物理中的最值问题

物理中的最值问题1.（2010重庆理综）晓明站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为m的小球，甩动手腕，使球在竖直平面内做圆周运动，当球某次运动到最低点时，绳突然断掉。球飞离水平距离d后落地，如图9所示，已知握绳的手离地面高度为d，手与球之间的绳长为3d/4，重力加速度为g，忽略手的运动半径和空气阻力。（1）求绳断时球的速度大小v1，和球落地时的速度大小v2。（2）问绳能承受的最大拉力多大？（3）改变绳长，使球重复上述运动。若绳仍在球运动到最低点时断掉，要使球抛出的水平距离最大，绳长应为多少？最大水平距离为多少？【解析】（1）设绳断后球飞行时间为t，由平抛运动规律，有竖直方向41d=21gt2水平方向d=v1t，联立解得v1=gd2。由机械能守恒定律，有21mv22=21mv12+mg(d-3d/4)解得v2=gd25。（2）设绳能承受的拉力大小为T，这也是球受到绳的最大拉力。球做圆周运动的半径为R=3d/4对小球运动到最低点，由牛顿第二定律和向心力公式有T-mg=mv12/R，联立解得T=311mg。（3）设绳长为L，绳断时球的速度大小为v3，绳承受的最大拉力不变，有T-mg=mv32/L解得v3=Lg38。绳断后球做平抛运动，竖直位移为d-L，水平位移为x，飞行时间为t1，根据平抛运动规律有d-L=21gt12，x=v3t1联立解得x=43LdL.当L=d/2时，x有极大值，最大水平距离为xmax=332d.2.如图所示，一质量为M=5.0kg的平板车静止在光滑水平地面上，平板车的上表面距离地面高h=0.8m，其右侧足够远处有一固定障碍物A。另一质量为m=2.0kg可视为质点的滑块，以v0=8m/s的水平初速度从左端滑上平板车，同时对平板车施加一水平向右、大小为5N的恒力F。当滑块运动到平板车的最右端时，两者恰好相对静止。此时车去恒力F。当平板车碰到障碍物A时立即停止运动，滑块水平飞离平板车后，恰能无碰撞地沿圆弧切线从B点切入光滑竖直圆弧轨道，并沿轨道下滑。已知滑块与平板车间的动摩擦因数μ=0.5，圆弧半径为R=1.0m，圆弧所对的圆心角∠BOD=θ=106°，取g=10m/s2，sin53°=0.8，cos53°=0.6，求：（1）平板车的长度。（2）障碍物A与圆弧左端B的水平距离。（3）滑块运动圆弧轨道最低点C时对轨道压力的大小。【解析】（1）滑块与平板车间的滑动摩擦力f=μmg，对滑块，由牛顿第二定律得a1=f/m=μg=5m/s2；对平板车，由牛顿第二定律得a2=(F+f)/M=3m/s2；设经过时间t1，滑块与平板车相对静止，共同速度为v，则v=v0-a1t1=a2t2解得t1=1s（1分）v=3m/s（2）设滑块从平板车上滑出后做平抛运动的时间为t2则h=12gt22，xAB=vt2，障碍物A与圆弧左端B的水平距离xAB=1.2m。（3）对小物块，从离开平板车到C点，由动能定理得2210611(1cos)=222CmghmgRmvmv+--o在C点由牛顿第二定律得FN-mg=m2CvR联立得FN=86N。由牛顿第三定律得滑块运动到圆弧轨道最低点C时对轨道压力的大小为86N。如图所示，在粗糙水平台阶上放置一质量m=0.5kg的小物块，它与水平台阶间的动摩擦因数μ=0.5，与台阶边缘O点的距离s=5m。在台阶右侧固定一个1/4圆弧挡板，圆弧半径R=1m，圆弧的圆心也在O点。今以O点为原点建立平面直角坐标系xOy。现用F=5N的水平恒力拉动小物块，一段时间后撤去拉力，小物块最终水平抛出并击中挡板。（sin370.6，取g=10m/s2）（1）若小物块恰能击中挡板上的P点（OP与水平方向夹角为37°），求其离开O点时的速度大小；（2）为使小物块击中挡板，求拉力F作用的最短时间；（3）改变拉力F的作用时间，使小物块击中挡板的不同位置，求击中挡板时小物块动能的最小值。【解析】（1）小物块从O到P，做平抛运动。水平方向：0cos37Rvt（2分）竖直方向：21sin372Rgt（2分）解得：043m/s3v（2分）（2）为使小物块击中档板，小物块必须能运动到O点。由动能定理得：0kFxmgSE解得：2.5mx（2分）由牛顿第二定律得：Fmgma解得：25m/sa（2分）由运动学公式得：212xat解得：1st（2分）（3）设小物块击中挡板的任意点坐标为（x，y），由运动学规律可得：0xvt；212ygt由机械能守恒得：2012kEmvmgy（2分）又222xyR（1分）化简得：2134kREmgyy（2分）由基本不等式得：213y时，动能最小，其值为：min53J2kE（3分）说明：如果用其他方法求出正确答案的，同样给分。