考研数学三：公式大全

专题八：公式大全（一）最近几天做题的过程中，越来越觉得有些公式在不同的题目之间反复使用，可谓上镜率颇大。终于又下定决心，要好好整理一下咯！下面将收录，我认为比较重要的部分公式。有些考的少，或者太简单的就不列出来了。相信下面的公式应该会比较有代表性。（二）1.当x→0时，x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx~ln(1+x)~ex−1当x→0时，ax−1~xlna（用e的等价变形来记）{1−cosx~12x21−cos2x~2x2{√1+xn−1~1nx(1+βx)α−1~αβx（用1∞未定式来记）loga(1+x)~1lnax（用换底公式来记）2.1∞未定式通用公式：limf(x)g(x)=elimg(x)∙[f(x)−1]3.泰勒公式：f(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+f’’(x0)2!(x−x0)2+⋯+f(n)(x0)n!(x−x0)n+f(n+1)(ξ)(n+1)!(x−x0)n+1（ξ在x与x0之间）麦克劳林公式：f(x)=f(0)+f′(0)x+f’’(0)2!x2+⋯+f(n)(0)n!xn+f(n+1)(θx)(n+1)!xn+1（0θ1）4.五个基本初等函数泰勒公式：(1)ex=1+x+12!x2+⋯+1n!xn+eθx(n+1)!xn+1(2)sinx=x−13!x3+15!x5−⋯+(−1)n−1∙1(2n−1)!∙x2n−1+(−1)n∙cosθx(2n+1)!∙x2n+1(3)cosx=1−12!x2+14!x4−⋯+(−1)n∙1(2n)!∙x2n+(−1)n+1∙cosθx(2n+2)!∙x2n+2(4)(1+x)α=1+αx+α(α−1)2!x2+⋯+α(α−1)⋯(α−n+1)n!xn+α(α−1)⋯(α−n)(n+1)!(1+θx)α−n−1xn+1(5)ln(1+x)=x−12x2+13x3−⋯+(−1)n−11nxn+(−1)n∙xn+1(n+1)(1+θx)n+15.定积分重要公式：※（1）若f(x)在[-a,a]上连续，则∫f(x)dxa−a=∫[f(x)+f(−x)]dxa0※（2）若f(x)在[0,a]上连续，则∫f(x)dxa0=12∫[f(x)+f(a−x)]dxa0（3）∫xf(sinx)dxπ0=π2∫f(sinx)dxπ0=π∫f(sinx)dxπ206.几个重要的广义积分：※（1）∫e−x2dx+∞−∞=√π（主要记这一个，以下的几个自己推）（2）∫e−x2dx+∞0=√π2（3）∫e−x22dx+∞−∞=√2π（4）∫e−x22dx+∞0=√π27.6种常见的麦克劳林展开式：（1）ex=∑xnn!∞n=0x∈(−∞,+∞)（2）sinx=∑(−1)n∙x2n+1(2n+1)!∞n=0x∈(−∞,+∞)（3）cosx=∑(−1)n∙x2n(2n)!∞n=0x∈(−∞,+∞)（4）ln(1+x)=∑(−1)n∙xn+1n+1∞n=0x∈(−1,1]（5）(1+x)a=∑α(α−1)⋯(α−n+1)n!∞n=0xnx∈(−1,1)※特别：11−x=∑xn∞n=0x∈(−1,1)11+x=∑(−1)n∙xn∞n=0x∈(−1,1)（6）arctanx=∑(−1)n∙x2n+12n+1∞n=0x∈[−1,1]8.微分方程与差分方程的6大类：（1）一阶齐次线性微分方程y′+P(x)y=0通解：y=Ce−∫P(x)dx(C=±eC1)（2）一阶非齐次线性微分方程y′+P(x)y=Q(x)的通解：y=e−∫P(x)dx(∫Q(x)e∫P(x)dxdx+C)（3）二阶常系数齐次线性微分方程y’’+py’+qy=0(p,q为常数)的通解：由特征方程r2+pr+q=0,解出r1,r2i.r1,r2为两个不相等的实根：y=C1er1x+C2er2xii.r1,r2为两个相等的实根：y=(C1+C2x)er1xiii.r1,r2为一对共轭复根，r1=α+βi,r2=α−βi(α=−p2,β=√4q−p22)：y=eαx(C1cosβx+C2sinβx)（4）二阶常系数非齐次线性微分方程y’’+py’+qy=f(x)的特解：①若f(x)=Pm(x)eλx，则特解为y∗=xkQm(x)eλx，i.若λ不是特征方程的根，则k=0ii.若λ是特征方程的单根，则k=1iii.若λ是特征方程的重根，则k=2②若f(x)=eλx[Pl(x)cosωx+Pn(x)sinωx]，则特解为y∗=xkeλx[Rm(1)(x)cosωx+Rm(2)(x)sinωx](m=max(l,n))i.若λ+ωi（或λ−ωi）不是特征方程的根，则k=0ii.若λ+ωi（或λ−ωi）是特征方程的根，则k=1（5）一阶常系数齐次线性差分方程yx+1−ayx=0的特征方程为：λ−a=0通解为：Yx=Cax（C为任意常数）（6）一阶常系数非齐次线性差分方程yx+1−ayx=f(x)的特解为：①若f(x)=Pn(x)，则特解为：yx∗=xkQn(x)i.若1不是特征方程的根，则k=0ii.若1是特征方程的根，则k=1②若f(x)=b1cosωx+b2sinωx，则特解为：yx∗=Acosωx+Bsinωx（A,B为待定系数）9.条件概率公式：P(B|A)=P(AB)P(A)10.全概率公式：P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+⋯+P(A|Bn)P(Bn)贝叶斯公式：P(Bi|A)=P(A|Bi)P(Bi)∑P(A|Bj)P(Bj)nj=1i=1,2,⋯,n※常用的两个公式：P(A)=P(A|B)P(B)+P(A|B̅)P(B̅)P(B|A)=P(A|B)P(B)P(A|B)P(B)+P(A|B̅)P(B̅)11.※随机变量分布及其数字特征：分布及数字征离散型分布律期望方差（0-1）分布P{X=k}=pk(1−p)1−kpp(1−p)二项分布P{X=k}=Cnkpkqn−knpnpq几何分布P{X=n}=p∙qn−11pqp2超几何分布P{X=k}=CMkCN−Mn−kCNnnMNnMN(1−MN)(N−nN−1)泊松分布P{X=k}=λkk!e−λλλ分布及数字征连续型概率密度分布函数期望方差均匀分布f(x)={1b−a,a𝑥𝑏0,其他F(x)={0,x𝑎x−ab−a,a≤x𝑏1,x≥ba+b2(b−a)212指数分布f(x)={λe−λx,x00,x≤0F(x)={0,x≤01−e−λx,x01λ1λ2一般正态分布f(x)=1√2πσe−(x−μ)22σ2μσ2标准正态分布φ(x)=1√2πe−x22Φ(x)=1√2π∫e−t22dtx−∞0112.边缘分布公式：连续型随机变量边缘分布函数：FX(x)=F(x,∞),FY(y)=F(∞,y)离散型随机变量边缘分布函数：不需要记，明白意思就能自己推连续型随机变量概率密度：fX(x)=∫f(x,y)dy+∞−∞,fY(y)=∫f(x,y)dx+∞−∞离散型随机变量概率密度：不需要记，明白意思就能自己推13.两个随机变量的函数分布：i.Z=X+Y的分布若X与Y不独立，则{fX+Y(z)=∫f(z−y,y)dy+∞−∞fX+Y(z)=∫f(x,z−x)dx+∞−∞若X与Y独立，则{fX+Y(z)=∫fX(z−y)fY(y)dy+∞−∞fX+Y(z)=∫fX(x)fY(z−x)dx+∞−∞ii.Z=YX的分布；Z=XY的分布若X与Y不独立，则{fYX⁄(z)=∫|x|f(x,xz)dx+∞−∞fXY(z)=∫1|x|f(x,zx)dx+∞−∞若X与Y独立，则{fYX⁄(z)=∫|x|fX(x)fY(xz)dx+∞−∞fXY(z)=∫1|x|fX(x)fY(zx)dx+∞−∞iii.M=max{X,Y}及N=min{X,Y}的分布，设X和Y相互独立※Fmax(z)=FX(z)FY(z)※Fmin(z)=1−[1−FX(z)][1−FY(z)]14.期望及方差公式：（1）离散型随机变量期望：E(X)=∑xkpk∞k=1（2）连续型随机变量期望：E(X)=∫xf(x)dx+∞−∞（3）设Y是X的函数Y=g(X)，则E(Y)=E[g(X)]=∑g(xk)pk∞k=1E(Y)=E[g(X)]=∫g(x)f(x)dx+∞−∞（4）设Z是二维随机变量(X,Y)的函数Z=g(X,Y)，则E(Z)=E[g(X,Y)]=∫∫g(x,y)f(x,y)dx+∞−∞dy+∞−∞E(Z)=E[g(X,Y)]=∑∑g(x,y)pij∞i=1∞j=1（5）期望的性质：i.E(X+Y)=E(X)+E(Y)ii.若X,Y不相关，则：E(XY)=E(X)E(Y)iii.附加公式：E(X+Y)=∫∫(x+y)f(x,y)dx+∞−∞dy+∞−∞E(XY)=∫∫xyf(x,y)dx+∞−∞dy+∞−∞（6）方差定义式：D(X)=E{[X−E(X)]2}具体写成：{D(X)=∑[xk−E(X)]2pk∞k=1D(X)=∫[xk−E(X)]2f(x)dx+∞−∞（7）※方差计算式：D(X)=E(X2)−E2(X)（8）方差的性质：i.D(CX)=C2D(X),D(X+C)=D(X)ii.D(X±Y)=D(X)+D(Y)±2Cov(X,Y)iii.若X,Y不相关，则：D(X±Y)=D(X)+D(Y)（9）切比雪夫不等式：设随机变量X具有期望E(X)=μ，方差D(X)=σ2，则对任意正数ξ有：P{|X−μ|≥ξ}≤σ2ξ2或P{|X−μ|𝜉}≥1−σ2ξ2（10）协方差定义式：Cov(X,Y)=E{[X−E(X)][Y−E(Y)]}（11）协方差计算式：Cov(X,Y)=E(XY)−E(X)E(Y)（12）协方差的性质：i.Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)ii.Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y)（13）相关系数：ρXY=Cov(X,Y)√D(X)∙D(Y)从此处开始以下公式共用一个条件：X1,X2,⋯,Xn是来自总体X的简单随机样本。15.（1）当n充分大时：∑xknk=1−nμ√nσ~N(0,1)（2）当n充分大时，上式也可也写成：X̅−μσ√n⁄~N(0,1)或X̅~N(μ,σ2n⁄)16.（1）样本均值：X̅=1n∑Xini=1※（2）样本方差：S2=1n−1∑(Xi−X̅)2ni=1=1n−1[∑Xi2ni=1−n(X̅)2]16.χ2分布：总体X~N(0,1)，则χ2=X12+X22+⋯+Xn2记作：χ2~χ2(n)E(χ2)=n,D(χ2)=2nχ2(n1)+χ2(n2)=χ2(n1+n2)17.t分布：设X~N(0,1)，Y~χ2(n)，则t=X√Yn⁄记作：t~t(n)若t~t(n)，则：t2~F(1,n)18.F分布：设X~χ2(n1)，Y~χ2(n2)，且X与Y相互独立，则F=Xn1⁄Yn2⁄记作：F~F(n1,n2)若F~F(n1,n2)，则1F~F(n2,n1)特例：若X~N(0,1)，Y~N(0,1)则X2Y2~F(1,1)※19.九个最常见的统计量：E(X̅)=μ,D(X̅)=σ2n⁄,E(S2)=σ2X̅~N(μ,σ2n⁄),X̅−μσ√n⁄=√n(X̅−μ)σ~N(0,1)∑(Xi−μ)2ni=1σ2~χ2(n)(n−1)S2σ2=∑(Xi−X̅σ)2ni=1~χ2(n−1)X̅−μS√n⁄=√n(X̅−μ)S~t(n−1)n(X̅−μ)2S2~F(1,n−1)20.施密特正交化公式：β1=α1β2=α2−[β1,α2][β1,β1]β1β3=α3−[β1,α3][β1,β1]β1−[β2,α3][β2,β2]β2⋯βr=αr−[β1,αr][β1,β1]β1−[β2,αr][β2,β2]β2−⋯−[βr−1,αr][βr−1,βr−1]βr−1