平面与平面所成的角课件-(1)

平面与平面所成的角创设情景，揭示课题水坝在修建的时候，为了坚固耐用，水坝的坡面与水平面要成一个适当的角度。一、概念1、半平面：平面内的一条直线把平面分成两部分，每一部分叫作一个半平面。(1）定义从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。l棱面面2、二面角(2)二面角的表示方法二面角－AB－二面角－l－二面角C－AB－DABlABCDABCEFD二面角C－AB－E以二面角的棱上任意一点为端点,在两个面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。二、二面角的平面角βlαOPNEMF注意：1、二面角的大小由α和β两个面的相对位置确定，与顶点在棱上的位置无关。2、当二面角的两个半平面重合时，规定二面角为零角；当二面角的两个半平面合成一个平面时，规定二面角为平角；[0,π]3、平面角是直角的二面角叫直二面角。α⊥β例1：如图所示，在正方体ABCD－ABCD中，求二面角D¹-AD-B的大小．ADD1CBA1B1C1例2：如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求平面ABC1D1与平面ABCD所成二面角的大小。ADD1CBA1B1C1?例2、如图，已知二面角－l－，A为面内一点，A到的距离为2，到l的距离为4。求二面角－l－的大小。lAO24三垂线法B变式：如图，在四面体ABCD中，PC⊥平面ABC，AC⊥BC，AC=BC=,PA=PB=,求二面角P-AB-C的大小。PCBA225525M212二面角例3．如图P为二面角内一点，PA⊥,PB⊥,且PA=5，PB=8，AB=7，求这二面角的度数。lABPlP857垂面法G例4：正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱AA1的中点，求平面EB1C和平面ABCD所成的二面角。ABCDA1B1C1D1E1111cosABCEBCSS射影面积法作二面角的平面角的常用方法点P在棱上点P在一个半平面上点P在二面角内lPABPlABOABlP①、定义法：②、三垂线法：③、垂面法：④、射影面积法:ABCDHαcosDBCABCSSSS射ABC提升001602323例：有一山坡，它的坡角为30，山坡上有一条小路与斜坡底线成角，某人沿着这条小路向上走了200米，则他升高了（）A、100米　Ｂ、50米C、50米D、25米60º200D30º100√350√3若山坡上有一条小路与斜坡底边成600角，现沿这条小路向前走了200米，则升高了则山坡的倾斜角是（）A、300B、450C、600D、不是特殊角03--30,10PPDPDPO例：设二面角Ｌ是二面角，是内一点，，Ｌ，求ＰＯ。lPOD10ABPMNO二面角例1.如图,已知P是二面角棱上一点，过P分别在、内引射线PM、PN，且∠MPN=600，∠BPM=∠BPN=450，求此二面角的度数。AB一“作”二“证”三“计算”CD450450aaa2a2a2aABPMNCDO解：在PB上取不同于P的一点O，在内过O作OC⊥AB交PM于C，在内作OD⊥AB交PN于D，连结CD，可得：设PO=a，∵∠BPM=∠BPN=45º∴CO=a，DO=a，PCa，PDa22又∵∠MPN=60º∴CD=PCa2∴∠COD=90º因此，二面角的度数为90º二面角例1.如图,已知P是二面角棱上一点，过P分别在、内引射线PM、PN，且∠MPN=600，∠BPM=∠BPN=450，求此二面角的度数。AB∠COD是二面角的平面角AB①②③一“作”二“证”三“计算”ABCD例3.A为二面角－CD－的棱CD上一点，AB在平面内且与棱CD成45º角，又AB与平面成30º，求二面角－CD－的大小。二面角HO解：作BH于于H，连结AH过H作HOCD于O，连结OB由三垂线定理可得：BOCD∠BOH是二面角的平面角CD则222a∴所求二面角的大小为45º设AO=a在RtAOB中，BO=a,AB=a2在RtAHB中，BAH=30º,AB=a,BH=a在RtBHO中，sin∠BOC=22BHOBABCD例4已知在一个60的二面角的棱l上有两个点A,B，线段AC，BD分别在这个二面角的两个面内，且AC⊥l，BD⊥l，又知AB=4cm,AC=6cm，BD=8cm,求线段CD的长。,12060180,,,000DBACBDABABCA解：由已知22)(||DBBAACDCACDBDBBABAACDBBAAC222||||||222022212086200846COS)21(8620084622268)(172||cmDC二面角1、如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上任一点，则二面角P-BC-A的平面角为:A.∠ABPB.∠ACPC.都不是练习:OABCP60º二面角2、已知P为二面角内一点，且P到两个半平面的距离都等于P到棱的距离的一半，则这个二面角的度数是多少？lPβlAB作业1：已知Rt△ABC在平面内，斜边AB在30º的二面角-AB-的棱上,若AC=5，BC=12,求点C到平面的距离CO。ACBOD二面角ODC作业小结二面角一、二面角的定义：二、二面角的表示方法：三、二面角的平面角：四、二面角的平面角的作法：五、二面角的计算：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。这条直线叫做二面角的棱。这两个半平面叫做二面角的面。二面角－AB－二面角C－AB－D二面角－l－1、二面角的平面角必须满足三个条件2、二面角的平面角的大小与其顶点在棱上的位置无关3、二面角的大小用它的平面角的大小来度量1、定义法2、三垂线（逆）定理法3、垂面法1、找到或作出二面角的平面角2、证明1中的角就是所求的角3、计算所求的角一“作”二“证”三“计算”3.如图，已知A、B是120的二面角—l—棱l上的两点，线段AC，BD分别在面，内，且AC⊥l，BD⊥l，AC=2，BD=1，AB=3，求线段CD的长。ADBCl∵BD⊥l∴AO∥BD，∴四边形ABDO为矩形,∴DO∥l，AO=BD∵AC⊥l，AO⊥l，∴l⊥平面CAO∴AO⊥l∴CO⊥DOO437222DOCOCD在Rt△COD中，DO=AB=319E解：在平面内，过A作AO⊥l，使AO=BD,连结CO、DO,则∠OAC就是二面角—l—的平面角，即∠OAC＝120，71202222COSACAOAOACCO∵BD=1∴AO=1，在△OAC中，AC=2，∴二面角两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。已知：ABα，AB⊥β求证：α⊥βαβCDABE∴AB⊥CD，垂足为点B在平面β内过B点作直线BE⊥CD，则∠ABE是二面角α-CD-β的平面角。又AB⊥BE，即二面角α-CD–β是直二面角∴α⊥β证明：设α∩β=CD则由ABα知AB、CD共面∪∵AB⊥β，CDβ三、平面和平面的垂直关系ABC84页第九题1111191.(1);(2);(3).ACBCBCOAOACAOABCDAOBAOC、在正方体中，棱长为，求与所成的角与平面所成角的正切平面与平面所成的角D1ABCDA1C1B1O于它们交线的直线那么在一个平面内垂直如果两个平面垂直,CDABCDAB,,,:已知AB:求证CDBAE.垂直于另一个平面,,,:CDABABCD证明,,CDBEBCDB作过垂足090,,ABECDABEBE即的平面角是直二面角且BECDAB和的两条相交直线垂直平面则直线.AB有根据线面垂直判定定理两个平面垂直的性质定理：的一点垂直那么经过第一个平面内如果两个平面垂直,.1aaPP,,,:已知.:a求证P.,在第一个平面内于第二个平面的直线bcaPca内作在过点证明Pc,:,bcb直线平面的垂线因为过空间一点作一个,,ba就是于是直线只有一条abb练习2、如果一个平面与另一个平面的一条垂线平行，那么这两个平面互相垂直αβγa已知：a//α，a⊥β求证：α⊥βb的、为圆上异于是直径内有一个圆平面BACSAAB,,,.3,,FESCSBASCSB、上的射影分别为、在且、一点，连结.;:SABAEFSBCSAC平面平面平面平面求证ABSCFE的两条相交直线垂直平面平面的一条垂线经过平面平面AEFSBAFSBSCBAFSBAEFSAB指出图中的直角三角形?,为什么的平面角是二面角SCAABCS?,为什么的平面角是二面角AEFCSBABCSACSBC的一条垂线经过平面平面4、空间四边形ABCD中，已知AB=3，AC=AD=2，∠DAC=∠BAC=∠BAD=600，求证：平面BCD⊥平面ADCACBDO5、已知PA⊥平面ABCD，ABCD为矩形，PA=AD，M、N分别是AB、PC的中点，求证：（1）MN//平面PAD；（2）平面PMC⊥平面PDCPABCDMNQ6、已知△ABC中，O为AC中点，∠ABC=900，P为△ABC所在平面外一点，PA=PB=PC，求证：平面PAC⊥平面ABCPABCO