傅里叶变换及应用

傅里叶变换在MATLZB里的应用摘要：在现代数学中，傅里叶变换是一种非常重要的变换，且在数字信号处理中有着广泛的应用。本文首先介绍了傅里叶变换的基本概念、性质及发展情况；其次，详细介绍了分离变数法及积分变换法在解数学物理方程中的应用。傅立叶变换将原来难以处理的时域信号转换成了易于分析的频域信号，再利用傅立叶反变换将这些频域信号转换成时域信号。应用MATLAB实现信号的谱分析和对信号消噪。关键词：傅里叶变换；MATLAB软件；信号消噪Abstract:Inmodernmathematics,Fouriertransformisatransformisveryimportant,Andhasbeenwidelyusedindigitalsignalprocessing.Thispaperfirstintroducesthebasicconcepts,propertiesanddevelopmentsituationofFouriertransform;Secondly,introducesindetailthemethodofseparationofvariablesandintegraltransformmethodinsolvingequationsinMathematicalPhysics.Fouriertransformationmakestheoriginaltimedomainsignalwhoseanalysisisdifficulteasy,bytransformingitintofrequencydomainsignalthatcanbetransformedintotimedomainsignalbyinversetransformationofFourier.UsingMatlabrealizessignalspectralanalysisandsignaldenoising.Keyword:Fouriertransformation,softwareofmatlab,signaldenoising1、傅里叶变换的提出及发展在自然科学和工程技术中为了把较复杂的运算转化为较简单的运算，人们常常采用所谓变换的方法来达到目的例如在初等数学中，数量的乘积和商可以通过对数变换化为较简单的加法和减法运算。在工程数学里积分变换能够将分析运算（如微分，积分）转化为代数运算，正是积分变换这一特性，使得它在微分方程和其它方程的求解中成为重要方法之一。1804年，法国科学家J-.B.-J.傅里叶由于当时工业上处理金属的需要，开始从事热流动的研究他在题为热的解析理论一文中，发展了热流动方程，并且指出如何求解在求解过程中，他提出了任意周期函数都可以用三角级数来表示的想法。他的这种思想，虽然缺乏严格的论证，但对近代数学以及物理、工程技术却都产生了深远的影响，成为傅里叶变换的起源。从现代数学的眼光来看，傅里叶变换是一种特殊的积分变换。它能将满足一定条件的某个函数表示成正弦基函数的线性组合或者积分。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。[1]傅里叶变换通过对函数的分析来达到对复杂函数的深入理解和研究。最初，傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具，但是其思想方法仍然具有典型的还原论和分析主义的特征。“任意”的函数通过一定的分解，都能够表示为正弦函数的线性组合的形式，而正弦函数在物理上是被充分研究而相对简单的函数类。利用这一点，傅里叶变换可通过对相对简单的事物的研究来了解复杂事物，而且现代数学发现傅里叶变换具有非常好的性质：（1）傅里叶变换是线性算子，若赋予适当的范数+它还是酉算子；（2）傅里叶变换的逆变换容易求出，而且形式与正变换非常类似；（3）正弦基函数是微分运算的本征函数，从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解在线性时不变的物理系统内，频率是个不变的性质，从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取；（4）著名的卷积定理指出.傅里叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算，从而提供了计算卷积的一种简单手段；（5）离散形式的傅里叶变换可以利用数字计算机快速的算出（其算法称为快速傅里叶变换算法）。（6）正是由于上述的良好性质,傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率、统计、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。2、傅里叶变换的基本概念由傅里叶级数知，一个周期函数可以展开成为傅里叶级数，而一个非周期函数可以看成某个周期函数其周期趋向于无穷大转化而来。根据这个思路，我们可以得到傅里叶积分公式及傅里叶积分公式成立的充分条件——傅里叶积分定理。2.1傅里叶级数的指数形式定理设tfT是以0TT为周期的实函数[2]，且在,22TT上满足狄利克雷条件，即tfT在一个周期上满足：（1）连续或只有有限个第一类间断点；（2）只有有限个极值点.则在连续点处，有10sincos2nnnTtnbtnaatf(1)其中dttfTaTTT2201,,2,1cos122ntdtntfTaTTTn,.2,1sin122ntdtntfTbTTTn,在间断点0t处，(1)式右端级数收敛于20000tftfTT.又2cosiiee,ieeii2sin,.于是10222ntintinntintinnTieebeeaatf10222ntinnntinnneibaeibaa令,200ac2nnnibac,2nnnibac,,,3,2,1n则ntinnTectf2201212ititintititintnnccececececece(2)(2）式称为傅里叶级数的复指数形式，具有明显的物理意义.容易证明nc可以合写成一个式子,即,2,1,0122ndtetfTctinTTTn.(3)2.2傅里叶积分任何一个非周期函数tf,都可看成是由某个周期函数tfT当T→+∞时转化而来的.即tfTTlimtf.由公式(2)、(3)得tinnTTinTTedefTtf221,可知tinnTTinTTedefTtf221lim,令1,nnnnn,则T2或nT2.于是tinTTiTTnnedefTtf221limntinTTiTnnnedef22021lim,令tiiTTTnTnnedef][2122,故tfnnnTn0lim.(4)注意到当,0n即T时,tiinnTnnedef][21)(.从而按照积分的定义，（4）可以写为：tfd，或者dedeftftii][21.(5)公式（5）称为函数tf的傅氏积分公式.定理若tf在(-∞,+∞)上满足条件:(1)tf在任一有限区间上满足狄氏条件;(2)tf在无限区间(-∞,+∞)上绝对可积,即dttf收敛,则（5）在tf的连续点成里;而在tf的间断点0t处应以20000tftf来代替.上述定理称为傅氏积分定理.可以证明，当tf满足傅氏积分定理条件时，公式(5)可以写为三角形式，即.,200,]cos[10其它连续点处，在tftftftfddtf(6)2.3周期傅里叶变换描述周期现象的最简单的周期函数是物理学上所说的谐波函数，它由正弦或余弦函数来表示)cos()(awtAty（2.1）而所有函数都可以看做是不同频率的正弦或余弦函数的叠加。下面介绍周期函数的傅里叶变换[3]。将一个周期为T的函数分解为Fourier级数，其三角形式展开为：10)sincos()(nnntnbtnaatf（2.2）2.4离散傅里叶变换但我们在数字资料处理中经常的不是一个函数，而是一个离散的序列。与连续时间信号的分析类似，对于连续时间信号进行离散Fourier变换，一般可概括为时域采样，时域截断，频域采样三个步骤，最终导出离散傅立叶变换[2]对为：n=0,1,2,…,N-1（2.3）01()()knnXnXkWN它通过连续傅立叶变换，将N个时域采样点与N个频域采样点联系起来。3、傅立叶变换的应用傅立叶变换以前，图像（未压缩的位图）是由对在连续空间（现实空间）上的采样得到一系列点的集合，我们习惯用一个二维矩阵表示空间上各点，则图像可由z=f(x,y)来表示。由于空间是三维的，图像是二维的，因此空间中物体在另一个维度上的关系就由梯度来表示，这样我们可以通过观察图像得知物体在三维空间中的对应关系。为什么要提梯度？因为实际上对图像进行二维傅立叶变换得到频谱图，就是图像梯度的分布图，当然频谱图上的各点与图像上各点并不存在一一对应的关系，即使在不移频的情况下也是没有。傅立叶频谱图上我们看到的明暗不一的亮点，实际上图像上某一点与邻域点差异的强弱，即梯度的大小，也即该点的频率的大小（可以这么理解，图像中的低频部分指低梯度的点，高频部分相反）。一般来讲，梯度大则该点的亮度强，否则该点亮度弱。这样通过观察傅立叶变换后的频谱图，也叫功率图，我们首先就可以看出，图像的能量分布，如果频谱图中暗的点数更多，那么实际图像是比较柔和的（因为各点与邻域差异都不大，梯度相对较小），反之，如果频谱图中亮的点数多，那么实际图像一定是尖锐的，边界分明且边界两边像素差异较大的。对频谱移频到原点以后，可以看出图像的频率分布是以原点为圆心，对称分布的。将频谱移频到圆心除了可以清晰地看出图像频率分布以外，还有一个好处，它可以分离出有周期性规律的干扰信号，比如正弦干扰，一副带有正弦干扰，移频到原点的频谱图上可以看出除了中心以外还存在以某一点为中心，对称分布的亮点集合，这个集合就是干扰噪音产生的，这时可以很直观的通过在该位置放置带阻滤波器消除干扰。3.1冲激信号[4]冲激函数是最基本的函数，其傅里叶变换是系统函数，只要知道系统函数，那么通过这个系统的输出函数并可以确定。在Matlab中产生冲激函数和其傅里叶变换的程序如下：M=10;T=10;N=2^M;dt=T/N;n=0:N-1;t=n*dt;w=zeros(size(t));w(100:105)=100;subplot(211);plot(t,w,'b','LineWidth',2.5);title(‘冲激函数');xlabel('t/s---');ylabel('y/m');Subplot(212);W=fft(w);W=fftshift(W);plot(t,abs(W),'b','LineWidth',2.5);title('冲激函数的傅里叶变换');xlabel('w---');ylabel('y/m');其时域图像和频域图像如图1所示图1冲激函数的时域和频谱图像分析：从图中可以看出，冲激信号的频率为0处的分量最大，然后向两端快速衰减，表明脉冲信号中实际占主导地位的其实是直流分量。3.2余弦信号我们已经知道，任何信号都可以分解成为不同频率的正或余弦信号的叠加，那么现在研究余弦信号的时域和频域特性[3]。用Matlab可以产生余弦信号并分析其频谱的特性。Matlab程序：M=10;N=2