3.2一元二次不等式及其解法

上网获取信息已经成为人们日常生活的重要组成部分，因特网服务公司(ISP)的任务就是负责将用户的计算机接入因特网，同时收取一定的费用。某同学要把自己的计算机接入因特网，现有两家ISP公司可供选择。公司A每小时收费1.5元；公司B的收费原则如图所示，即在用户上网的第1小时内收费1.7元，第2小时内收费1.6元，以后每小时减少0.1元(若用户一次上网时间超过17小时，按17小时计算).一般来说，一次上网时间不会超过17个小时，所以，不妨假设一次上网时间总小于17小时，那么，一次上网在多长时间以内能够保证选择公司A比选择公司B所需费用少？假设一次上网x小时，则公司A收取的费用为1.5x(元)公司B收取的费用为).(20)35(元xx如果能够保证选择公司A比选择公司B所需费用少，则),170(5.120)35(xxxx整理得.052xx①这是一个关于x的一元二次不等式.只要求得满足不等式①的解集，就得到了问题的答案.怎样求不等式①的解集呢？画出二次函数的图象xxy52当x＜0或x＞5时，函数图象位于x轴上方，此时y＞0，即x2-5x＞0；当0＜x＜5时，函数图象位于x轴下方，此时y＜0，即x2-5x＜0；所以一元二次不等式x2-5x＞0的解集是{x|0＜x＜5}.所以当一次上网时间在5小时以内时，选择公司A的费用少；超过5小时，选择公司B的费用少.一元二次方程、一元二次不等式、二次函数的相互关系及其解法：的图象的根的解集的解集acb42000二次函数)0(2acbxaxy一元二次方程)0(02acbxax)0(02acbxax)0(02acbxax1x2xyx0xy01x2x=xy0有两个相等实根aacbbxaacbbx24242221abxx22121|xxxxx或21|xxxxRxabxx2|无实根用程序框图表示求一元二次方程的过程：例1求不等式的解集.01442xx解：原不等式可变形为，）（0122x所以原不等式的解集为21|xx{}.0322xx解：不等式可变形为因为⊿＝-8＜0，例2求不等式的解集..0322xx方程无实数根.0322xx322xxy而的图像开口向上，所以原不等式的解集为.证明：例3不等式对一切恒成立，则a的取值范围.04)2(2)2(2xaxaRx(1)当a–2=0时，即a=2，原不等式为-4＜0。显然，对一切都成立.Rx(2)当a-2≠0时，此不等式对一切x都成立，则021624022aaa解得-2a2.由(1)(2)知，当时不等式对一切恒成立.2,2aRx[点评](1)不等式ax2＋bx＋c0的解集是全体实数(或恒成立)的条件是当a＝0时，b＝0，c0；当a≠0时，a0Δ0.(2)不等式ax2＋bx＋c0的解集是全体实数(或恒成立)的条件是当a＝0时，b＝0，c0；当a≠0时，a0Δ0.类似地，还有f(x)≤a恒成立⇔[f(x)]max≤a；f(x)≥a恒成立⇔[f(x)]min≥a.1．解关于x的不等式ax2－(2a＋1)x＋20.解：(1)当a＝0时，原不等式可化为－x＋20，解集为{x|x2}．(2)当a0时，原不等式化为(ax－1)(x－2)0，即x－1a(x－2)0.若1a2，即a12时，解得1ax2；若1a＝2，即a＝12时，解集为∅；若1a2，即0a12时，解集为2x1a.(3)当a0时，原不等式可化为x－1a(x－2)0.∵1a2，∴不等式解集为x|x1a或x2.综上所述，不等式的解集为：a＝0时，{x|x2}；0a12时，x|2x1a；a＝12时，x∈∅；a12时，x|1ax2；a0时，x|x1a或x2.【例3】已知x2＋px＋q0的解集为x－12x13，求解不等式qx2＋px＋10解：因为x2＋px＋q0的解集为x－12x13，所以x1＝－12与x2＝13是方程x2＋px＋q＝0的两个实数根．由根与系数的关系得13－12＝－p，13×－12＝q，解得p＝16，q＝－16.所以不等式qx2＋px＋10即为－16x2＋16x＋10，即x2－x－60，解得－2x3.所以不等式qx2＋px＋10的解集为{x|－2x3}．方法点评：一元二次不等式ax2＋bx＋c0，ax2＋bx＋c0的解集的端点就是对应的一元二次方程的解．[例4]解不等式2x＋1x－32x＋13x－2.[解]移项得2x＋1x－3－2x＋13x－20，通分整理得2x＋12x－33x－20，∴2x＋1≠0，x－33x－20⇒x≠－12，x3或x23，∴原不等式的解集为(－∞，－12)∪(－12，23)∪(3，＋∞)．•[例5]若方程kx2－(2k＋1)x－3＝0在(－1,1)和(1,3)内各有一个实根，则实数k的取值范围如何？[解]∵函数f(x)＝kx2－(2k＋1)x－3的图象是连续曲线，由题意可知f(－1)f(1)0且f(1)f(3)0，即3k－2－k－40，－k－43k－60，即k23或k－4，k2或k－4，解得k－4或k2.故所求的实数k的取值范围是k－4或k2.•变式:m为何值时，关于x的方程(m＋1)x2＋2(2m＋1)x＋(1－3m)＝0有两个异号的实根．解：若有两个异号实根，则此问题等价于m＋1≠0，x1·x20，即m＋1≠0，1－3mm＋10⇔m≠－1，m－1，或m13，∴m－1或m13.