空间几何体的表面积与体积公式大全

第1页共17页空间几何体的表面积与体积公式大全一、全（表）面积（含侧面积）1、柱体①棱柱②圆柱2、锥体①棱锥：hcS‘底棱锥侧21②圆锥：lcS底圆锥侧213、台体①棱台：hccS)(21‘下底上底棱台侧②圆台：lccS)(21下底上底棱台侧4、球体①球：rS24球②球冠：略③球缺：略二、体积1、柱体①棱柱②圆柱2、锥体①棱锥②圆锥h'S上S上lS下S下hcS侧SSS侧底全2SSS侧底全SSSS下侧上全hSV柱hSV31柱hShShShShShShShS第2页共17页3、台体①棱台②圆台4、球体①球：rV334球②球冠：略③球缺：略说明：棱锥、棱台计算侧面积时使用侧面的斜高h'计算；而圆锥、圆台的侧面积计算时使用母线l计算。三、拓展提高1、祖暅原理：（祖暅：祖冲之的儿子）夹在两个平行平面间的两个几何体，如果它们在任意高度上的平行截面面积都相等，那么这两个几何体的体积相等。最早推导出球体体积的祖冲之父子便是运用这个原理实现的。2、阿基米德原理：（圆柱容球）圆柱容球原理：在一个高和底面直径都是r2的圆柱形容器内装一个最大的球体，则该球体的全面积等于圆柱的侧面积，体积等于圆柱体积的32。)(3122rrrrhV下下上上圆台)(31SSSShV下下上上台hh'S上S上lS下S下第3页共17页分析：圆柱体积：rrhSVr3222)(圆柱圆柱侧面积：rhcSrr242)2(圆柱侧因此：球体体积：rrV3334232球球体表面积：rS24球通过上述分析，我们可以得到一个很重要的关系（如图）+=即底面直径和高相等的圆柱体积等于与它等底等高的圆锥与同直径的球体积之和3、台体体积公式公式：)(31SSSShV下下上上台证明：如图过台体的上下两底面中心连线的纵切面为梯形ABCD。延长两侧棱相交于一点P。设台体上底面积为S上，下底面积为S下高为h。易知：PDC∽PAB，设hPE1，则hhPF1由相似三角形的性质得：PFPEABCDEFABCDP第4页共17页即：hhhSS11下上(相似比等于面积比的算术平方根)整理得：SShSh上下上1又因为台体的体积=大锥体体积—小锥体体积∴hSSShhShhSV下上下上下台）（31)(313131111代入：SShSh上下上1得：hSSSSShSV下上下上下上台31)(31即：)(3131)(31SSSShhSSShSV下下上上下上下上台∴)(31SSSShV下下上上台4、球体体积公式推导分析：将半球平行分成相同高度的若干层（层n），n越大，每一层越近似于圆柱，n时，每一层都可以看作是一个圆柱。这些圆柱的高为nr，则：每个圆柱的体积hSVii=nrri2半球的体积等于这些圆柱的体积之和。]1[)0()0(222221nrrnrr]1[)1()1(222222nrrnrr]1[)2()2(222223nrrnrr……]1[)1()1(22222nnrrnnrrnr2r1o第5页共17页∴半球体积为：)......(22221rrrVVnnnr半球=]}......[1{)1()1()0(2222nnnnrnnr=]......[222223)1(210nnrnn=]6)12)(1(1[])12()1(61[2323nrnrnnnnnnn]6)12)(11(1[3nnr当n时，01n∴V半球rrrnn33332)6211(]6)12)(11(1[∴球体积为：rV334球5、球体表面积公式推导分析：球体可以切割成若干（个n）近似棱锥，当n时，这些棱锥的高为球体半径，底面积为球面面积的n1，则每一个棱锥的体积rSVn球1311，则所有的小棱锥体积之和为球体体积。即有：rrSnn33431球∴rS24球6、正六面体（正方体）与正四面体（1）体积关系如图：正方体切下四个三棱锥后，球Sn1o第6页共17页剩下的部分为正四面体设正方体棱长为a，则其体积为：aV3正方体四个角上切下的每一个三棱锥体积为：aaahSV3261)21(3131三棱锥中间剩下的正四面体的体积为：aaaahSV322231]60sin21[3131)32232()2()2(正三棱锥这样一个正方体可以分成四个三棱锥与中间一个正四面体即：aaa33331461（2）外接球正方体与其体内最大的正四面体有相同的外接球。（理由：过不共面的四点确定一个球。）正方体与其体内最大的正面体有四个公共顶点。所以它们共球。回顾：①两点定线②三点定面③三点定圆④四点定球如图：(a)正方体的体对角线=球直径(b)正四面体的外接球半径=43高(c)正四面体的棱长=正方体棱长2(d)正方体体积：正四面体体积=3：1(e)正方体外接球半径与正四面体外接球半径相等（3）正方体的内切球与正四面体的关系第7页共17页（a）正方体内切球直径=正方体棱长（b）正方体内切球与正四面体的四条棱相切。（c）与正四面体四条棱相切的球半径=正方体棱长的一半（d）设正四面体棱长为a，则与其棱都相切的球半径为r1有：aar4222117、利用祖暅原理推导球体体积。构造一个几何体，使其截面与半球截面处处相等，根据祖暅原理可得两物体体积相等。证明：作如下构造：在底面半径和高都是r的圆柱内挖去一个与圆柱等底等高的圆锥。如图：在半球和挖去圆锥后的组合体的相同截面上作研究，设圆柱和半球底面半径均为R，截面高度均为h，倒圆锥的截面半径为r1锥，半球截面半径为r1球，hRr1球hr1锥第8页共17页则：挖去圆锥后的组合体的截面为：rRS2121锥半球截面面积为：rS212球∵倒圆锥的底面半径与高相等，由相似三角形易得：hr1锥在半球内，由勾股定理易得：hRr221球∴hRS221hRS222即：SS21，也就是说：半球与挖去倒圆锥后有圆柱在相同的高度上有相同的截面。由祖暅原理可得：VV21所以半球体积：RRRVShShSh3232323231半球即，球体体积：RRV3334322球8、正方体与球（1）正方体的内切球正方体的棱长a球体的直径daV3正方体adrV333613434)2(球：正方体V:6V球（2）正方体的外接球正方体的体对角线a3球体的直径dadrV333233434)2(球：球V2:3V正方体第9页共17页（3）规律：①正方体的内切球与外接球的球心为同一点；②正方体的内切球与外接球的球心在体对角线上；③正四面体的内切球与外接球的的半径之比为：3:1④正四面体内切球与外接球体积之比为：1：33⑤正四面体内切球与外接球表面积之比为：1：3⑥正方体外接球半径、正方体棱长、内切球半径比为：3:2：1⑦正四面体外接球、正四面体、内切球体积比为：:6:33⑧正四面体外接球、正四面体、内切球表面积比为：:6:39、正四面体与球（1）正四面体的内切球解题关键：利用体积关系思考内切球的球心到各个面的距离相等，球心与各顶点的连线恰好把一个正四面体分成四个三棱锥，每个三棱锥的底面为原正四面体的底面，高为内切球的半径r。利用体积关系得：hara)60sin21(31)60sin2131422（所以：hr41，其中h为正四面体的高。由相关计算得：aaah36)]321(32[22∴ahr12641第10页共17页即：aarV33321663434)126(球aaaV321223660sin2131正四面体∴3:18VV球正四机体：（2）正四面体的外接球外接球的半径=)2332(224343aa高=a46aarV333863434)46(球aaaV321223660sin2131正四面体∴2:33122:86:33aaVV正四面体球（3）规律：①正四面体的内切球与外接球的球心为同一点；②正四面体的内切球与外接球的球心在高线上；③正四面体的内切球与外接球的的半径之和等于高；④正四面体的内切球与外接球的半径之比等于1：3⑤正四面体内切球与外接球体积之比为：1：27⑥正四面体内切球与外接球表面积之比为：1：9⑦正四面体外接球半径、正四面体棱长、内切球半径比为：63:12：6⑧正四面体外接球、正四面体、内切球体积比为：3:18:327第11页共17页⑨正四面体外接球、正四面体、内切球表面积比为：:26:910、圆柱与球（1）圆柱容球（阿基米德圆柱容球模型）圆柱高=底面直径=球的直径球体体积=32圆柱体积球面面积=圆柱侧面积（2）球容圆柱球体直径、圆柱的高、圆柱底面直径构成直角三角形。设球体半径为R，圆柱高为h，底面半径为r则有：)2()2(222rhR即：2422rhR四、方法总结下面举例说明立体几何的学习方法例：已知正四面体的棱长为a，求它的内切球和外接球的半径思路：先分析球心的位置。因为正四面体是特殊的四面体，显然内切球与第12页共17页外接球的球心是重合的。且是正四面体的高线交点。再分析球心与一些特殊的点、线、面的位置、数量关系。在内切球这种情况下，球心垂直于每一个面，且到每一个面的距离相等；在外接球这种情况下，球心到每个顶点的距离相等。方法1：展平分析：（最重要的方法）如图：取立体图形中的关键平面图形进行分析！连接DO并延长交平面ABC于点G，连接GO1连接DO1并延长交BC于点E，则A、G、E三点共线。在平面AED中，由相似知识可得：2111GAEGDEOO∴ADGO//1且311ADGO∴△GOO1∽△DOA∴31AOOO1即：aaAhO4636434343AO1aaAhO12636414141O11OaV338634DO外接球aOOV331216634内切球方法2：体积分析：（最灵活的方法）如图：设正四面体ABCD的内切球球心为O，连接AO、BO、CO、DO，则正四面体被分成四个完全一样的三棱锥。BACDEGO1O第13页共17页设内切球半径为r，正四面体的棱长为a则正面四体的高为：aaah36)2332(22则：4个完全一样的三棱锥体积=正四面体体积有：araa36)60sin21(31])60sin21(31[422∴ar126∴arV33216634内切球aaarhV333863434)12636()(外接球方法3：方程分析：（最常见的做法）如图：显然AO、DO是外接球半径，OO1是内切球半径。在Rt△DOO1中，由勾股写得可得以下方程：2DO21212DOOO其中：a2332DO1ah36ADDOOO11代入方程解得：a46DO、a126OO1aV338634DO外接球aOOV331216634内切球ABBOODCBACDO1O第14页共17页方法4：补形分析（最巧妙的思考）把正四面体补成正方体进行分析。如图：此时，正四面体与正方体有共同的外接球。正四面体的棱长为a，则正方体棱长为：2a正方体的外接球直径为其体对角线∴aaD26)2(3∴正四面体的外接球半径为：aD462内切球半径为：aD126312aRV338634外接球arV33216634内切球方法5：坐标分析（最意外的解法）建立如图所示的空间直角坐标系：则A（0，0，a36），B（0，a33，0），C（a21，a63，0），D（a21，a63，0），设球心位置为O（x，y，z，）由R|OD||OC||OB||OA|得：ODOCOBOA2222即：)36(