拉普拉斯变换及在线性系统的应用

本科生毕业论文拉普拉斯变换及在线性系统的应用院系数学与统计学院专业数学与应用数学班级2007级本科3班学号0501070310学生姓名联系方式指导教师职称讲师助教2011年4月独创性声明本人郑重声明：所呈交的毕业论文是本人在指导老师指导下取得的研究成果.除了文中特别加以注释和致谢的地方外,论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果.与本研究成果相关的所有人所做出的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意.签名：年月日授权声明本人完全了解许昌学院有关保留、使用本科生毕业论文的规定,即：有权保留并向国家有关部门或机构送交毕业论文的复印件和磁盘,允许毕业论文被查阅和借阅.本人授权许昌学院可以将毕业论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索,可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编论文.本人论文中有原创性数据需要保密的部分为（无）签名：年月日指导教师签名：年月日摘要本文由拉普拉斯变换的一些基础知识入手,介绍了拉普拉斯变换的概念,定理.归纳总结了它的一些性质及关于各性质的证明和用法.重点讨论了如何用拉普拉斯变换解常系数线性微分方程（组）,总结出象原函数的几种求解方法,以及不同的方法适合使用的情况等.另外还简单介绍了拉普拉斯变换在工程学中的一些线性系统的应用,其中包括在动态电路系统和电力系统的应用.关键词：拉普拉斯变换；常系数微分方程；线性系统ABSTRACTThispaperisaboutthebasicknowledgeoftheLaplaceTransform.ItcontainstheconceptofLaplaceTransform,theorems,summarizessomeofitspropertiesandthenatureoftheproofandusage.ItdiscusseshoutousetheLaplaceTransformtosolveLinearDifferentialEquations(group).Anditsumsupavarietyofsolutionsoftheoriginalfunction,what’smore,thedifferentmethodsareusedindifferentsituations.AnditalsointroducestheLaplacetransformofsomelinearsystemsengineeringapplications,includingdynamiccircuitsystemandelectricalsystem.Keywords:Laplacetransform;Constantcoefficientdifferentialequations;Linearsystem目录1引言..................................................................12拉普拉斯变换的理论基础................................................22.1拉普拉斯变换与拉普拉斯逆变换的定义...................................22.2拉普拉斯变换的性质..................................................42.3拉普拉斯逆变换与反演积分公式........................................93拉普拉斯变换的应用...................................................103.1利用拉普拉斯变换解微分方程积分方程（组）...........................103.2利用拉普拉斯变换求解实变量的广义积分...............................123.3拉普拉斯变换在复杂线性动态电路的应用...............................123.4拉普拉斯变换在动力系统中的应用.....................................144.小结.................................................................15参考文献...............................................................16致谢.................................................................171拉普拉斯变换及在线性系统的应用1引言拉普拉斯(Laplace)变换（简称拉氏变换）是在对傅立叶(Fourier)变换改进的基础上发展起来的.我们知道傅氏变换是建立在傅氏积分的基础上,一个函数除了要满足狄氏条件外,还要在(,)上绝对可积.这是一个相当强的条件,即使一些简单的函数如线性函数,三角函数都能不满足.另外,在工程实际问题中,许多以时间t作为作为自变量的函数在0t时是无意义的,为解决上述问题,拉普拉斯变换就应运而生.拉氏变换在傅氏变换的基础上引入了衰减指数函数和单位阶跃函数,从而放宽了对函数的限制,也使之更适合工程实际.所以拉氏变换就既继承了傅立叶变换的许多好的性质,又克服了傅立叶变换的一些不足之处,它的应用性更强.拉普拉斯变换是比傅立叶变换应用更为广泛的一种积分变换.本文从白艳萍,雷英杰等编写的《复变函数与积分变换》中提炼了拉氏变换的概念,参考了冯复科编写的《复变函数与积分变换》和李红,谢松法编写的《复变函数与积分变换》总结出拉氏变换的存在性定理,周期函数的拉氏变换及拉氏逆变换,反演公式等.从上面的用到的书籍以及金忆丹,尹永成编写的《复变函数及拉普拉斯变换》中归纳出拉氏变换常用的八条性质等.大部分性质有对应的简单证明及用法例题.由拉氏变换和傅氏变换的关系导出的反演积分公式,原则上讲是一种求拉氏逆变换的通用方法.但对于求一些复杂的象原函数,我们可根据具体情况,充分利用拉氏变换的各种性质,选择适合的简便的算法.通常是将象函数分解为一些基本函数的相加或相乘,再利用拉氏变换的各种性质,并结合这些基本函数的原函数,求出总的象原函数.论文后半部分则主要简单介绍了拉普拉斯变换的一些应用.拉普拉斯变换是高等数学及一些物理系统研究中的一个非常重要的变换.作为一种数学工具可以使有关运算得以简化.首先从数学角度来看,拉氏变换是求解常系数线性微分方程的重要方法,应用拉普拉斯变换解常变量齐次微分方程,可以将微分方程化为代数方程,使问题得以解决,并且分析计算都变得简单和有效.其次在工程学上,拉普拉斯变换是研究线性定常系统的基本工具.在物理学中有很多线性系统,如电路系统、动力系统等的研究,可以归结为求常系数线性微分方程的初值问题.而拉普拉斯变换提供了求解初值问题的一种简便方法.所以说它是研究工程实际问题中线性系统的有力工具.本文参考了近期的一些科研论文,仅从数学角度分析了拉普拉斯变换在求解微分方程,在复杂的线性动态电路及动力系统等线性系统的一些简单的应用.22拉普拉斯变换的理论基础2.1拉普拉斯变换与拉普拉斯逆变换的定义[1]设函数()ft在0t时有定义,若广义积分对参变量在某一区间D内收敛,则此广义积分在区域D内定义了一个复变函数,0()()stFsftedt，（1）称复变函数()Fs为函数()ft的拉普拉斯变换,记为0()()()stFsLftftedt，（2）函数()ft成为()Fs的Laplace逆变换,记为1()()ftLFs,()ft和()Fs构成了一对拉普拉斯变换对,其中,()Fs称为变换的象函数,而()ft称为变换的象原函数.从象函数()Fs求它的象原函数()ft的一般公式：（拉普拉斯逆变换的一般公式）11()()()(0)2istiftLFsFsedsti,我们说拉普拉斯变换是由傅里叶变换转化而来的,那么它们之间又有怎样的联系呢？由（1）式,我们有00[()]()()()()[()()].sttittittLftftedtfteedtftuteedtFftute可见函数()ft的拉氏变换就是()()tftute的傅氏变换.其大致思路就是：首先通过单位阶跃函数()ut使函数()ft在0t的部分充零；其次对函数()ft在0t的部分乘上一个衰减的指数函数te以降低其“增长”速度,这样就可使函数()()tftute满足傅氏积分条件,即可进行积分.另外,我们一般约定：在拉氏变换中所提到的函数()ft均理解为当0t时取零值.例1求单位阶跃函数0,0()1,0tutt及函数ate的拉氏变换（a为常实数且0a）.3解根据拉氏变换的定义,有011[()](Re()0).ststoLutedtesss()0011[](Re0)atatstasttLeeedtesassa.例2正弦函数的()sinftkt（ｋ为常数）Laplace变换.解根据拉氏变换的公式,有0222201[sin]sin()[(sincos)],Re()0.ststeLktktedtsktkktssksk从上面的例子我们已经看出拉氏变换的确扩大了傅氏变换的使用范围,但到底那类函数存在拉氏变换呢？也就是说,相对于傅氏变换的条件,拉氏变换存在的条件要弱的多,但一个函数的拉氏变换的存在,还是要具备一些条件的.定理1[1]（拉普拉斯变换的存在定理）若函数()ft满足下列条件：①在0t的任何有限区间上分段连续.②随着t的增大,即t时,函数()ft的增大,不比某个指数函数快,即存在常数0M和0c,使得()ctftMe.则()ft的拉普拉斯变换()[()]FsLft在半平面Re()sc上一定存在.常见的大部分函数都是满足的,如常值函数,单位阶跃函数,三角函数,指数函数及幂函数等.他它们虽不满足在(,)上绝对可积的条件,但它们的增大却不超过指数级.而函数2te则不满足,因为无论取多大的M和c,对足够大的t,总会出现2tcteMe,其拉氏变换不存在.值得注意的是,拉氏变换的存在定理的条件是充分的,但不是必要的.定理2[2]周期函数的拉氏变换设()ft是以T为周期的周期函数,即()()(0)ftTftt,且在各周期上分段连续,则有01[()]().1TstsTLftftedte证(1)00[()]()().kTststkTkLftftedtftedt令tukT,则可得400000[()][()](())1().1TTskTsustskTkkTstsTLftefueduftedteftedte2.2拉普拉斯变换的性质(1)线性性质[2]若,是常数,11()()LftFs,22()()LftFs,则1212()()()()LftftLftLft,1212()()()()LfsfsLfsLfs.这个性质表明函数线性组合的拉氏变换等于函数拉氏变换的线性组合.拉氏的逆变换也一样.例1求cost的拉氏变换.解由1cos()2itittee及1[]itLesi,有221[cos]([][])2111().2ititLtLeLessisis同理可得22[sin]Lts.（2）相似性质[3]对于任一常数0a有1[()]()sLfatFaa.证0()0[()]()11()().stsuaLfatfatedtsfueduFaaa（3）位移性质[2]若()()LftFs则有①