第四章-机器人静力分析与动力学.

2020年10月14日9时58分第四章机器人静力分析与动力学1雅可比矩阵两空间之间速度的线性映射关系—雅可比矩阵（简称雅可比）。它可以看成是从关节空间到操作空间运动速度的传动比，同时也可用来表示两空间之间力的传递关系。vxvy12),(21),(yx存在怎样的关系3.5机器人的雅可比矩阵2020年10月14日9时58分第四章机器人静力分析与动力学2看一个两自由度平面关节机器人的末端点位置（x，y）图4-1两自由度平面关节机器人容易求得将其微分得写成矩阵形式1221112211slslyclclx211221221112212211ddclclclslslsldydx令末端位姿则)(qXX)()(qdqJdX1221221112212211)(clclclslslslqJ2020年10月14日9时58分第四章机器人静力分析与动力学3假设关节速度为，手爪速度为。式中J称为机器人雅可比（Jacobian）矩阵，它由函数x，y的偏微分组成，反映了关节微小位移dθ与手部末端微小运动dX之间的关系。对dX=Jdθ，两边同除以dt，得qqJV)(Jx)()(qdqJdX2020年10月14日9时58分第四章机器人静力分析与动力学4机器人雅可比矩阵定义为它的操作空间速度与关节空间速度的线性变换。（或V）称为手爪在操作空间中的广义速度，简称操作速度，为关节速度。J若是6×n的偏导数矩阵，它的第i行第j列的元素为：njiqqxqJjiij,...,2,1;6,...,2,1,)()(式中，x代表操作空间，q代表关节空间。x2020年10月14日9时58分第四章机器人静力分析与动力学5若令J1，J2分别为上例中雅可比矩阵的第一列矢量和第二列矢量，即2121][JJx可以看出，雅可比矩阵的每一列表示其它关节不动而某一关节以单位速度运动产生的端点速度。由，可看出，J阵的值随手爪位置的不同而不同，即θ1和θ2的改变会导致J的变化。1221221112212211clclclslslslJ2020年10月14日9时58分第四章机器人静力分析与动力学6对于关节空间的某些形位，机器人雅可比矩阵的秩减少，这些形位称为操作臂（机械手）的奇异形位。上例机械手雅可比矩阵的行列式为：det(J)=l1l2s2当θ2=0°或θ2=180°时，机械手的雅可比行列式为0，矩阵的秩为1，因此处于奇异状态。在奇异形位时，机械手在操作空间的自由度将减少。2020年10月14日9时58分第四章机器人静力分析与动力学7只要知道机器人的雅可比J是满秩的方阵，相应的关节速度即可求出，即。上例平面2R机器人的逆雅可比于是得到与末端速度相应的关节速度：显然，当θ2趋于0°（或180°）时，机械手接近奇异形位，相应的关节速度将趋于无穷大。122111221112212222111slslclclslclsllJA^(-1)=(1/|A|)×A*，其中A^(-1)表示矩阵A的逆矩阵,|A|为矩阵A的行列式,A*为矩阵A的伴随矩阵。2020年10月14日9时58分第四章机器人静力分析与动力学8例.图示二自由度机器人，手部沿固定坐标系X0轴正向以1m/s的速度移动，杆长l1=l2=0.5m。设在某瞬时θ1=30°，θ2=60°，求相应瞬时关节速度。解：二自由度机器人速度雅可比为：逆雅可比为：根据，vX=1m/s，vY=0，即1121221211212212ssscccllllllJ21221211121211212122cs1ccsssllllllllJ1qJvT[1,0]v12122121121211212122210cs1ccsssllllllll12112c1rad/s2rad/ss0.5l11221212cc4rad/sssll2020年10月14日9时58分第四章机器人静力分析与动力学93.5机器人的雅可比矩阵•雅可比矩阵：机械手的笛卡儿空间运动速度与关节空间运动速度之间的变换称之为雅可比矩阵。关节空间向笛卡儿空间速度的传动比。设x为表示机械手末端位姿的广义位置矢量，q为机械手的关节坐标矢量,n个关节则为n维矢量jiijijnjjiqxqJjiqJqqJqqxxqxx)()()()(611的矩阵为dqqJtqqJDtxdDdtwvxttt)()(limlim1lim000nnnnnnnnqqqqJJJJJJJJJJJJJJJJJJwv121662615525144241332312222111211x0y0z0iziiizqnip2020年10月14日9时58分第四章机器人静力分析与动力学10第四章机器人静力分析与动力学4.1概述4.2机器人静力学4.3牛顿-欧拉方程4.4拉格朗日方程2020年10月14日9时58分第四章机器人静力分析与动力学11机器人动力学解机器人正动力学问题——已知机器人各关节驱动力或力矩，求机器人各关节轨迹或末端执行器（位姿）轨迹。机器人逆动力学问题——已知机器人各关节轨迹或末端执行器（位姿）轨迹，求机器人各关节驱动力或力矩。4.1概述2020年10月14日9时58分第四章机器人静力分析与动力学12机器人动力学研究目的建立力、质量和加速度之间以及力矩、惯量和角加速度之间的关系。确定力和力矩，计算每个驱动器所需的驱动力，以便在机器人连杆和关节上产生期望的加速度。根据有关方程并考虑机器人的外部载荷计算出驱动器可能承受的最大载荷，设计出能提供足够力及力矩的驱动器。研究机器人不同部件之间的关系，合理地设计出机器人的部件。4.1概述2020年10月14日9时58分第四章机器人静力分析与动力学134.2机器人静力分析机器人与外界环境相互作用时，在接触的地方要产生力和力矩，统称为末端广义（操作）力矢量。记为n个关节的驱动力（或力矩）组成的n维矢量称为关节力矢量y0x012TyxFFF],[0),(21),(nf存在怎样的关系2020年10月14日9时58分第四章机器人静力分析与动力学14利用虚功原理，令各关节的虚位移为δqi，末端执行器相应的虚位移为D。根据虚位移原理，各关节所作的虚功之和与末端执行器所作的虚功应该相等，即简写为:又因为,所以得到与之间的关系式中称为机械手的力雅可比。它表示在静态平衡状态下，操作力向关节力映射的线性关系。2020年10月14日9时58分第四章机器人静力分析与动力学15若J是关节空间向操作空间的映射（微分运动矢量），则把操作空间的广义力矢量映射到关节空间的关节力矢量。关节空间操作空间雅可比J力雅可比JT2020年10月14日9时58分第四章机器人静力分析与动力学16若已知则有zyxdzdydxaonaonaonapapapaaaopopopooonpnpnpnnnzyxdzdydxzzzyyyxxxzyxzyxzyxzyxzyxzyxiiiiii000000000)()()()()()()()()({T}{0}{0}{T}2020年10月14日9时58分第四章机器人静力分析与动力学17{B}{A}{A}BBABAOBABABAAVRPRSRV0)({B}JTJ根据前面导出的两坐标系{A}和{B}之间广义速度的坐标变换关系，可以导出{A}和{B}之间广义操作力的坐标变换关系。2020年10月14日9时58分第四章机器人静力分析与动力学18解：由前面的推导知例:如图4-3所示的平面2R机械手，手爪端点与外界接触，手爪作用于外界环境的力为，若关节无摩擦力存在，求力的等效关节力矩。所以得：图4-3关节力和操作力关系y0x012TyxFFF],[02020年10月14日9时58分第四章机器人静力分析与动力学19机器人静力计算机器人操作臂静力计算可分为两类问题：(1)已知外界环境对机器人手部的作用力F，利用式求相应的满足静力平衡条件的关节驱动力矩τ。(2)已知关节驱动力矩τ，确定机器人手部对外界环境的作用力或负载的质量。第二类问题是第一类问题的逆解。逆解的关系式为F=(JT)–1τ机器人自由度不是6时，例如n6，力雅可比矩阵就不是方阵，则JT就没有逆解。故第二类问题的求解困难得多，一般情况不一定能得到惟一解。若F的维数比τ的维数低，且J满秩，则可利用最小二乘法求得F的估计值。TτJF2020年10月14日9时58分第四章机器人静力分析与动力学20例：如图示的机械手夹扳手拧螺丝，在腕部（{Os}）装有力/力矩传感器，若已测出传感器上的力和力矩，求这时作用在螺钉上的力和力矩()],,[zyxSOTrrrP2020年10月14日9时58分第四章机器人静力分析与动力学21解：根据图示的相应位姿关系得因此可得两坐标系的微分运动关系和静力传递关系为：{S}{T}{S}{T}微分运动关系时：静力传递关系时：2020年10月14日9时58分第四章机器人静力分析与动力学224.4.1转动惯量平移作为回转运动来分析根据牛顿第二定律和若把这一运动看成是杆长为r，集中质量在末端为m的杆件绕z轴的回转运动，则得到加速度和力的关系式为2020年10月14日9时58分第四章机器人静力分析与动力学23式中，和N是绕z轴回转的角加速度和转矩。上式为质点绕固定轴回转时的运动方程式。I相当于平移运动时的质量，称为转动惯量。将它们代入前面的方程，得：令，则有：2020年10月14日9时58分第四章机器人静力分析与动力学24例：求图所示的质量为M，长度为L的匀质杆绕其一端回转时的转动惯量I。解：匀质杆的微段dx的质量用线密度ρ（=M/L）表示为dm=ρdx。该微段产生的转动惯量为。因此，把dI在长度方向上积分，可得该杆的转动惯量I为：2020年10月14日9时58分第四章机器人静力分析与动力学25例：试求上例中杆绕其重心回转时的转动惯量IC。解：先就杆的一半来求解，然后加倍即可。假定x为离杆中心的距离，则得到即平行轴定理：刚体对任一轴的转动惯量，等于刚体对过质心且与该轴平行之轴的转动惯量加上刚体的质量与此两轴间距离平方的乘积。设刚体对过质心C的Zc轴的转动惯量为IZC，对与Zc轴平行的Z轴的转动惯量为IZ，该两轴间的距离为d，刚体的质量为M，则2020年10月14日9时58分第四章机器人静力分析与动力学264.4.2Newton-Euler递推动力学方程如果将机械手的连杆看成刚体，它的质心加速度、总质量m与产生这一加速度的作用力f之间的关系满足牛顿第二运动定律:当刚体绕过质心的轴线旋转时，角速度ω，角加速度，惯性张量与作用力矩n之间满足欧拉方程：2020年10月14日9时58分第四章机器人静力分析与动力学27惯性张量令｛c｝是以刚体的质心c为原点规定的一个坐标系，相对于该坐标系｛c｝，惯性张量定义为３×３的对称矩阵：IczzyzxzyzyyxyxzxyxxcIIIIIIIIII式中，对角线元素是刚体绕三坐标轴x，y，z的质量惯性矩，即Ixx，Iyy，Izz，其余元素为惯性积。惯性张量表示刚体质量分布的特征。其值与选取的参考坐标系有关，若选取的坐标系使惯性积都为零，