第八节-无穷小的比较

第七节无穷小的比较1.无穷小的比较2.等价无穷小的替换1/13一、无穷小的比较无穷小之比的极限（0/0）可以出现各种情况：出现不同情况的原因是无穷小趋向于零的速度不同.例如,xxx20limxxxsinlim02201sinlimxxxx.1sin,sin,,,022都是无穷小时当xxxxxx;2快得多比xx;sin大致相同与xx不可比.,0,1xx1sinlim0.不存在观察各极限型）（0020limxxx;2慢得多比xx,2/13；记作高阶的无穷小是比，称如果)(,0lim)1(o定义:.,穷小是同一过程中的两个无设;,0lim)3(是同阶的无穷小与称如果C.~;1lim记作是等价的无穷小与，称如果特殊地，;lim)(低阶的无穷小是比，称如果２.0lim)4(阶的无穷小的是，称，如果kZkCk注若C，则C.3/13，03lim20xxx，1sinlim0xxx高阶的无穷小，是比时，当xxx302；即)0()3(2xxox).0(~sinxxx例1例２.1lim0xexx求解xexx1lim01xeu)1ln(lim0uuuuuu10)1ln(lim1eln1.1.~1~)1ln(0xexxxx，时，当4/13常用等价无穷小:时，当0x，xxxxxx~)1ln(~arctan~arcsin~tan~sin)0(~1)1(,21~cos1,~12aaxxxxxeax5/13例3.sintan0:的三阶无穷小为时，当证明xxxx证30sintanlimxxxx)cos1sincos1(lim20xxxxxx,21.sintan的三阶无穷小为xxx2000cos1limsinlimcos1limxxxxxxxx证毕6/1330sinsincoslimxxxxx30sin1coslimcosxxxxx．的是称是等价无穷小与)()(主要部分定理1o证~1lim)1(1o．)(o证毕意义：用等价无穷小可给出函数的近似表达式．例如,,0时当x,21~cos1,~sin2xxxx),(sinxoxx),(21cos122xoxxxycos1221yx.1~11,~)1ln(xnxxxn),()1ln(xoxx).(111xoxnxn7/13二、等价无穷小代换定理２(等价无穷小代换定理).limlim,~,~则设证lim)lim(limlimlim.lim证毕注可利用这条性质简化一些极限的计算：求极限时，分子、分母中的因子可用等价无穷小替换（替换后极限情况不变）。9/13例5.cos12tanlim20xxx求解.2~2tan,21~cos1,02xxxxx时当22021)2(limxxx原式.8例6.)cos1(2sinlim20xxarcx求解)cos1(2sinlim20xxarcx)cos1(2lim20~sinarcxxxxx20lim2sinxxx22sin~20lim2xxxxx10/13例7.2sinsintanlim30xxxx求解.~sin,~tan,0xxxxx时当30)2(limxxxx原式.0解)cos1(tansintanxxxx,21~3x,2~2sinxx330)2(21limxxx原式.161错注意：只可对乘积中的无穷小因子作等价无穷小代换，对于代数和中各无穷小项不能作等价无穷小代换（但是，可以象例4中那样利用等价无穷小）.11/13注对无穷大量也可以比较它们趋于无穷大的速度，定义高（低、同）阶无穷大以及等价无穷大；也可以进行等价无穷大替换。12/13三、小结1、无穷小的比较反映了同一过程中，两无穷小趋于零的速度相对的快慢。但并不是所有的无穷小都可进行比较。2、等价无穷小的代换:求极限的又一种方法,注意适用条件.高(低、同)阶无穷小;等价无穷小;无穷小的阶.13/13作业习题1-2剩余的全部例1.设数列nx有界，又0limnny，证明：0limnnnyx.证：0,,||,nMnxM0,,,||/,nNnNyM所以0,,,||,nnNnNxyMM即：0limnnnyx.阶段复习.__________1sinlim520xxx、.__________33lim132xxx、一、填空题:.__________11lim231xxx、.__________)112)(11(lim32xxxx、.__________5)3)(2)(1(lim43nnnnn、.__________coslim6xxxeex、练习题-5321/500.__________2324lim72240xxxxxx、.__________)12()23()32(lim8503020xxxx、二、求下列各极限:1111lim(1...)242nn、hxhxh220)(lim2、)1311(lim331xxx、1/2303()2=2=2x=-1111()11121lim(1...)lim2124212nnnn、38231lim4xxx、)(lim5xxxxx、1412lim6xxx、=-2=1/2=05lim()lim()11lim()lim()211xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx、例求极限xxxx193lim17/17解xxxx193limxxxxx111319lim0919.__________3cotlim40xxx、一、填空题:._________sinlim10xxx、.__________3sin2sinlim20xxx、.__________2sinlim5xxx、._________)1(lim610xxx、练习题0arctan3lim__________.xxx、11/30e2/3xxx2tan4)(tanlim2、._________)1(lim72xxxx、._________)11(lim8xxx、xxxxsin2cos1lim10、xxaxax)(lim3、二、求下列各极限:2e1e=21e2ae1e5、nnnn1)321(lim=3214lim()1nnnn、tan242lim(tan)xxx、2211tanlim(t)ttttx121(1)1lim[1(t1)]tttt1e214lim()1nnnn、221lim()(1)nnnn2221lim()(1)nnnn222(1)2lim()(1)nnnnn222lim(1)(1)nnnn22(1)222(1)22lim(1)(1)nnnnnnnn1e1lim(123)nnnn5、1112lim3(1)33nnnnnnn1213lim(1)3nnnn0313三、利用极限存在准则证明数列,......222,22,2的极限存在，并求出该极限.证,1nnxx易知;是单调递增的nx122,x又2kx假定12kkxx22;是有界的nx.lim存在nnx12,nnxx212,nnxx22,AA得1,2AA解得由xn0A0,lim2.nnx.limAxnn记,2一、填空题：1、xxx2sin3tanlim0=__________.2、mnxxx)(sinarcsinlim0=________.3、xxx)21ln(lim0=_________.4、xxxxxarctan1sin1lim20=________.5、nnnx2sin2lim=________.6、xaxnx1)1(lim10=_________.练习题7、当0x时，)0(3aaxa对于x是_______阶无穷小.8、当0x时，无穷小xcos1与nmx等价，则.______________,nm二、求下列各极限：1、xxxx30sinsintanlim；2、eelim；3、xxxxsinsinlim0；4、axaxaxtantanlim；三、证明：若,是无穷小，则)(0~.四、设f(x)=1)cos(2sinlim212nnnxbxaxx求：1、)(xf的表达式.2、确定ba,的值,使得)1()(lim1fxfx，)1()(lim1fxfx.一、1、23；2、nmnmnm,,1,0；3、2；4、；5、x；6、na；7、3；8、21,2.二、1、21；2、e；3、；4、a2sec.练习题答案sin2,11cos(),11()21cos(),12cos(),1xxxabxfxabxabxx四、、；2、0,),1,0(2bkka.