxyez)(xzyxyexzxycossin则xyyexycossin例18设,sin2yxz则)(dz全微分公式：dyyzdxxzdzydxxsin2ydyxcos2偏导数：练习：函数xyz在点)2,3(全微分)(dzdydxdz32例19设,),(xyyfzxyzyz2,其中f具有二阶连续偏导数，求解z②①yxxffyz121211fxf)1(212fxfxxyz)(11)(22222212xyfxfxxyf222231221fxfxyfxy练习：设,),(22xyeyxfzyxzxz2,212fyefxxzxy求22221222112)1()(24fexyfxyefeyxfxyyxzxyxyxy例20设),(yxzz是由xyezz所确定的二元函数，求yxz2（隐函数的导数）解令函数xyezzyxFz),,(zxFFxz,11zzeyeyzyFFyz,1zex)1(2zeyyyxz2)1()1(zzzeyzyee32)1()1(zzzexyee练习：设),(yxzz0),(zyyxfdz是由二元函数，求所确定的dyfffdxffdz22121二元函数的性质之间的关系：),(,),(yxfyxfyx在),(00yx处连续),(yxf在),(00yx处可微),(yxf在),(00yx处连续),(,),(yxfyxfyx在处都存在),(00yx例21设,0,00,)(),(2222232222yxyxyxyxyxf讨论（1）),(yxf处偏导数是否存在？在)0,0()0,0(在),()2(yxf处是否可微？解xfxffxx)0,0()0,0(lim)0,0()1(0yy00lim00yfyffyy)0,0()0,0(lim)0,0(0xx00lim00（2）证明0])0,0()0,0([lim0yfxfzyx?])0,0()0,0([lim0yfxfzyx2200)()()0,0(),(limyxfyxfyx2222200])()[()()(limyxyxyx因为0)(0lim])()[()()(lim4002222200xyxyxyxyx41)(4)(lim])()[()()(lim4400222220xxyxyxyxxy所以2222200])()[()()(limyxyxyx不存在，)0,0(在),(yxf处不可微多元函数微分法的应用：求极值或最值几何上应用空间曲线的切线与法平面曲面的切平面与法线无条件极值条件极值拉格朗日乘数法例22设曲线32,,tztytx)1,1,1()1,1,1(在点切线与法平面方程处的解点对应的参数1t曲线在任一点处的切向量为),,(dtdzdtdydtdxT)3,2,1(2tt在点)1,1,1(处的切向量为)3,2,1(T切线方程为312111zyx法平面方程为0)1(3)1(21zyx即0632zyx例23求曲面32xyezz)0,2,1(32),,(zxyezyxFz在点处的切平面方程解令函数曲面在任一点处的法向量为,)1,2,2(zexyn)0,2,4()0,2,1(n切平面方程为0)2(2)1(4yx即042yx练习：在曲面xyz上求一点，使这一点处的法线垂直于平面,093zyx并求这一法线方程133113zyx例24若函数yxyaxxyxf22),(22)1,1()(a在点取得极值，则,0),(),(0000yxfyxfyx练习：设则点由取得极值的必要条件：0)1,1(xf0)1,1(yf即014a5a),(00yx一定是函数),(yxf的（）（A）驻点（B）极大值点（C）极小值点（D）连续点A例25求函数1),(22yxyxyxyxf012),(yxyxfx012),(yxyxfy的极值解（无条件极值）必要条件得唯一驻点：)1,1(充分条件：,2)1,1(xxfA,1),(yxfxy,2),(yxfyy,2),(yxfxx,1)1,1(xyfB,2)1,1(yyfC由,032BAC且,02A函数),(yxf在)1,1(处取得极小值为2)1,1(