(完整版)专升本高等数学知识点汇总

专升本高等数学知识点汇总常用知识点：一、常见函数的定义域总结如下：（1）cbxaxybkxy2一般形式的定义域：x∈R（2）xky分式形式的定义域：x≠0（3）xy根式的形式定义域：x≥0（4）xyalog对数形式的定义域：x＞0二、函数的性质1、函数的单调性当21xx时，恒有)()(21xfxf，)(xf在21xx，所在的区间上是增加的。当21xx时，恒有)()(21xfxf，)(xf在21xx，所在的区间上是减少的。2、函数的奇偶性定义：设函数)(xfy的定义区间D关于坐标原点对称（即若Dx，则有Dx）(1)偶函数)(xf——Dx，恒有)()(xfxf。(2)奇函数)(xf——Dx，恒有)()(xfxf。三、基本初等函数1、常数函数：cy，定义域是),(，图形是一条平行于x轴的直线。2、幂函数：uxy，(u是常数)。它的定义域随着u的不同而不同。图形过原点。3、指数函数定义:xaxfy)(，(a是常数且0a，1a).图形过（0,1）点。4、对数函数定义:xxfyalog)(，(a是常数且0a，1a)。图形过（1,0）点。5、三角函数(1)正弦函数:xysin2T，),()(fD，]1,1[)(Df。(2)余弦函数:xycos.2T，),()(fD，]1,1[)(Df。(3)正切函数:xytan.T，},2)12(,|{)(ZRkkxxxfD，),()(Df.(4)余切函数:xycot.T，},,|{)(ZRkkxxxfD，),()(Df.5、反三角函数(1)反正弦函数:xysinarc，]1,1[)(fD，]2,2[)(Df。(2)反余弦函数:xyarccos，]1,1[)(fD，],0[)(Df。(3)反正切函数:xyarctan，),()(fD，)2,2()(Df。(4)反余切函数:xyarccot，),()(fD，),0()(Df。极限一、求极限的方法1、代入法代入法主要是利用了“初等函数在某点的极限，等于该点的函数值。”因此遇到大部分简单题目的时候，可以直接代入进行极限的求解。2、传统求极限的方法（1）利用极限的四则运算法则求极限。（2）利用等价无穷小量代换求极限。（3）利用两个重要极限求极限。（4）利用罗比达法则就极限。二、函数极限的四则运算法则设Auxlim，Bvxlim，则（1）BAvuvuxxxlimlim)(lim（2）ABvuvuxxxlimlim)(lim.推论（a)vCvCxxlim)(lim，(C为常数)。（b）nxnxuu)lim(lim（3）BAvuvuxxxlimlimlim，(0B).（4）设)(xP为多项式nnnaxaxaxP110)(，则)()(lim00xPxPxx（5）设)(),(xQxP均为多项式，且0)(xQ，则)()()()(lim000xQxPxQxPxx三、等价无穷小常用的等价无穷小量代换有：当0x时，xx~sin，xx~tan，xx~arctan，xx~arcsin，xx~)1ln(，xex~1，221~cos1xx。对这些等价无穷小量的代换，应该更深一层地理解为：当0□时，□~□sin，其余类似。四、两个重要极限重要极限I1sinlim0xxx。它可以用下面更直观的结构式表示：1□□sinlim0□重要极限IIexxx11lim。其结构可以表示为：e□□□11lim八、洛必达(L’Hospital)法则“00”型和“”型不定式，存在有Axgxfxgxfaxax)()(lim)()(lim''（或）。一元函数微分学一、导数的定义设函数)(xfy在点0x的某一邻域内有定义，当自变量x在0x处取得增量x（点xx0仍在该邻域内）时，相应地函数y取得增量)()(00xfxxfy。如果当0x时，函数的增量y与自变量x的增量之比的极限0limxxy=0limxxxfxxf)()(00=）（0xf注意两个符号x和0x在题目中可能换成其他的符号表示。二、求导公式1、基本初等函数的导数公式（1）0)(C(C为常数)（2）1)(xx（为任意常数）（3）aaaxxln)()1,0(aa特殊情况xxee)(（4）axexxaaln1log1)(log)1,0,0(aax，xx1)(ln（5）xxcos)(sin（6）xxsin)(cos（7）xx2'cos1)(tan（8）xx2'sin1)(cot（9）2'11)(arcsinxx)11(x（10）)11(11)(arccos2'xxx（11）2'11)(arctanxx（12）2'11)cot(xxarc2、导数的四则运算公式（1）)()(])()([xvxuxvxu（2）)()()()(])()([xvxuxvxuxvxu（3）ukku][（k为常数）（4）)()()()()()()(2xvxvxuxvxuxvxu3、复合函数求导公式：设)(ufy,)(xu，且)(uf及)(x都可导，则复合函数)]([xfy的导数为)().('xufdxdududydxdy。三、导数的应用1、函数的单调性0)('xf则)(xf在),(ba内严格单调增加。0)('xf则)(xf在),(ba内严格单调减少。2、函数的极值0)('xf的点——函数)(xf的驻点。设为0x（1）若0xx时，0)('xf；0xx时，0)('xf，则)(0xf为)(xf的极大值点。（2）若0xx时，0)('xf；0xx时，0)('xf，则)(0xf为)(xf的极小值点。（3）如果)('xf在0x的两侧的符号相同，那么)(0xf不是极值点。3、曲线的凹凸性0)(''xf，则曲线)(xfy在),(ba内是凹的。0)(''xf，则曲线)(xfy在),(ba内是凸的。4、曲线的拐点（1）当)(''xf在0x的左、右两侧异号时，点))(,(00xfx为曲线)(xfy的拐点，此时0)(0''xf.（2）当)(''xf在0x的左、右两侧同号时，点))(,(00xfx不为曲线)(xfy的拐点。5、函数的最大值与最小值极值和端点的函数值中最大和最小的就是最大值和最小值。四、微分公式dxxfdy)('，求微分就是求导数。一元函数积分学一、不定积分1、定义，不定积分是求导的逆运算，最后的结果是函数+C的表达形式。公式可以用求导公式来记忆。2、不定积分的性质（1）)(])(['xfdxxf或dxxfdxxfd)()(（2）CxFdxxF)()('或CxFxdF)()(（3）dxxxdxxfdxxxxf)()()()]()()([。（4）dxxfkdxxkf)()(（k为常数且0k）。2、基本积分公式（要求熟练记忆）（1）Cdx0（2）)1(111aCxadxxaa.（3）Cxdxxln1.（4）Caadxaxxln1)1,0(aa（5）Cedxexx（6）Cxxdxcossin（7）Cxxdxsincos（8）Cxdxxtancos12.（9）Cxdxxcotsin12.（10）Cxdxxarcsin112.（11）Cxdxxarctan112.3、第一类换元积分法对不定微分dxxg)(，将被积表达式dxxg)(凑成)()()()]([)('xdxfdxxxfdxxg，这是关键的一步。常用的凑微分的公式有：（1）)()(1)(baxdbaxfadxbaxf（2）)()(1)(1baxdbaxfkadxxbaxfkkkk（3）xdxfdxxxf21)(（4）xdxfdxxxf1)1(1)1(2（5）)()()(xxxxedefdxeef（6）)(ln)(ln1)(lnxdxfdxxxf（7）)(sin)(sincos)(sinxdxfxdxxf（8）)(cos)(cossin)(cosxdxfxdxxf（9）)(tan)(tancos1)(tan2xdxfdxxxf（10）)(cot)(cotsin1)(cot2xdxfdxxxf（11）)(arcsin)(arcsin11)(arcsin2xdxfdxxxf（12）)(arccos)(arccos11)(arccos2xdxfdxxxf（13）)(arctan)(arctan11)(arctan2xdxfdxxxf（14）))((ln)()('xddxxx)0)((x4、分部积分法vduuvudv二、定积分公式1、（牛顿—莱布尼茨公式）如果)(xF是连续函数)(xf在区间],[ba上的任意一个原函数，则有)()()(aFbFdxxfba。2、计算平面图形的面积如果某平面图形是由两条连续曲线)(),(21xfyxgy及两条直线ax1和bx2所围成的（其中1y是下面的曲线，2y是上面的曲线），则其面积可由下式求出：.)]()([dxxgxfSba3、计算旋转体的体积设某立体是由连续曲线)0)()((xfxfy和直线)(,babxax及x轴所围平面图形绕x轴旋转一周所形成的旋转体，如图所示。则该旋转体的体积V可由下式求出：.)()(22dxxfdxxfVbabax)(xfy)(xgyyaobxoaxx+dxbxy)(xfy多元函数微分学1、偏导数，对某个变量求导，把其他变量看做常数。2、全微分公式：yBxAyxdfdz),(。3、复合函数的偏导数——利用函数结构图如果),(yxu、),(yxv在点),(yx处存在连续的偏导数xu，yu，xv，yv，且在对应于),(yx的点),(vu处，函数),(vufz存在连续的偏导数uz，vz，则复合函数)],(),,([yxyxfz在点),(yx处存在对x及y的连续偏导数，且xvvzxuuzxz，yvvzyuuzyz。4、隐函数的导数对于方程0),(yxF所确定的隐函数)(xfy，可以由下列公式求出y对x的导数'y：),(),('''yxFyxFyyx，2、隐函数的偏导数对于由方程0),,(zyxF所确定的隐函数),(yxfz，可用下列公式求偏导数：),,(),,(''zyxFzyxFxzzx，),,(),,(''zyxFzyxFyzzy，5、二元函数的极值设函数),(00yxfz在点),(00yx的某邻域内有一阶和二阶连续偏导数，且0),(00'yxfx，0),(00'yxfy又设Ayxfxx),(00''，Byxfxy),(00''，Cyxfyy),(00''，则：（1）当02ACB时，函数),(yxf在点),(00yx处取得极值，且当0A时有极大值，当0A时有极小值。（2）当02ACB时，函数),(yxf在点),(00yx处无极值。（3）当02ACB时，函数),(yxf在点),(00yx处是否有极值不能确定，要用其它方法另作讨论。平面与直线1、平面方程（1）平面的点法式方程：在空间直角坐标系中，过点),,(0000zyxM，以},,{CBAn为法向量的平面方程为0)()()(000