量子力学基础习题课send

量子力学基础2015.4.16结构化学习题课REVIEW“紫外灾难”量子力学基本假设箱中粒子的Schrödinger方程-------能量量子化-------光电效应-------波粒二象性-------不确定度关系波函数算符本征方程态叠加Pauli原理金属钾的临阈频率为，如用它作为光电池的阴极，当用波长为300nm的紫外光照射该电池时，发射的光电子的最大速度是多少？1415.46410s根据光电效应的公式khWE20v/2ehm10415.46410s815193103001/1.0100mcmss3415140312()26.62610(105.46410)9.110/vehmsm58.12710/ms光子的频率解：其中因此电子的最大速度为对一个运动速度(光速)的自由粒子，有人进行了如下推导：结果得到了的结论。上述推导错在何处？vcvvv1v2hhmmEp①②③④⑤vv/2mmu波的传播速度（相速度）v粒子的运动速度（群速度）速度频率v2u解：第①⑤步为经典力学公式，正确第②④步为实物粒子的德布罗意关系式，正确第③步为波动力学公式，存在概念混淆，错误用不确定度关系说明用光学光栅(周期约为10-6m)观察不到电子衍射(用10000V电压加速电子)。610xmxey31192129.11.610100/000eypmeVkgms342866.626106.62610//10xhkgmskgmspxarctan(/)0xypp可以看出，电子经光栅衍射后落到同一点上，因此观察不到电子衍射现象xpyp解：电子位置的不确定度约为光栅的周期，即：根据不确定度关系表达式可知又235.410/kgms由图知一个粒子的某状态波函数为，为常数，证明满足不确定度关系。21/42()xxe,xxxp2222,xxxxxxppp证明：由标准差的定义知：22222211*2442222222222()()()()221()421()44211424xxxxxxxxxdxeedxxedxxdexxeedxxx另外物理量的平均值为*ˆAAd2/xedx附：题中需用到高斯积分于是222222222222*22222222222222()()()()2(2)2(24)224()xxxxxxxxxddpxxdxeedxdxdxdexedxdxeexedxedxxedx222222124()224()xx2*22()()====0xxxxdxxedxx被积函数为奇函数222214xxxppp2222*2()()()()2(2)====0xxxxddpxixdxieedxdxdxiexedx被积函数为奇函数142xp因此满足不确定度关系1212)ˆˆˆA(AA**1212ˆˆA(A)dd线性算符厄米算符1212()ddddxdxdx**1212dddxxd**1221|d**1122()dddxdxdxdx分步积分平方可积0因此为线性非厄米算符。ddx解：线性厄米算符要满足如下两个表达式：（1）很明显地然而22(1)(2)(3)(4)xdxyedx判断下列算符是否是线性厄米算符：（2）2222222=xyz222222yxz以为例进行证明，及同理可得2121222222()ddddxdxdx***221211***221112**1122*12222()()()()(ddddddxdxdxdxdddddxddxdxdxdxddddxdxdxddddxdxdxx12*2)ddxdx2故为线性厄米算符应用波函数单值连续及平方可积的条件（3）121212121221(((+((())))))xyxxyxyxyxyy***2221*11(([(])))xyxxydddy坐标算符为实数()xy故为线性厄米算符（4）2221212)(xxxeee222***22*1121)(=()xxxdxdxdeexe2xe故为线性厄米算符sin,xx总结：对坐标算符进行实数运算后的算符仍为线性算符，如等，但求导运算可能不为实数运算。2axxe22224()daxdx是算符的本征函数，求其本征值。ˆAC22222222222322()444(())axaxddaxxeaxedxdaxddxx解：根据量子力学基本假设III，若算符，那么常数C就为该算符的本征值。222223(2)4axaxaxaxdeeaxedx22222323424(4)axaxaxaxeeaxexaxaxae2()66)(axaxea因此，本征值为-6a。若是算符（B为常数）的本征函数，试求值，并求其本征值。2xe222[/]ddxBx2222222222222222222222()(2)242(4)()xxxxxxxxxxddBxeeBxedxdxdxeBxedxexeBxeeBxe解：22222()xxdBxeCedx由题意知：2CB两式对比可得2402BB本征值已知封闭的圆环中粒子的能级为式中n为量子数，R是圆环的半径。若将此能级公式近似地用于苯分子中的离域键，取R=140pm，试求其电子从基态跃迁到第一激发态所吸收的光的波长。6622220,1,2,3,8nnhEnmRHOMO(n=1)LUMO(n=2)21/EEhcE22782.125103emcRmh解：由题中能级公式知，除n=0之外，其他能级简并度均为2。根据泡利不相容原理，能级En最多只能容纳两个电子，因此基态时6个电子分别排布在n=0，n=-1及n=1上，于是第一激发态对应的跃迁如下：函数是否是一维势箱中粒子的一种可能状态？若是，其能量有无确定值？若有，其值为多少？若无，求其平均值。222()2sin3sin()()xxxaaaa2222()sin1,2,3,8(),nnnxnhxEnaama12()2()3()xxx解：首先写出一维箱中粒子波函数及能级的表达式，分别为：对比可知根据态叠加原理知，线性组合态也是粒子的可能状态。要弄清楚能量是否有确定值，就是要求解函数是否为哈密顿算符的本征函数，即()xˆ()()HxCx12ˆˆ2()))(3(()HxHxx2*2*||ˆ()()||()()nnnnncExHxdxEcxxdx21224954913EEhma而根据求解平均值的通式（归一或未归一）可知12122E()3(())xxExC故此时能量无确定值，只能求解其平均值。即能量的平均值为。22513hma0~a设粒子处在范围内的一维无限深势阱中运动，其状态可用波函数表示，试估算：（1）该粒子能量的可能测量值及相应的概率；（2）能量平均值。24()sincos()()xxxaaa24sino(s)c()()xxxaaa21cos4sin2()()xxaaasin3/sin/22sin2()()()xaxaxaaa113sinsin()()xxaaaa131122解：（1）根据题意将波函数展开成一维箱中粒子能量本征态的线性组合，具体如下：()x()nx222sinsincos()()()xxxaaaaa21133||nnncEPEPEE（2）能量平均值221133||1/2,||1/2PcPc因此能量的可能测量值为222213/8,9/8EhmaEhma22||/||iiiiPcc相应的概率取决于归一化波函数对应的组合系数，即因为已归一化，即，所以相应的概率为()x2||1iic225/8hma一个质量为m的粒子被束缚在一个长度为的一维势箱中运动，若该粒子的某一运动状态可用下列波函数表示：（1）指出该粒子处于基态和第二激发态的概率；（2）计算该粒子出现在范围内的概率；（3）对此粒子的能量作一次测量，估算可能的实验结果。l12()0.6()0.8()xxx0/3xl已归一化（1）粒子处于第n激发态的概率为（0为基态）21||nnPc201||0.36Pc223||0Pc（2）粒子出现在范围内的概率计算如下/3*0()()lPxxdx解：因此/31120*20.6()0.8()0.6()0.8()()()lxxxxdx202/320.36sins22()0.96)in(sin(0.64sin)()()ldxxxxxlllll0/3xl310.475230.9可能有两种实验结果221/8EEhml222/2EEhml/30234()]0.48[cos()cos()]()]20.18[1cos0.32[1cos()lxxxxlllldxl/3020.18230.3240.5sin()0.48[sin()sin()]sin31()24[()]|llxxllllxxxl123330.090.480.08()2223()（3）若对粒子的能量作一次测量，由概率波的物理意义可知粒子处于基态，即粒子处于第一激发态，即注意：不可能出现的可能状态。EE