数学危机

数学危机理学院基础数学一般来讲，危机是一种激化的、非解决不可的矛盾。从哲学上来看，矛盾是无处不在的、不可避免的，即便以确定无疑著称的数学也不例外。矛盾的消除，危机的解决，往往给数学带来新的内容，新的进展，甚至引起革命性的变革，这也反映出矛盾斗争是事物发展的历史动力这一基本原理。整个数学的发展史就是矛盾斗争的历史，斗争的结果就是数学领域的发展。历史上，数学的发展有顺利也有曲折。大的挫折也可以叫做危机，危机也意味着挑战，危机的解决就意味着进步。所以，危机往往是数学发展的先导。数学发展史上有三次数学危机。每一次数学危机，都是数学的基本部分受到质疑。实际上，也恰恰是这三次危机，引发了数学上的三次思想解放，大大推动了数学科学的发展。目录一第一次数学危机二第二次数学危机三第三次数学危机四总结对比一第一次数学危机11?2221+1=？背景大约公元前5世纪，不可通约量（不能表示成整数或整数之比）的发现导致了毕达哥拉斯悖论。当时的毕达哥拉斯学派重视自然及社会中不变因素的研究，把几何、算术、天文、音乐称为“四艺”，在其中追求宇宙的和谐规律性。他们认为：宇宙间一切事物都可归结为整数或整数之比，毕达哥拉斯学派的一项重大贡献是证明了勾股定理，但由此也发现了一些直角三角形的斜边不可通约的情形，如直角边长均为1的等腰直角三角形就是如此。这一悖论直接触犯了毕氏学派的根本信条，导致了当时认识上的危机，从而产生了第一次数学危机。到了公元前370年，这个矛盾被毕氏学派的欧多克斯通过给比例下新定义的方法解决了。欧多克斯和狄德金于1872年给出的无理数的解释与现代解释基本一致。今天中学几何课本中对相似三角形的处理，仍然反映出由不可通约量而带来的某些困难和微妙之处。第一次数学危机对古希腊的数学观点有极大冲击。这表明，几何学的某些真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表示，反之却可以由几何量来表示出来，整数的权威地位开始动摇，而几何学的身份升高了。危机也表明，直觉和经验不一定靠得住，推理证明才是可靠的，从此希腊人开始重视演译推理，并由此建立了几何公理体系，这不能不说是数学思想上的一次巨大革命！二第二次数学危机无穷小是零吗？牛顿莱布尼兹背景第二次数学危机发生在牛顿创立微积分的十七世纪。第一次数学危机是由毕达哥拉斯学派内部提出的，第二次数学危机则是由牛顿学派的外部、贝克莱大主教提出的，是对牛顿“无穷小量”说法的质疑引起的。十七世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作，虽然这只是十分初步的工作。牛顿和莱布尼茨建立微积分的出发点是直观的无穷小量。但贝克莱讽刺挖苦说：无穷小作为一个量，既不是0，又不是非0，那它一定是“量的鬼魂”了。这就是著名的“贝克莱悖论”。对牛顿微积分的这一责难并不是由数学家提出的，但是，牛顿及他以后一百年间的数学家，都不能有力地还击贝克莱的这种攻击。到19世纪，一批杰出数学家辛勤、天才的工作，终于逐步建立了严格的极限理论，并把它作为微积分的基础。应该指出，严格的极限理论的建立是逐步的、漫长的。从波尔查诺、阿贝尔、柯西、狄里赫利等人的工作开始，到威尔斯特拉斯、戴德金和康托的工作结束，中间经历了半个多世纪，基本上解决了矛盾，为数学分析奠定了严格的基础。如果说第一次数学危机的实质是“不是有理数，而是无理数”。那么第二次数学危机实质是什么？由“无穷小”引发的第二次数学危机，实质上是缺少严密的极限概念和极限理论作为微积分学的基础。2三第三次数学危机到19世纪，数学从各方面走向成熟。非欧几何的出现使几何理论更加扩展和完善；实数理论（和极限理论）的出现使微积分有了牢靠的基础；群的理论、算术公理的出现使算术、代数的逻辑基础更为明晰，等等。人们水到渠成地思索：整个数学的基础在哪里？正在这时，19世纪末，集合论出现了。人们感觉到，集合论有可能成为整个数学的基础。正当很多人认为完全严格的数学已经建立起来的时候，罗素悖论出现了。集合论中居然有逻辑上的矛盾！罗素悖论引发的危机，就称为第三次数学危机。罗素悖论是：以M表示“是其本身成员的所有集合的集合”，而以N表示“不是它本身成员的所有集合的集合”，于是任一集合或者属于M，或者属于N，两者必居其一，且只居其一。然后问：集合N是否是它本身的成员？生活中有个形象的例子:理发师宣布了这样一条原则：他给所有不给自己理发的人理发，并且，只给村里这样的人理发。那么理发师是否自己给自己理发？为了消除悖论，数学家们要将康托“朴素的集合论”加以公理化；并且规定构造集合的原则，例如，不允许出现“所有集合的集合”、“一切属于自身的集合”这样的集合。这样，大体完成了由朴素集合论到公理集合论的发展过程，悖论消除了。但是，新的系统的相容性尚未证明。这就是说，第三次数学危机的解决，并不是完全令人满意的。四总结对比时间起因代表人物结果第一次危机公元前400年无理数毕达哥拉斯学派古典逻辑与欧氏几何学第二次危机十七世纪无穷小牛顿贝克莱严格的实数理论第三次危机十九世纪末悖论罗素集合论的完善