函数奇偶性与周期性考题

函数周期性高考对于函数性质的考查，一般不会单纯地考查某一个性质，而是对奇偶性、周期性、单调性的综合考查.归纳起来常见的命题角度有：(1)单调性与奇偶性结合；(2)周期性与奇偶性结合；(3)单调性、奇偶性与周期性结合.(1)判断函数的周期只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．(2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期．求下列函数周期()()3fxfx+=-f(t)＝f(1－t))(1)3(xfxf1(3)fxfxxfxf40)1()1(xfxf角度一：周期性与奇偶性结合1、设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝2x(1－x)，则f－52＝()A．－12B．－14C.14D.12解析：选A∵f(x)是周期为2的奇函数，∴f－52＝－f52＝－f52－2＝－f12＝－2×12×1－12＝－12.2．(2014·四川高考)设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1,1)时，f(x)＝－4x2＋2，－1≤x0，x，0≤x1，则f32＝________.解析：f32＝f2－12＝f－12＝－4×－122＋2＝1.答案：13．已知定义在R上的奇函数()fx满足()()3fxfx+=-，且()21f-=，则()()20162017ff+=（）A．0B．-1C．1D．2【答案】B4．设定义在R上的奇函数y＝f(x)，满足对任意t∈R，都有f(t)＝f(1－t)，且x∈0，12时，f(x)＝－x2，则f(3)＋f－32的值等于()A．－12B．－13C．－14D．－15解析：选C由f(t)＝f(1－t)得f(1＋t)＝f(－t)＝－f(t)，所以f(2＋t)＝－f(1＋t)＝f(t)，所以f(x)的周期为2.又f(1)＝f(1－1)＝f(0)＝0，所以f(3)＋f－32＝f(1)＋f12＝0－122＝－14.5．设偶函数f(x)对任意Rx，都有)(1)3(xfxf，且当]2,3[x时，xxf4)(，则)5.107(f（）A．10B．101C．-10D．101【答案】B6．设偶函数fx对任意xR都有1(3)fxfx，且当3,2x时，4fxx，则(119.5)f（）A．10B．10C．110D．110【答案】C7．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则()A．f(－25)＜f(11)＜f(80)B．f(80)＜f(11)＜f(－25)C．f(11)＜f(80)＜f(－25)D．f(－25)＜f(80)f(11)解：选D∵f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，∴f(x－8)＝f(x)，∴函数f(x)是以8为周期的周期函数，则f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3)．由f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x－4)＝－f(x)，得f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)．∵f(x)在区间[0,2]上是增函数，f(x)在R上是奇函数，∴f(x)在区间[－2,2]上是增函数，∴f(－1)＜f(0)＜f(1)，即f(－25)＜f(80)＜f(11)．8、已知函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且f(2)＝0，对任意的x∈R，都有f(x＋4)＝f(x)＋f(4)成立，则f(2014)的值为()A．4024B．2014C．2012D．0解：函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且f(2)＝0，则f(－2)＝0．∵f(x＋4)＝f(x)＋f(4)，∴令x＝－2，得f(2)＝f(－2)＋f(4)，∴f(4)＝0．∴f(x＋4)＝f(x)，即4为f(x)的周期．∴f(2014)＝f(503×4＋2)＝f(2)＝0，故选D．9、已知函数f(x)满足f(x＋1)＝f(x－1)，f(x)＝f(2－x)，且函数y＝f(x)在区间[0,1]内有且只有一个零点12，则y＝f(x)在区间[0,2014]上的零点的个数为()A．2012B．1006C．2014D．1007解析：选C由f(x＋1)＝f(x－1)可得函数f(x)为周期为2的周期函数，由f(x)＝f(2－x)可得f(x)的图象关于直线x＝1对称，由函数y＝f(x)在区间[0,1]上有且只有一个零点12，可知函数y＝f(x)在区间[1,2]上有一个零点32，又f(x)在区间[0,2014]上有1007个周期，故有2014个零点．10、已知奇函数fx满足对任意Rx都有63fxfxf成立，且11f，则20152016ff．【答案】111．已知函数fx的定义域为R，当0x时，31fxx；当11x时，fxfx；当12x时，1122fxfx，则6f_______．【答案】212．已知函数)(xf满足0)1()1(xfxf，且)()(xfxf，当21x时，12)(xxf，求)2017(f（）A．-1B．0C．1D．2【答案】C13．定义在实数集R上的奇函数fx,对任意实数x都有3344fxfx,且满足312,2ffmm,则实数m的取值范围是（）A．13mB．03mC．031mm或D．31mm或【答】C3．(2015·石家庄一模)已知f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，若f(1)＜1，f(5)＝2a－3a＋1，则实数a的取值范围为()A．(－1,4)B．(－2,0)C．(－1,0)D．(－1,2)解：选A∵f(x)是定义在R上的周期为3的偶函数，∴f(5)＝f(5－6)＝f(－1)＝f(1)，∵f(1)＜1，f(5)＝2a－3a＋1，∴2a－3a＋1＜1，即a－4a＋1＜0，解得－1＜a＜4，故选A.14．已知函数)(xf满足0)1()1(xfxf，且)()(xfxf，当21x时，12)(xxf，求)2017(f（）A．-1B．0C．1D．2【答案】C15.定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝log2（1－x），x≤0，f（x－1）－f（x－2），x＞0，则f(2013)的值为______________．解：∵x0时，f(x)＝f(x－1)－f(x－2)，∴f(x＋1)＝f(x)－f(x－1)．两式相加得f(x＋1)＝－f(x－2)，∴f(x＋3)＝－f(x)，f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，∴f(x)的周期为6，因此，f(2013)＝f(6×335＋3)＝f(3)．又f(－1)＝log22＝1，f(0)＝log21＝0，f(1)＝f(0)－f(－1)＝－1，f(2)＝f(1)－f(0)＝－1，f(3)＝f(2)－f(1)＝0，∴f(2013)＝0，故填0．16．若偶函数y＝f(x)为R上的周期为6的函数，且满足f(x)＝(x＋1)(x－a)(－3≤x≤3)，则f(－6)等于________．解析：∵y＝f(x)为偶函数，且f(x)＝(x＋1)·(x－a)(－3≤x≤3)，∴f(x)＝x2＋(1－a)x－a,1－a＝0.∴a＝1.f(x)＝(x＋1)(x－1)(－3≤x≤3)．f(－6)＝f(－6＋6)＝f(0)＝－1.17、设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式．解：(1)证明：∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．∴f(x)是周期为4的周期函数．(2)∵x∈[2,4]，∴－x∈[－4，－2]，∴4－x∈[0,2]，∴f(4－x)＝2(4－x)－(4－x)2＝－x2＋6x－8.又∵f(4－x)＝f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝－x2＋6x－8，即f(x)＝x2－6x＋8，x∈[2,4]．课后：1．定义在R上的偶函数()yfx满足(2)()fxfx，且在[2,0]x上为增函数，3()2af，7()2bf，12(log8)cf，则下列不等式成立的是（）A．abcB．bcaC．bacD．cab【答案】B2．已知函数22,0()2cos,0xxfxxx，则下列结论正确的是()A．()fx是偶函数B．()fx是增函数C．()fx是周期函数D．()fx的值域为),2[【答案】D3．已知定义在R上的函数fx，对任意xR，都有63fxfxf成立，若函数1yfx的图象关于直线1x对称，则2013()fA．0B．2013C．3D．2013【答案】A．4．已知函数)(xfy是R上的偶函数，对于Rx都有)3()()6(fxfxf成立，且2)4(f，当]3,0[,21xx，且21xx时，都有0)()(2121xxxfxf．则给出下列命题：①2)2008(f；②函数)(xfy图象的一条对称轴为6x；③函数)(xfy在[﹣9，﹣6]上为减函数；④方程0)(xf在[﹣9，9]上有4个根；其中正确的命题个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】D6．已知定义在R上的函数满足条件3()()2fxfx，且函数3()4yfx为奇函数，则下面给出的命题中错误的是（）A．函数()yfx是周期函数，且周期T=3B．函数()yfx在R上有可能是单调函数C．函数()yfx的图像关于点3(,0)4对称D．函数()yfx是偶函数【答案】B7．函数fx对于任意实数x满足条件12fxfx，若15f，则5ff（）A、5B、15C、15D、5【答案】B9．已知定义在R上的函数fx满足条件；①对任意的xR，都有4fxfx；②对任意的121212,0,2xxxxxfx且，都有f；③对任意的xR，都有22fxfx，则下列结论正确的是（）A．4.576.5fffB．74.56.5fffC．4.56.57fffD．76.54.5fff【答案】A12．定义在R上的偶函数)(xf，且对任意实数x都有)()2(xfxf，当)1,0[x时，2)(xxf，若在区间]3,3[内，函数kkxxfxg3)()(有6个零点，则实数k的取值范围为________．【答案】]61,0(13．若函数)(xf满足：存在非零常数T，对定义域内的任意实数x，有)()(xTfTxf成立，则称)(xf为“T周期函数”，那么有函数①xexf)(②xexf)(③xxfln)(④xxf)(，其中是“T周期函数”的有（填上所有符合条件的函数前的序号）【答案】②14．已知函数()fx是(,)上的偶函数，若对于0x，都有(2()fxfx），且当[0,2)x时，2()log(1fxx），则)2013()2012(ff=____________.【答案】1