基本不等式公开课

3.4基本不等式:(0,0)2abababICM2002会标如图，这是在北京召开的第22届国际数学家大会会标．会标根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。问2：Rt△ABF,Rt△BCG,Rt△CDH,Rt△ADE是全等三角形，它们的面积总和是S’=———问1：在正方形ABCD中,设AF=a,BF=b,则AB=则正方形的面积为S=。问3：观察图形S与S’有什么样的大小关系？22ab2ab222abab易得，ss’,即ADCBc22abHGFEab问4：那么它们有相等的情况吗？何时相等？变化的弦图22ba结论：一般地，对于任意实数a、b，我们有当且仅当a=b时，等号成立222abab问5：当a,b为任意实数时，还成立吗？此不等式称为重要不等式222abab数的角度：0b)－(a=2ab－b+a2220,0,,,,ababab如果我们用分别代替可得到什么结论？22()()2abab≥2abab≥替换后得到：即：)0,0(ba2abab≥即：你能用不等式的性质直接推导这个不等式吗？基本不等式：(0,0)2ababab≤当且仅当a=b时取等号在数学中，我们把叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数；2abab文字叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.适用范围：a0,b0新课讲解11(1)0,;xxx例.已知求的最值2121:xxxx解结论1：两个正数积为定值，则和有最小值课堂演练如果积是定值P，那么当时，和有最小值。yxP2yxxy.21xx1x时原式有最小值即当且仅当有最值，并求其最值。为何值时，函数当函数：若变式训练xxxyx,31,31)]x1()x[(1:xx解;1,01的最值求：已知练习xxx　2)1()(2xx.21xx1x时有最大值即当且仅当　　解33-x1)3-x(31y3x:xx。最小值为时，函数有最小值，即当且仅当54,313xxx有最值，并求其最值。为何值时，函数当函数变式训练：若xxxyx,31,35331)3(2xx的最大值求且、：已知例mnnmnm21,16,0264)216()2(,160,:22nmmnnmnm由基本不等式可得且解结论2：两个正数和为定值，则积有最大值yxyxxy如果和是定值S，那么当时，积有最大值241S3221648的最大值为取到最大值时，当且仅当mnmnnm.,632,0,02的最大值求且：已知练习xyyxyx)32(61,6320,:yxxyyxyx且解231,23,32取到最大值时，即当且仅当xyyxyx232661)232(6122）（yx（1）一正：各项均为正数（2）二定：两个正数积为定值，和有最小值。两个正数和为定值，积有最大值。（3）三相等：求最值时一定要考虑不等式是否能取“＝”利用求最值时要注意下面三条：)0,0(2baabba例题小结如果积是定值P，那么当时，和有最小值yxP2yxxyyxyxxy241S如果和是定值S，那么当时，积有最大值0,0yx例3.(1)如图,用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？xyABDC实际应用例3.(1)如图,用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？解：如图设BC=x，CD=y，则xy=100，篱笆的长为2(x+y)m.2xyxy≥210020,xy≥2()40xy≥当且仅当时，等号成立因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m.xy此时x=y=10.x=yABDC1001010xyxxyy解，可得若x、y皆为正数，则当xy的值是常数P时，当且仅当x=y时，x+y有最小值_______.2P22≥xyxyP例3.(2)如图，用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？解：如图，设BC=x，CD=y，则2(x+y)=36,x+y=18矩形菜园的面积为xym22xyxy≤得xy≤81当且仅当x=y时，等号成立因此，这个矩形的长、宽都为9m时，菜园面积最大，最大面积是81m21892即x=y=9xyABDC若x、y皆为正数，则当x+y的值是常数S时，当且仅当x=y时，xy有最大值_______；214S21422≤≤xySxyxyS221R,2(),,abababab那么≥当且仅当时,等号成立(2)(0,0)2abababab≤，当且仅当时，等号成立。求最值时注意把握“一正，二定，三相等”已知x,y都是正数,P,S是常数.(1)xy=Px+y≥2P(当且仅当x=y时,取“=”号).(2)x+y=Sxy≤S2(当且仅当x=y时,取“=”号).142.利用基本不等式求最值1.两个不等式课堂总结