线性变换典型例题

西安交通大学线性代数与解析几何典型例题83第8章线性变换典型例题（A）例1设1T是2R上将向量xyéùêúêúëû逆时针旋转3p的变换，2T是2R上将向量xyéùêúêúëû逆时针旋转2p的变换.求()1,Ta()2Ta和()21.TTa分析：求变换公式关键是将几何旋转变换用代数运算表示.解：设xyéùêúêúëû对应的径向量长度为r，幅角为j.则cossinxyrjrjéùéùêúêú=êúêúëûëû.将向量a逆时针旋转3p至径向量xyéùêúêúëû，则其幅角为3pj+.则1xxTyyéùéùêúêú=êúêúëûëûcos3sin3prjprjéùæöç÷êú+ç÷ç÷êúèøêú=êúæöêúç÷+ç÷êúç÷èøëûcoscossinsin33sincoscossin33pprjjpprjjéùæöç÷êú-ç÷ç÷êúèøêú=êúæöêúç÷+ç÷êúç÷èøëûcossin33sincos33xyxyppppéùêú-êú=êúêú+êúêúëûcossin33sincos33xyppppéùêú-éùêúêú=êúêúêúëûêúêúëû13223122xyéùêú-éùêúêúêú=êúêúëûêúêúëû同理2xTyéùêúêúëûcossin22sincos22xyppppéùêú-éùêúêú=êúêúêúëûêúêúëû0110xyéùéù-êúêú=êúêúëûëû.则，yx0(),Pxy()1,Pxy3pj西安交通大学线性代数与解析几何典型例题8421xTTyéùêúêúëû2xTyéùêú=êúëû0110xyéùéù-êúêú=êúêúëûëû0110éù-êú=êúëû13223122xy31221322xyéùêú--éùêúêúêú=êúêúëûêú-êúëû.例2设12,,,TTLVW定义映射()12:,TTVW+()12:,TTVW-()1:kTVW为：,VaÎ()()()()1212;TTTTaaa+=+()()()()1212;TTTTaaa-=-()()()11;lTlTaa=证明：()12,TT+()12,TT-()1lT为线性变换.证明：()()()()1212TTTTababab++=+++()()()()()()1122TTTTabab=+++()()()()()()1212TTTTaabb=+++()()()()1212TTTTab=+++.()()()()1212TTkTkTkaaa+=+()()12kTkTaa=+()()()12kTTaa=+()()12kTTa=+.所以，()12TT+为线性变换.()()()()1212TTTTababab-+=+-+()()()()()()1122TTTTabab=+-+()()()()()()1212TTTTaabb=-+-()()()()1212TTTTab=-+-.()()()()1212TTkTkTkaaa-=-()()12kTkTaa=-()()()12kTTaa=-()()12kTTa=-.所以，()12TT-为线性变换.西安交通大学线性代数与解析几何典型例题85()()()11lTlTabab+=+()()()11lTTab=+()()11lTlTab=+()()()()11lTlTab=+.()()()11lTklTkaa=()1lkTa=()1klTa=()()1klTa=.所以，()1lT为线性变换.例3设()431,,TLRRÎ对于12434,xxxRxxéùêúêúêú=Îêúêúêúêúëû11122123334411000110.0011xxyxxTyxxyxxéùéùêúêúéùéùêúêúêúêúêúêúêúêú==êúêúêúêúêúêúêúêúëûêúêúëûêúêúëûëû问：1T是否为单射？是否为满射？解：因1100011034,0011rankéùêúêú=êúêúëû所以1122133441100011000011xxxxTxxxxéùéùêúêúéùêúêúêúêúêúêú==êúêúêúêúêúêúëûêúêúêúêúëûëû有非零解.即(){}1ker0T¹，因此，1T不是单射.又因为，对于任意向量1323,yyRyéùêúêúÎêúêúëû1231101100110113101101yrankyrankyéùéùêúêúêúêú==êúêúêúêúëûëû.即非齐次方程1122334110001100011xyxyxyxéùêúéùéùêúêúêúêúêúêú=êúêúêúêúêúêúëûêúëûêúëû有解，即存在向量12434,xxRxxéùêúêúêúÎêúêúêúêúëû使得111221233344110001100011xxyxxTyxxyxxéùéùêúêúéùéùêúêúêúêúêúêúêúêú==êúêúêúêúêúêúêúêúëûêúêúëûêúêúëûëû.所以，1T是满射.例4设()342,,TLRRÎ对于1323,xxxRxéùêúêú=Îêúêúëû11122223334110011.101123yxxyTxxyxxyéùéùêúéùéùêúêúêúêúêúêúêúêúêú==êúêúêúêúêúêúêúêúêúëûëûêúêúëûëû问：2T是否为单射？是否为满射？西安交通大学线性代数与解析几何典型例题86解：因为1100113101123rankéùêúêúêú=êúêúêúëû，所以，齐次方程11222331100110101123xxTxxxxéùéùéùêúêúêúêúêúêúêú==êúêúêúêúêúêúëûëûêúëû只有零解.即(){}2ker0T=，因此，2T是单射.又因为1100113101123rankéùêúêúêú=êúêúêúëû，所以存在向量12434,yyRyyéùêúêúêúÎêúêúêúêúëû使得123411011001101143101101123123yyrankrankyyéùéùêúêúêúêúêúêú=¹=êúêúêúêúêúêúêúëûëû.即1122334110011101123yxyxyxyéùéùêúéùêúêúêúêúêúêúêú=êúêúêúêúêúêúêúëûêúêúëûëû无解.所以，2T不是满单射.例5设[]()2TLRxÎ，定义()()()()Tfxxfxfx¢¢¢=+，()[]2fxRxÎ.(1)求T在基{}21,,xx下的矩阵A；(2)求T在基{}21,,1xx+下的矩阵B；(3)求矩阵S使得1BSAS-=；(4)若()()20121fxaaxax=+++，求()()nTfx()2,3,n=.解：（1）()10T=，()Txx=，()2222Txx=+，因此()()()2220021,,1,,1,,010002TxxTTxTxxxéùêúéùéùéùêú==êúêúêúêúëûëûëûêúëû，所以002010002Aéùêúêú=êúêúëû.即221,,1,,TxxxxAéùéù=êúêúëûëû.（2）()10T=，()Txx=，()22122Txx+=+，因此()()()2220001,,11,,11,,1010002TxxTTxTxxxéùêúéùéùéùêú+=+=+êúêúêúêúëûëûëûêúëû，所以西安交通大学线性代数与解析几何典型例题87000010002Béùêúêú=êúêúëû.即221,,11,,1TxxxxBéùéù+=+êúêúëûëû因为221011,,11,,010001xxxxéùêúéùéùêú+=êúêúêúëûëûêúëû，令101010001Péùêúêú=êúêúëû，则221,,11,,xxxxPéùéù+=êúêúëûëû.所以()221,,11,,TxxTxxPéùéù+=êúêúëûëû()21,,TxxPéù=êúëû21,,xxAPéù=êúëû211,,1xxPAP-éù=+êúëû，又因为221,,11,,1TxxxxBéùéù+=+êúêúëûëû，所以1BPAP-=.取SP=,即得1BSAS-=.（4）因为()()20121fxaaxax=+++()02121,,1axxaaéùêúéùêú=+êúêúëûêúëû，所以，()()()()()002211221,,11,,1aaTfxTxxaTxxaaaæöéùéù÷çêúêú÷ç÷éùéùçêúêú÷=+=+ç÷êúêúçêúêú÷ëûëûç÷êúêúç÷÷çèøëûëû()02121,,1axxBaaéùêúéùêú=+êúêúëûêúëû()02120001,,1010002axxaaéùéùêúêúéùêúêú=+êúêúêúëûêúêúëûëû，同理可得，()()()0222121,,1aTfxxxBaaéùêúéùêú=+êúêúëûêúëû()0221220001,,1010002axxaaéùéùêúêúêúéùêú=+êúêúêúëûêúêúêúëûëû，依次类推()()()02121,,1nnaTfxxxBaaéùêúéùêú=+êúêúëûêúëû()02120001,,1010002nnaxxaaéùéùêúêúêúéùêú=+êúêúêúëûêúêúêúëûëû()2,3,n=.西安交通大学线性代数与解析几何典型例题88典型例题（B）例1设V上的线性算子T满足2TT=.证明：()()kerVTRT=Å.分析:首先证()()kerVTRT=+，其次证()(){}ker0TRT=.解：VaÎ，()()()TTaaaa=-+，其中()()()()20TTTTaaaa-=-=，表明()()kerTTaa-Î.()()TRTaÎ.因此()()kerVTRT=+.()()kerTRTbÎ，则()kerTbÎ且()RTbÎ.由()kerTbÎ得，()0Tb=.由()RTbÎ得，存在VaÎ使得()Tba=，从而()Tba=()2Ta=()()TTa=()0Tb==.因此()(){}ker0TRT=，即()()kerVTRT=Å.