2013群、环、域

群、环、域半群设G是非空集合，*是G上的运算，如果满足以下公理：封闭性，∀a，b∈G，都有a*b∈G；结合律，∀a，b，c∈G，都有(a*b)*c=a*(b*c)；则称G或（G，*）是半群。群设G是非空集合，*是G上的运算，如果满足以下公理：封闭性，∀a，b∈G，都有a*b∈G；结合律，∀a，b，c∈G，都有(a*b)*c=a*(b*c)；单位元，∀a∈G，存在元素e∈G，满足a*e=e*a=a,称e为的单位元；逆元，∀a∈G，存在元素a-1∈G，满足a*a-1=a-1*a=e,称a-1为a的逆元。则称（G，*）是群。若G中的元素个数有限，则称（G，*）为有限群，否则，称为无限群。群中的元素个数称为群的阶，若在群G中，∀a，b∈G，都有a*b=b*a，则称G为交换群或Abel群。例同余类集合Zm关于模m加法构成一个阶为m的交换群。定义设（G，*）为一个群，I是整数集合，如果存在一个元素g∈G，对于每一个元素a∈G，都有一个相应的i∈I，能把a表示为gi，则称（G，*）是一个循环群，g称为循环群的生成元，也说G是由g生成的。例设Z8={0,1,2,...,7}，考虑模8加法运算。+01122344567700356611234457022356701334456701245670123556701234466701235770123456Z8是循环群，1是Z8的一个生成元。Z8的每一个元素都可写成i,0i7,的样子。环设R是非空集合，+和是R上的运算，如果满足以下公理（R，+）是交换群（R，）是半群分配律，∀a，b，c∈R，都有a(b+c)=ab+ac和(b+c)a=ba+ca则称R或（R，+,）是环。例剩余类集合Zm关于模m加法和剩法构成一个交换环。域设F是非空集合，+和是F上的运算，如果满足以下公理（F，+）是交换群（F-{0},）是交换群,其中0是+的单位元。分配律，∀a，b，c∈F，都有a(b+c)=ab+ac和(b+c)a=ba+ca则称F或（F，+,）是域。例设p是素数，则Zp是一个域。