第八章--几何非线性问题有限单元法-有限单元法与程序设计-教学课件

第八章几何非线性问题有限单元法二、非线方程组的一般解法三、几何非线性问题的平衡方程四、结构的稳定问题一、非线性问题的分类五、杆和梁单元的切线刚度矩阵六、板的切线刚度矩阵大位移、大转角、小应变0RxPxxxKxP0RdVBT一般平衡方程dKdVdBdVBddTTT第八章几何非线性问题的有限单元法二、非线方程组的一般解法三、几何非线性问题的平衡方程四、结构的稳定问题五、杆和梁单元的切线刚度矩阵六、板的切线刚度矩阵一、非线性问题的分类七、大位移问题增量解的T.L法和U.L法第八章几何非线性问题的有限单元法七、大位移问题增量解的T.L法和U.L法1、基本概念1）拉格朗日坐标和欧拉坐标拉格朗日坐标－以未变形的构形为参考建立基本方程，又称物质坐标。欧拉坐标－以物体变形后的构形为参考建立基本方程，又称空间坐标。第八章几何非线性问题的有限单元法七、大位移问题增量解的T.L法和U.L法1、基本概念2）T.L法和U.L法以初始构形为参考构形，分析过程中参考构形保持不变，这种描述法称为T.L法。以前一个相邻构形为参考构形，分析过程中参考构形不断更新变化，这种描述法称为U.L法。第八章几何非线性问题的有限单元法七、大位移问题增量解的T.L法和U.L法2、基本变量1）应变a）柯西(Cauchy)应变11000LLLLLcb）格林(Green)应变1212220202LLLGc）阿尔曼西(Almansi)应变2220211212LLLG第八章几何非线性问题的有限单元法七、大位移问题增量解的T.L法和U.L法2、基本变量2）应变与位移的关系a）格林(Green)应变iidxdxds20iiddds2iiiux由得jjiijjjiiidxudxudxd,,所以jiijjijririjjidxdxdxdxuuuudsds2,,,,202得格林(Green)应变jririjjiijuuuu,,,,21第八章几何非线性问题的有限单元法七、大位移问题增量解的T.L法和U.L法2、基本变量2）应变与位移的关系a）格林(Green)应变jririjjiijuuuu,,,,21如：22221xwxvxuxuxywxwyvxvyuxuxvyuxyxy212第八章几何非线性问题的有限单元法七、大位移问题增量解的T.L法和U.L法2、基本变量2）应变与位移的关系iidxdxds20iiddds2iiiux由得jjiijjjiiidududdx//所以jiijjijririjjiddEdduuuudsds2////202得阿尔曼西(Almansi)应变jririjjiijuuuuE/,//21b）阿尔曼西(Almansi)应变jijiuu/第八章几何非线性问题的有限单元法七、大位移问题增量解的T.L法和U.L法2、基本变量3）应力在变形后的物体上定义的应力，代表物体真实的应力。为与格林应变相适应，在未变形的物体上定义的应力a）柯西(Cauchy)应力b）克希霍夫(Kirchhoff)应力STJJJS1TJSJJ1iixJ第八章几何非线性问题的有限单元法七、大位移问题增量解的T.L法和U.L法2、基本变量4）本构关系a）小变形线弹性：b）大位移、大转动、小应变klijklijDklijklijDSklijklijED第八章几何非线性问题的有限单元法七、大位移问题增量解的T.L法和U.L法3、TL.法以t=0时刻的构形为参考构形，t+Δt时刻应力、应变、位移的增量关系：虚位移原理：000tttSSS000tttuuuttt000格林(Green)应变克希霍夫(Kirchhoff)应力位移0RuddVduudTTT根据格林应变的定义：jktiktijtjitijtuuuu,0,0,0,0021jkttikttijttjittijttuuuu,0,0,0,0021EdEdtt00ududtt00第八章几何非线性问题的有限单元法七、大位移问题增量解的T.L法和U.L法3、TL.法将位移带入两式：NijLijij000ikjktjkiktijjiLijuuuuuu,0,0,0,0,0,0021jkikNijuu,0,0021增量应力和增量应变之间有线性关系000SDE把以上各式带入虚功方程，并通过增量线性化处理：dVdSRuddSdVdDLTVtVttVNTtLTL00000000000000－增量形式的TL.方程第八章几何非线性问题的有限单元法七、大位移问题增量解的T.L法和U.L法4、UL.法以t时刻的构形为参考构形，t+Δt时刻应力、应变、位移的增量关系：0RuddVduudTTT虚位移原理：SSttttttttttuutttt格林(Green)应变克希霍夫(Kirchhoff)应力位移tt柯西(Cauchy)应力jktiktijtjitijuuuu,,,,021根据格林应变的定义：可分解成线性和非线性两部分：NijtLijtijt第八章几何非线性问题的有限单元法七、大位移问题增量解的T.L法和U.L法4、UL.法其中：NijtLijtijtijtjitLijtuu,,21jktiktNijtuu,,21增量应力和增量应变之间的存在线性关系：tttDS把以上格式带入虚功方程，并通过增量线性化处理：dVEdRudEddVEdDEtLtTVttVttttVNtTtttLttTLtttt－增量形式的UL.方程第八章几何非线性问题的有限单元法七、大位移问题增量解的T.L法和U.L法4、TL.法与UL.法的区别1）参考构形不同2）TL.法包含初位移矩阵，UL.法不含此矩阵，平衡方程更为简洁4）TL.的坐标变换矩阵在增量求解的过程中保持不变，而UL.每个迭代步都需重新计算坐标变换矩阵。5）UL.更容易引进非线性本构关系，更适于非弹性大应变分析。3）TL.法中，计算初应力和结点力时均采用克希霍夫应力，在求解过程中应力可直接叠加，UL.法中计算初应力和结点力时采用的是柯西应力，因此须将求得的克希霍夫应力增量进行变换，才能叠加。第九章材料非线性问题的有限单元法材料非线性：应力与应变的关系为非线性，且加载与卸载应力应变间的对应关系相同。1）非线性弹性2）弹塑性加载的过程中同时产生可恢复的弹性变形和不可恢复的塑性变形。弹塑性应力和应变间不再保持一一对应的关系，应变不仅依赖于当时的应力状态，而且还依赖于整个的加载历史。0RxPxdVBDBKT000第九章材料非线性问题的有限单元法一、弹塑性应力－应变关系二、弹塑性问题有限元分析第九章材料非线性问题的有限单元法一、弹塑性应力－应变关系1、材料的弹塑性性质1）单向拉伸试验理想弹塑性材料应变硬化材料第九章材料非线性问题的有限单元法一、弹塑性应力－应变关系1、材料的弹塑性性质2）三点认识a.由于弹塑性的应力－应变关系不是一一对应的，因此研究弹塑性问题时，只有在确定的加载（或卸载）条件下才有明确的意义。b.为了避免应力应变间的多值性带来的困难，不宜追求全应力与全应变之间的全量本构关系，应建立在一定加载路线条件下的增量关系。peddddDdep第九章材料非线性问题的有限单元法一、弹塑性应力－应变关系1、材料的弹塑性性质2）三点认识c.为简化分析，结构工程中可采用理想弹塑性模型和弹性线性强化模型，它们的主要参数仅有屈服应力、弹性模量和硬化（软化）模量H，主要特征是：EEH0,0edd0,0edd0,0edd理想塑性应力强化应力软化第九章材料非线性问题的有限单元法一、弹塑性应力－应变关系2、屈服准则EEH0ijf－屈服准则单轴应力状态下，材料的屈服由两个屈服应力点来判定，在复杂应力状态下，材料的弹性极限成为应力空间中的一个曲面（曲线）：函数f的具体形式与材料有关，称为屈服函数，f=0的面即为屈服面。初始屈服面、初始屈服函数后继屈服面、后继屈服函数1）基本概念第九章材料非线性问题的有限单元法一、弹塑性应力－应变关系2、屈服准则2）常用屈服准则：a.Tresca准则（1864）当一点的最大剪应力达到极限值则发生屈服：k13322121,21,21maxb.Mises准则（1913）T21323222121当物体的形变改变能达到极限值则发生屈服：第九章材料非线性问题的有限单元法一、弹塑性应力－应变关系2、屈服准则2）常用屈服准则：c.Mohr-Coulomb准则（1773）最大剪应力为屈服决定性因素，但剪应力的临界值不是常数，而是在那一点上同一平面中正应力的函数。d.Rankine准则（1876）最大主应力达到抗拉强度时，材料发生拉伸破坏。第九章材料非线性问题的有限单元法一、弹塑性应力－应变关系2、屈服准则3）Mises准则T21323222121T单向拉伸屈服极限定义等效应力：21323222121则初始屈服条件为：初始屈服条件：第九章材料非线性问题的有限单元法一、弹塑性应力－应变关系2、屈服准则3）Mises准则222222622zxyzxyxzzyyx引进应力偏量：在一般应力状态下：则等效应力可表示为：3''''''zyxcpzxzxcpzzyzyzcpyyxyxycpxx2'2'2'2'2'2'223zxyzxyzyx第九章材料非线性问题的有限单元法一、弹塑性应力－应变关系2、屈服准则3）Mises准则记：2'2'2'2'2'2'223zxyzxyzyxTzxyzxyzyx'''''''222则等效应力可表示为：''23T第九章材料非线性问题的有限单元法一、弹塑性应力－应变关系2、屈服准则3）Mises准则与等效应力对应，定义等效应变：对于强化材料，在一个荷载增量作用下应力和应变都会增加一微小增量，其中应变增量为：peddd22222223)1(22zxyzxyxzzyyx第九章材料非线性问题的有限单元法一、弹塑性应力－应变关系2、屈服准则3）Mises准则由于塑性变形中的体积应变等于零，即：定义塑性应变增量的等效应变为塑性等效应变增量：（塑性变形的泊松比等于0.5）22222223