7.4-状态反馈和极点配置

1线性定常系统的状态反馈和极点配置状态反馈与极点配置问题的提法可配置条件(极点配置定理)极点配置的算法输出反馈与极点配置2问题的提法给定单输入单输出线性定常被控系统ABuxx11,,)(,)(nnnnRBRARtuRtx选取线性反馈控制律为urKx式中K∈R1×n为状态反馈增益矩阵或线性状态反馈矩阵。下图分别给出了开环控制系统和具有状态反馈的系统的结构图。uBrIsCyAk-+++xx(a)开环控制系统(b)闭环反馈控制系统3问题的提法将控制代入系统，得到urKxABuxx()()()xtABKxtBr由此可见，系统的响应特性将由闭环系统矩阵A-BK的特征值决定。如果矩阵K选取适当，则可使矩阵A-BK构成一个渐近稳定矩阵。矩阵A-BK的特征值即为闭环系统的极点。这种使闭环系统的极点任意配置到所期望位置的问题，称为极点配置问题。4可配置条件_极点配置定理考虑线性定常系统假设控制输入u的幅值是无约束的。如果选取控制规律为ABuxxurKx式中K为线性状态反馈矩阵。定理(极点配置定理)线性定常系统可通过线性状态反馈任意地配置其全部极点的充要条件是，此被控系统状态完全可控。该定理对多变量系统也成立。证明(对单输入单输出系统)1、充分性2、必要性5极点配置定理_充分性1.充分性。如果线性系统状态完全可控，一定存在非奇异变换，使其变换为可控标准形。定义非奇异线性变换矩阵P为P=QW，其中Q为可控性矩阵，ABuxx1[]nQBABAB1212311101001000nnaaaaaWa式中ai为特征多项式的系数：1110nnnsIAsasasa6极点配置定理_充分性定义一个新的状态向量xPx如果可控性矩阵Q的秩为n（即系统是状态完全可控的），则矩阵Q的逆存在，并且可将原线性系统改写为ccABuxx1101210100000100000101ccnAPAPBPBaaaaABuxx上式为可控标准形。选取一组期望的特征值为，则期望的特征方程为12,,,n*1**12110()()()...0nnnnssssasasa7极点配置定理_充分性设011[k]nKKPkk由于，此时该系统的状态方程为urKrKPxx()cccABKBrxx相应的特征方程为0ccsIABK因为非奇异线性变换不改变系统的特征值，当利用u=r-Kx作为控制输入时，相应的特征方程与上式相同，均有如下结果。00111111111001000()()()0ccnnnnnnsssIABKakaksaksaksaksak这是具有线性状态反馈的闭环系统的特征方程，它一定与期望特征方程相等。通过使s的同次幂系数相等，可得8极点配置定理_充分性000111111nnnakaakaaka求解上述方程组，得到的值，则ik110111001111[k][]nnnKKPkkPaaaaaaP如果系统是状态完全可控的，则通过对应于上式所选取的矩阵K，可任意配置所有的特征值。充分性得证。9极点配置定理_必要性即已知闭环系统可任意配置极点，证明被控系统状态完全可控。现利用反证法证明。先证明如下命题：如果系统不是状态完全可控的，则矩阵A-BK的特征值不可能由线性状态反馈来控制。假设原线性系统状态不可控，则其可控性矩阵的秩小于n，即ABuxxnqBAABBrankn][1则必有状态变量与控制u无关，因此，不可能实现全状态反馈，则不可控子系统的特征值就不能任意配置。所以，为了任意配置矩阵A-BK的特征值，此时系统必须是状态完全可控的。必要性得证。10极点配置的算法给定线性定常系统，若线性反馈控制律为，则可由下列步骤确定线性反馈矩阵K，使A-BK的特征值为μ1,μ2,…μn，即闭环系统的期望极点值(如果μi是复数特征值，则其共轭必定也是A-BK的特征值)。◆考察系统的可控性条件。如果系统是状态完全可控的，则可按下列步骤继续。◆计算系统矩阵A的特征多项式，确定的值。BuAxxurKx1110det()nnnsIAsIAsasasa◆确定将系统状态方程变换为可控标准形的变换矩阵P。若给定的状态方程已是可控标准形，则P=I。此时无需再写出系统的可控标准形状态方程。非奇异线性变换矩阵P=QW。◆利用给定的期望闭环极点，可写出期望的特征多项式为naaa,,,21112110)))nnnnssssasasa（（（从而确定出a1*,a2*,…an*的值。◆最后得到状态反馈增益矩阵K为1001111[]nnKaaaaaaP11极点配置例1【例】考虑如下线性定常系统BuAxx100,651100010BA利用状态反馈控制，希望该系统的闭环极点为s=-2±j4和s=-10。试确定状态反馈增益矩阵K。【解】该系统已是可控标准形。检验该系统的可控性矩阵。由于可控性矩阵为3161610100][2BAABBQ得出detQ=-1。因此，rankQ=3。因而该系统是状态完全可控的，可任意配置极点。下面用两种方法求解。12极点配置例1方法1：利用刚才介绍的求解步骤，计算系统矩阵A的特征多项式，求特征值。323221010||011566510ssIAssssssasasa2106,5,1aaa则期望的特征方程为323*2**210(24)(24)(10)14602000sjsjsssssasasa***21014,60,200aaa则由可得[2001605146][199558]K1001111[]nnKaaaaaaP13极点配置例1方法2：设期望的状态反馈增益矩阵为并使[sI-A+BK]和期望的特征多项式相等，可得012[]Kkkk012000100||000010[]001561ssIABKskkks01232210321001156(6)(5)11460200sskksksksksksss令对应系数相等得即012199,55,8kkk]855199[K14输出反馈与极点配置输出有两种形式，一种是将输出量反馈到状态微分处，一种是将输出量反馈到参考输入。它们的系统结构图如下图所示。(a)输出反馈到状态微分(b)输出反馈到参考输入15式中h为（n×1）输出反馈矩阵。定理用输出到状态微分的反馈任意配置闭环极点的充要条件是：受控系统状态完全可观测。证明利用对偶定理来证明。若（A,B,C）可观测，则对偶系统（AT,BT,CT）可控，由状态反馈极点配置定理可知，（AT－CTh）的特征值可任意配置，但（AT－CTh）特征值与（AT－CTh）T=A－hC的特征值相同，故当且仅当（A,B,C）可观测时，可以任意配置A－hC的特征值。证毕。为了根据期望的闭环极点位置来设计输出反馈矩阵h的参数，只需将期望的系统特征多项式与该输出反馈系统特征多项式相比较即可。输出反馈到状态微分对输出量反馈到状态微分的系统，设被控对象的状态方程为AByCxxux则输出反馈系统的状态方程为则AByyCxxuhx()ACByCxhxux)Ch16输出反馈到参考输入设被控对象的状态方程为AByCxxux输出量反馈到参考输入时，u=r-hy，则该输出反馈系统的动态方程为()ABCByCxhxvx式中h为（p×1）输出反馈矩阵。若令hC=K,该输出反馈便等价为状态反馈。适当选取h，可任意配置特征值。可推论，当h阵是常数矩阵时，并不能任意配置极点。输出到输入的反馈不会改变受控系统的可控性和可观性。