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12020年成人高考专升本高等数学一知识点复习一、题型分布：试卷分选择、填空、解答三部分，分别占40分、40分、70分二、内容分布年份极限函数求导微分积分空间几何多元函数无穷级数常微分方程2019243238430418201824384442241420172838368228102016243638430414201520364003281420142444288221014难点：隐函数求导、全微分、多元函数极值、常微分方程复习方法：1、结合自身情况定目标2、分章节重点突破，多做题，做真题2第一章：极限与连续1-1、极限的运算1、极限的概念(1)设函数𝑦=𝑓(𝑥)在点𝑥0的某个邻域内有定义，如果当𝑥无限趋于𝑥0时函数𝑓(𝑥)无限地趋于一个常数A，则称A为函数𝑓(𝑥)当𝑥→𝑥0时的极限，记作lim𝑥→𝑥0𝑓(𝑥)=A(2)左极限、右极限；在某点极限存在，左右极限存在且唯一。lim𝑥→𝑥0−𝑓(𝑥)=Alim𝑥→𝑥0+𝑓(𝑥)=A2、无穷小量与无穷大量无穷小量定义：对于函数𝑦=𝑓(𝑥)，如果当𝑥在某个变化过程中，函数𝑓(𝑥)的极限为0，则称在该变化过程中，𝑓(𝑥)为无穷小量，记作lim𝑥→𝑥0𝑓(𝑥)=0无穷大量定义：对于函数𝑦=𝑓(𝑥)，如果当𝑥在某个变化过程中，函数𝑓(𝑥)的极限值越来越大，则称在该变化过程中，𝑓(𝑥)为无穷大量，记作lim𝑥→𝑥0𝑓(𝑥)=∞3、无穷小量与无穷大量的关系在同一变化过程中，如果𝑓(𝑥)为无穷大量，且𝑓(𝑥)≠0，则1𝑓(𝑥)为无穷小量；在同一变化过程中，如果𝑓(𝑥)为无穷小量，且𝑓(𝑥)≠0，则1𝑓(𝑥)为无穷大量；4、无穷小量的性质性质1：有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量★性质2：无穷小量与有界函数的积仍是无穷小量5、无穷小量的比较与替换定义：设α，𝛽是同一变化过程中的无穷小量，即lim𝛼=0，lim𝛽=0（1）如果lim𝛽𝛼=0，则称𝛽是𝛼比较高阶的无穷小量（2）如果lim𝛽𝛼=∞，则称𝛽是𝛼比较低阶的无穷小量（3）如果lim𝛽𝛼=c≠0，则称𝛽是与𝛼同阶的无穷小量（4）如果lim𝛽𝛼=1，则称𝛽与𝛼是等价的无穷小量3★常见的等价无穷小量：当𝑥→0时，𝑥~sin𝑥~tan𝑥~𝑎𝑟𝑐sin𝑥~𝑎𝑟𝑐tan𝑥~𝑒𝑥−1~ln(1+𝑥)1−cos𝑥~12𝑥2★★6、两个重要极限（1）lim𝑥→0sin𝑥𝑥=1（2）lim𝑥→∞(1+1𝑥)𝑥=𝑒或lim𝑥→0(1+𝑥)1𝑥=𝑒★★7、求极限的方法（1）直接代入法：分母不为零（2）分子分母消去为0公因子（3）分子分母同除以最高次幂（4）利用等价代换法求极限（等价无穷小）（5）利用两个重要极限求极限（6）洛必达求导法则（见第二章）1-2、函数的连续性1、函数在某一点上的连续性定义1：设函数𝑦=𝑓(𝑥)在点𝑥0的某个邻域内有定义，如果有自变量∆𝑥趋近于0时，相应的函数改变量∆𝑦也趋近于0，即lim∆𝑥→0[𝑓(𝑥0+∆𝑥)−𝑓(𝑥0)]=0，则称函数𝑦=𝑓(𝑥)在𝑥0处连续。定义2：设函数𝑦=𝑓(𝑥)在点𝑥0的某个邻域内有定义，如果当𝑥→𝑥0时，函数𝑓(𝑥)的极限存在，且等于𝑥0处的函数值𝑓(𝑥0)，lim𝑥→𝑥0𝑓(𝑥)=𝑓(𝑥0)，则称函数𝑦=𝑓(𝑥)在𝑥0处连续。4第二章、一元函数微分学2-1、导数与微分1、导数概念定义1：设函数𝑦=𝑓(𝑥)在点𝑥0的某个邻域内有定义，如果有自变量𝑥在点𝑥0处的改变量∆𝑥，相应的函数改变量∆𝑦=𝑓(𝑥0+∆𝑥)−𝑓(𝑥0)。如果极限lim∆𝑥→0𝑓(𝑥0+∆𝑥)−𝑓(𝑥0)∆𝑥存在，则称此极限为函数𝑦=𝑓(𝑥)在𝑥0处的导数。表示形式如下：lim∆𝑥→0𝑓(𝑥0+∆𝑥)−𝑓(𝑥0)∆𝑥、lim𝑥→𝑥0𝑓(𝑥)−𝑓(𝑥0)𝑥−𝑥0、limℎ→0𝑓(𝑥0+ℎ)−𝑓(𝑥0)h★★2、常见的求导公式（1）、(c)′=0（2）、(x𝑎)′=a𝑥𝑎−1（3）、(log𝑎𝑥)′=1𝑥𝑙𝑛𝑎（4）、(𝑙𝑛𝑥)′=1𝑥（5）、(a𝑥)′=a𝑥𝑙𝑛𝑎（6）、(𝑒𝑥)′=e𝑥（7）、(sin𝑥)′=cos𝑥（8）、(cos𝑥)′=−sin𝑥★★3、导数的运算法则（1）(u±v)′=u′+v′（2）(u∙v)′=u′v+uv′（3）(cu)′=cu′（4）(u𝑣)′=u′v+uv′𝑣2★4、复合函数求导如果函数𝑢=𝜑(𝑥)在点𝑥处可导，函数𝑦=𝑓(𝑢)在对应点𝑢处也可导，则复合函数𝑦=𝑓[𝜑(𝑥)]在点𝑥处可导，且有dydx=dydu∙𝑑𝑢𝑑𝑥。5、隐函数求导隐函数：𝑥与y之间的函数关系是由一个方程F(𝑥,𝑦)=0来确定这种称之为隐函数。如：𝑥𝑦−𝑒𝑦+𝑥2=0隐函数的求导方法：直接在方程F(𝑥,𝑦)=0的两端同时对𝑥求导，而把𝑦视为中间变量，利用复合函数求导即可。56、高阶求导如果函数𝑦=𝑓(𝑥)的导数函数𝑦′=𝑓′(𝑥)仍是函数𝑥的可导函数，那么就称函数𝑓′(𝑥)的导数为函数𝑓(𝑥)的二阶导数，二阶导数记为函数𝑦′′,𝑓′′(𝑥)★7、微分公式𝐝𝐲=𝐲′𝐝𝐱（1）d(c)=0（2）d(x𝑎)=a𝑥𝑎−1𝑑𝑥（3）d(a𝑥)=a𝑥𝑙𝑛𝑎𝑑𝑥（4）d(e𝑥)=e𝑥𝑑𝑥（5）d(log𝑎𝑥)=1𝑥𝑙𝑛𝑎𝑑𝑥（6）d(𝑙𝑛𝑥)=1𝑥dx（7）d(sin𝑥)=cos𝑥𝑑𝑥（8）d(cos𝑥)=−sin𝑥𝑑𝑥★★2-2、洛必达法则1、概念如果当𝑥→𝑎（或∞）时，函数𝑓(𝑥)与𝑔(𝑥)都趋于0或都趋于∞，则称lim𝑥→𝑎𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)为未定型极限，并分别简记为00或∞∞。lim𝑥→𝑎𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)=lim𝑥→𝑎𝑓′(𝑥)𝑔′(𝑥)2、求法（1）先判定是否符合00或∞∞型（2）分别对分子分母求导，如果求导完还是00或∞∞型那么再对分子分母求导（3）当出现分母不为0时，就可以直接代入求解。★★2-3、导数的应用1、函数的单调性、单调区间设函数𝑦=𝑓(𝑥)在区间(𝑎,𝑏)内可导，（1）如果在区间(𝑎,𝑏)内𝑓′(𝑥)0，则函数𝑦=𝑓(𝑥)在区间(𝑎,𝑏)内是单调递增的（2）如果在区间(𝑎,𝑏)内𝑓′(𝑥)0，则函数𝑦=𝑓(𝑥)在区间(𝑎,𝑏)内是单调递减的2、函数的极值设函数𝑦=𝑓(𝑥)在点𝑥0的某个邻域内有定义（1）如果𝑥≠𝑥0时，恒有𝑓(𝑥)𝑓(𝑥0)则称𝑥0为极大值点，𝑓(𝑥0)为极大值。（2）如果𝑥≠𝑥0时，恒有𝑓(𝑥)𝑓(𝑥0)则称𝑥0为极小值点，𝑓(𝑥0)为极小值。6极值求法：（1）求𝑓(𝑥)的导数𝑓′(𝑥)（2）令𝑓′(𝑥)=0，求出𝑥𝑖即为驻点（3）分别求出𝑥𝑖左右的导数𝑓′(𝑥)的符号，左正右负，此时𝑓(𝑥)取得极大值；左负右正，此时𝑓(𝑥)取得极小值。3、曲线的凹凸性及拐点曲线的凹凸性：设函数𝑦=𝑓(𝑥)在区间[𝑎,𝑏]上连续，在(𝑎,𝑏)内具有一阶导数和二阶导数，那么：（1）如果在区间(𝑎,𝑏)内𝑓′′(𝑥)0，则函数𝑦=𝑓(𝑥)在区间[𝑎,𝑏]的图形是凹的（2）如果在区间(𝑎,𝑏)内𝑓′′(𝑥)0，则函数𝑦=𝑓(𝑥)在区间[𝑎,𝑏]的图形是凸的曲线的拐点：在连续的曲线上的凹弧与凸弧之间的分界点称为曲线的拐点。7第三章、一元函数积分学3-1、不定积分1、原函数：设函数𝑓(𝑥)在某一区间上有定义，若存在函数𝐹(𝑥)，使𝐹′(𝑥)=𝑓(𝑥)成立，则称𝐹(𝑥)为函数𝑓(𝑥)的原函数。2、不定积分函数𝑓(𝑥)在区间I上的所有原函数的全体𝐹(𝑥)+𝐶叫做𝑓(𝑥)在区间I上的不定积分，记作∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥，即∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥=𝐹(𝑥)+𝐶★3、不定积分的性质（1）∫𝑘𝑓(𝑥)𝑑𝑥=𝑘∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥（2）∫[𝑓(𝑥)±𝑔(𝑥)]𝑑𝑥=∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥±∫𝑔(𝑥)𝑑𝑥（3）(∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥)′=𝑓(𝑥)（4）∫𝑓′(𝑥)𝑑𝑥=𝑓(𝑥)+𝐶★★4、基本积分公式（1）∫𝑘𝑑𝑥=𝑘𝑥+𝐶（2）∫𝑥𝑎𝑑𝑥=1𝑎+1𝑥𝑎+1+𝐶（3）∫𝑎𝑥𝑑𝑥=1𝑙𝑛𝑎𝑎𝑥+𝐶（4）∫𝑒𝑥𝑑𝑥=𝑒𝑥+𝐶（5）∫1𝑥𝑑𝑥=𝑙𝑛|𝑥|+𝐶（6）∫𝑠𝑖𝑛𝑥𝑑𝑥=−𝑐𝑜𝑠𝑥+𝐶（7）∫𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥=𝑠𝑖𝑛𝑥+𝐶★★5、第一换元积分法（凑微分法）设𝑓(𝑢)具有原函数𝐹(𝑢)，𝑢=𝜑(𝑥)可导，则有换元公式∫𝑓[𝜑(𝑥)]𝜑′(𝑥)𝑑𝑥=∫𝑓[𝜑(𝑥)]𝑑𝜑(𝑥)=∫𝑓(𝑢)𝑑𝑢=𝐹(𝑢)+𝐶=𝐹[𝜑(𝑥)]+𝐶6、分部积分法设函数具有连续的导函数，则有∫𝑢𝑣′𝑑𝑥=𝑢𝑣−∫𝑣𝑢′𝑑𝑥即∫𝑢𝑑𝑣=𝑢𝑣−∫𝑣𝑑𝑢83-2、定积分★1、定积分的性质（1）∫𝑘𝑓(𝑥)𝑑𝑥=𝑏𝑎𝑘∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏𝑎（2）∫[𝑓(𝑥)±𝑔(𝑥)]𝑑𝑥=𝑏𝑎∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏𝑎±∫𝑔(𝑥)𝑑𝑥𝑏𝑎（3）∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥=𝑎𝑎0（4）∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥=𝑏𝑎∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑐𝑎+∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏𝑐★2、变上限的定积分定理若函数𝑓(𝑥)在区间[a,b]上连续，则变上限积分𝜑(𝑥)=∫𝑓(𝑡)𝑑𝑡𝑥𝑎是被积函数𝑓(𝑥)的一个原函数，即𝜑′(𝑥)=𝑓(𝑥)★★3、牛顿---莱布尼茨公式∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥=𝑏𝑎𝐹(𝑥)|𝑎𝑏=𝐹(𝑏)−𝐹(𝑎)4、反常积分（广义积分）∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥=lim𝑏→+∞∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏𝑎+∞𝑎∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥=lim𝑎→−∞∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏𝑎𝑏−∞★5、定积分的求法（1）定积分的换元积分法∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥=𝑏𝑎∫𝑓[𝜑(𝑡)]𝜑′(𝑡)𝑑𝑡𝛽𝛼（2）定积分的分部积分法∫𝑢𝑣′𝑑𝑥=𝑏𝑎𝑢𝑣|𝑎𝑏−∫𝑣𝑢′𝑑𝑥𝑏𝑎或∫𝑢𝑑𝑣=𝑏𝑎𝑢𝑣|𝑎𝑏−∫𝑣𝑑𝑢𝑏𝑎★★（3）奇偶函数在对称区间上的积分9若𝑓(𝑥)在[-a,a]上为连续奇函数，则∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥=𝑎−𝑎0若𝑓(𝑥)在[-a,a]上为连续偶函数，则∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥=𝑎−𝑎2∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑎0★3-3、定积分的应用1、求平面图形的面积（1）由曲线𝑦=𝑓(𝑥)，直线𝑥=𝑎，𝑥=𝑏(𝑎𝑏)及𝑥轴所围成的面积为：S=∫|𝑓(𝑥)|𝑑𝑥𝑏𝑎（2）由两曲线𝑦=𝑓1(𝑥)，𝑦=𝑓2(𝑥)，𝑓2(𝑥)𝑓1(𝑥)及两直线𝑥=𝑎，𝑥=𝑏所围成的面积为S=∫[𝑓2(𝑥)−𝑓1(𝑥)]𝑑𝑥𝑏𝑎（3）由曲线𝑥=𝜑(𝑦)，直线𝑦=𝑐，𝑦=𝑑(𝑐𝑑)及𝑦轴所围成的面积为：S=∫|𝜑(𝑦)|𝑑𝑦𝑑𝑐（4）由两曲线𝑥=𝜑1(𝑦)，𝑥=𝜑2(𝑦)，𝜑