人教版初中数学九年级上册第二十四章：圆(全章教案)

1第二十四章圆本章总共分四个模块的内容．模块一：圆的有关性质；模块二：点和圆、直线和圆的位置关系；模块三：正多边形和圆；模块四：弧长和扇形面积．在对圆的初步认识的基础上，通过画圆引入圆的有关概念，通过类比点和线、线和线的位置关系学习点和圆、直线和圆的位置关系，进一步学习正多边形和圆、弧长和扇形面积，进而学会用圆的有关知识解决一些实际问题．在中考中，本章是考查的重点，主要考查圆的基本性质、与圆有关的位置关系、圆的有关计算．【本章重点】圆的有关性质、直线和圆的位置关系及与圆有关的计算．【本章难点】垂径定理，弧、弦、圆心角的关系定理，圆周角定理，切线的性质和判定，切线长定理及正多边形与圆的关系．【本章思想方法】1．体会和掌握类比的学习方法．如：通过与点和线位置关系的类比，学习点和圆的位置关系．2．体会数形结合思想：如：点和圆的位置关系、直线和圆的位置关系通过“数”“形”转化；弧、弦、圆心角、圆周角的关系通过“数”“形”转化．因此，本章应突出数形结合思想，体会数形结合思想的作用．3．体会分类讨论思想：如：探究平行弦之间的距离、圆心角与圆周角的关系、与圆有关的位置关系．24.1圆的有关性质4课时24.2点和圆、直线和圆的位置关系4课时24.3正多边形和圆1课时24.4弧长和扇形面积2课时224.1圆的有关性质24.1.1圆(第1课时)一、基本目标【知识与技能】理解并掌握圆的两种定义及与圆有关的概念，并能够从图形中识别．【过程与方法】通过实际操作体会圆的不同定义，数形结合理解与圆有关的概念，掌握学习几何的一些常用方法：实际操作法、数形结合法等．【情感态度与价值观】通过实际操作，体会数学中的创造与探索精神，体会圆的有关概念．二、重难点目标【教学重点】圆的有关概念．【教学难点】用集合观点定义圆．环节1自学提纲，生成问题【5min阅读】阅读教材P79～P81的内容，完成下面练习．【3min反馈】1．(1)到定点O的距离为5的点的集合是以__O__为圆心，__5__为半径的圆．(2)连结圆上任意两点的__线段__叫做弦，经过圆心的弦叫做__直径__；圆上任意两点间的部分叫做__圆弧__；圆上任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做__优弧__，小于半圆的弧叫做__劣弧__.2．如图，图中有__1__条直径，__2__条非直径的弦；圆中以点A为一个端点的优弧有__4__条，劣弧有__4__条．33．什么叫等圆？什么叫等弧？解：能够重合的两个圆叫做等圆；在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．环节2合作探究，解决问题【活动1】小组讨论(师生互学)【例1】下列说法：①弧分为优弧和劣弧；②半径相等的圆是等圆；③过圆心的线段是直径；④长度相等的弧是等弧；⑤半径是弦，其中正确的是________.(填序号)【互动探索】(引发学生思考)优弧、劣弧、等圆、直径、等弧的定义分别是什么？圆上的弧可以分为哪几类？【答案】②【互动总结】(学生总结，老师点评)由圆的有关概念可知，连结圆上任意两点的线段是弦；过圆心的弦是直径；在同圆或等圆中，能够互相重合的弧是等弧；圆上的弧分为优弧、半圆、劣弧．【例2】如图，在Rt△ABC和Rt△ABD中，∠C＝90°，∠D＝90°，点O是AB的中点．求证：A、B、C、D四个点在以点O为圆心的同一圆上．【互动探索】(引发学生思考)要使A、B、C、D四个点在以点O为圆心的同一圆上，结合圆的集合性定义，圆上各点到定点(圆心O)的距离有什么关系？点A、B、C、D与点O有什么关系？【证明】连结OC、OD.∵在Rt△ABC和Rt△ABD中，∠ACB＝90°，∠ADB＝90°，点O是AB的中点，∴OA＝OB＝OC＝OD＝12AB，∴A、B、C、D四个点在以点O为圆心的同一圆上．【互动总结】(学生总结，老师点评)由圆的集合性定义可知，圆上各点到定点(圆心O)的距离都等于定长(半径r)．【活动2】巩固练习(学生独学)1．给出下列说法：①直径是弦；②优弧是半圆；③半径是圆的组成部分；④两个半径不相等的圆中，大的半圆的弧长小于小的半圆的周长．其中正确的是__①__.(填序号)2．如图，点A、B、C、E在⊙O上，点A、O、D与点B、O、C分别在同一直线上，图中有几条弦？分别是哪些？4解：图中有3条弦，分别是弦AB、BC、CE.3．如图，点A、N在半圆O上，四边形ABOC、DNMO均为矩形，求证：BC＝MD.证明：连结ON、OA.∵点A、N在半圆O上，∴ON＝OA.∵四边形ABOC、DNMO均为矩形，∴ON＝MD，OA＝BC，∴BC＝MD.【活动3】拓展延伸(学生对学)【例3】下列说法：①经过点P的圆有无数个；②以点P为圆心的圆有无数个；③半径为3cm，且经过点P的圆有无数个；④以点P为圆心，以3cm为半径的圆有无数个，其中错误的有()A．1个B．2个C．3个D．4个【互动探索】(引发学生思考)结合圆的定义，怎样确定一个圆？确定一个圆的条件有哪些？【答案】A【互动总结】(学生总结，老师点评)确定一个圆需要两个要素：一是圆心，确定圆的位置；二是半径，确定圆的大小．两者缺一不可．【例4】A、B是半径为5的⊙O上两个不同的点，则弦AB的取值范围是()A．AB＞0B．0＜AB＜5C．0＜AB＜10D．0＜AB≤10【互动探索】(引发学生思考)连结圆上任意两点的线段是弦，求弦AB的取值范围，就要知道连结圆上任意两点构成的最长线段和最短线段分别是什么？【答案】D【互动总结】(学生总结，老师点评)圆上最长的弦是直径，则圆上不同两点构成的弦长大于0且小于等于直径长．环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)5圆圆的集合性定义圆的有关概念弦——直径弧劣弧半圆优弧等圆等弧请完成本课时对应练习！624.1.2垂直于弦的直径(第2课时)一、基本目标【知识与技能】1．理解与掌握圆的对称性、垂径定理及其推论．2．运用垂径定理及其推论解决一些有关证明、计算和作图问题．【过程与方法】经历探索发现圆的对称性，证明垂径定理及其推论的过程，获得几何学习的一些常用方法：合情推理、证明、抽象概括等．【情感态度与价值观】通过观察、操作、变换和研究的过程，进一步培养学生的思维能力、创新意识和良好的运用数学的习惯和意识．二、重难点目标【教学重点】垂径定理及其推论．【教学难点】垂径定理及其推论的运用．环节1自学提纲，生成问题【5min阅读】阅读教材P81～P83的内容，完成下面练习．【3min反馈】1．圆是__轴对称__图形，任何一条直径所在直线都是圆的__对称轴__.2．垂径定理：垂直于弦的直径__平分__弦，并且__平分__弦所对的两条弧．即一条直线如果满足：①CD经过圆心O且与圆交于C、D两点；②AB⊥CD交CD于M；那么可以推出：③__AM_＝_BM__，④__AC＝BC__，⑤__AD＝BD.3．垂径定理的推论：__平分__弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且__平分__弦所对的两条弧．7环节2合作探究，解决问题【活动1】小组讨论(师生互学)【例1】一根横截面为圆形的下水管道的直径为1米，管内有少量的污水(如图)，此时的水面宽AB为0.6米，求此时的水深(即阴影部分的弓形高)．【互动探索】(引发学生思考)要求此时的水深，即阴影部分的弓形高，结合垂径定理，考虑怎样作辅助线才能得到水深？【解答】如图，过点O作OD⊥AB于点C，交⊙O于点D，连结OB.根据垂径定理，得C是AB的中点，D是AB︵的中点，CD就是水深，则BC＝12AB＝0.3米．由题意知，OD＝OB＝0.5米，在Rt△OBC中，由勾股定理，得OC＝OB2－BC2＝0.4米，所以CD＝OD－OC＝0.1米，即此时的水深为0.1米．【互动总结】(学生总结，老师点评)在圆中求半径、弦等线段的长时，常常借助垂径定理构造直角三角形，再在直角三角形中运用勾股定理来解决．【活动2】巩固练习(学生独学)1．如图，AB为⊙O的弦，⊙O的半径为5，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，且CD＝1，则弦AB的长是多少？解：连结AO.由题意可知，OA＝OC＝5，则OD＝OC－CD＝5－1＝4.∵OC⊥AB，∴∠ODA＝90°，∴AD＝OA2－OD2＝3.又∵AB为⊙O的弦，∴AB＝2AD＝6.2．一条排水管的截面如图所示．已知排水管的半径OB＝10cm，水面宽AB＝16cm.求截面圆心O到水面的距离．8解：过点O作OC⊥AB于点C.∵OC⊥AB，AB＝16cm，∴∠OCB＝90°，BC＝12AB＝8cm.又∵OB＝10cm，∴OC＝OB2－BC2＝6cm，即截面圆心O到水面的距离为6cm.3．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中CD，点O是CD的圆心，其中CD＝600m，E为CD上一点，且OE⊥CD，垂足为点F，EF＝90m，求这段弯路的半径．解：如图，连结OC.设弯路的半径为Rm，则OF＝(R－90)m.∵OE⊥CD，CD＝600m，∴∠OFC＝90°，CF＝12CD＝300m．在Rt△OFC中，根据勾股定理，得OC2＝CF2＋OF2，即R2＝3002＋(R－90)2，解得R＝545.即这段弯路的半径为545m.【活动3】拓展延伸(学生对学)【例2】已知⊙O的半径为13，弦AB＝24，弦CD＝10，AB∥CD，求这两条平行弦AB、CD之间的距离．【互动探索】(引发学生思考)要求两条平行弦AB、CD之间的距离，想到垂直，又在圆中已知弦长，则可以想到垂径定理，由此根据这些怎么作图呢？根据题中数据怎样求解呢？【解答】分两种情况讨论：当弦AB和CD在圆心同侧时，如图1，过点O作OF⊥CD于点F，交AB于点E，连结OC、OA.由题意可知，OA＝OC＝13.∵AB∥CD，OF⊥CD，∴OE⊥AB.又∵AB＝24，CD＝10，∴AE＝12AB＝12，CF＝12CD＝5，∴EO＝OA2－AE2＝5，OF＝OC2－CF2＝12，∴EF＝OF－OE＝7.当弦AB和CD在圆心异侧时，如图2，过点O作OF⊥CD于点F，反向延长OF交AB于点E，连结OC、OA.同(1)可得，EO＝5，OF＝12，∴EF＝OF＋OE＝17.综上，两条平行弦AB与CD之间的距离为7或17.9【互动总结】(学生总结，老师点评)解此类题时，要考虑两弦在圆心的同侧还是异侧，再结合实际作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可．【例3】有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图所示，正常水位下水面宽AB＝60m，水面到拱顶距离CD＝18m，当洪水泛滥时，水面到拱顶距离为3.5m时需要采取紧急措施，当水面宽MN＝32m时是否需要采取紧急措施？请说明理由．【互动探索】(引发学生思考)求当水面宽MN＝32m时是否需要采取紧急措施，那么此时水面到拱顶的距离为多少？怎样求出这个距离？【解答】不需要采取紧急措施．理由如下：连结OM，设OA＝Rm.由题意知，在Rt△AOC中，AC＝12AB＝30m，CD＝18m，由勾股定理，得R2＝302＋(R－18)2，解得R＝34.在Rt△MOE中，ME＝12MN＝16m，∴OE＝OM2－ME2＝30m，∴DE＝OD－OE＝4m.∵4＞3.5，∴不需要采取紧急措施．【互动总结】(学生总结，老师点评)解此类题时，要注意根据垂径定理，利用半径、半弦长、弦心距构造直角三角形，结合勾股定理求解．环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)垂直于弦的直径圆的轴对称性垂径定理垂径定理的推论请完成本课时对应练习！1024.1.3弧、弦、圆心角(第3课时)一、基本目标【知识与技能】理解并掌握圆的旋转不变性，圆心角、弧、弦之间的关系定理．【过程与方法】通过观察、比较、操作、推理、归纳等活动，学习圆心角、弧、弦之间的关系定理．【情感态度与价值观】通过探索圆心角、弧、弦之间的关系，培养探索精神，体会分类讨论思想在数学中的应用．二、重难点目标【教学重点】圆心角、弧、弦之间的关系定理及其应用．【教学难点】圆心角、弧、弦之间的关系定理的探索和证明．环节1自学提纲，生成问题【5min阅读】阅读教材P83～P85的内容，完成下面练习．【