平行四边形及特殊平行四边形含答案

平行四边形、菱形、矩形、正方形测试题一、选择题(每题3分，共30分)。1．平行四边形ABCD中，∠A=50°，则∠D=（）A.40°B.50°C.130°D.不能确定2．下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是（）A.一组对边相等B.对角线互相平分C.一组对角相等D.对角线互相垂直3．在平行四边形ABCD中，EF过对角线的交点O，若AB=4，BC=7，OE=3，则四边形EFCD周长是（）A．14B.11C.10D.174．菱形具有的性质而矩形不一定有的是()A．对角相等且互补B．对角线互相平分C．一组对边平行另一组相等D．对角线互相垂直5．已知菱形的周长为40cm，两条对角线的长度比为3：4，那么两条对角线的长分别为（）A．6cm，8cmB.3cm，4cmC.12cm，16cmD.24cm，32cm6．如图在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，则以下说法错误的是()A．AB=21ADB．AC=BDC．90CDABCDABCDABD．AO=OC=BO=OD7．如图5连结正方形各边上的中点，得到的新四边形是()A．矩形B.正方形C.菱形D.平行四边形8.一矩形两对角线之间的夹角有一个是600,且这角所对的边长5cm,则对角线长为()A.5cmB.10cmC.52cmD.无法确定9.当矩形的对角线互相垂直时,矩形变成()A.菱形B.等腰梯形C.正方形D.无法确定.10.如图所示，在ABCD中，E、F分别AB、CD的中点，连结DE、EF、BF，则图中平行四边形共有（）A．2个B．4个C．6个D．8个二、填空题（每题3分，共24分）11．□ABCD中,AB：BC=1：2，周长为24cm,则AB=_____cm,AD=_____cm.12．已知：四边形ABCD中，AB＝CD，要使四边形ABCD为平行四边形，需要增加__________，（只需填一个你认为正确的条件即可）你判断的理由是：_____________________________。13．一个矩形的对角线长10cm，一边长6cm，则其周长是，面积是。14．已知菱形的两条对角线的长分别是6cm和8cm,则其周长为,面积为.15．正方形的对角线是2，那么边长为_____，周长为____，面积为_______。16．用两个全等的三角形，能拼成一个平行四边形，这样的平行四边形的周长取值最多有________个。17．如图，宽为50cm的矩形图案由10个全等的小长方形拼成，其中一个小长方形的面积为_________。图5FABDCE18．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，P是边AD上的动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE＋PF的值为：_________。三、解答题（共46分）19．如图9平行四边形ABCD中，BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，求证：BE=DF(提示：可以用AAS定理证明：△CFD≌△AED)(6分)20如图8：某菱形的对角线长分别是6cm，8cm，求菱形周长和面积。（6分）22．（8分）已知四边形ABCD，仅从下列条件中任取两个加以组合，能否得到四边形ABCD是平行四边形的结论？试一试，并说明理由（至少写3组）。①AB=CD②AB∥CD③BC∥AD④BC=AD⑤∠A=∠C⑥∠B=∠D23．小红的房门做好了,现要检测这房门是否成矩形,你有什么办法帮他吗?说说看.(6分)ABCDFE12图9AGEBCFD提高训练1．如图，四边形ABCD是菱形，点G是BC延长线上一点，连接AG，分别交BD、CD于点E、F，连接CE．（1）求证：∠DAE＝∠DCE；（2）当AE＝2EF时，判断FG与EF有何等量关系？并证明你的结论？2．如图，在△ABC中，D是BC边的中点，E、F分别在AD及其延长线上，CE∥BF，连接BE、CF．(1)求证：△BDF≌△CDE；(2)若AB=AC，求证：四边形BFCE是菱形．3．(10分)如图，在□ABCD中，E、F分别是边AB、CD的中点，AG∥BD交CB的延长线于点G．(1)求证：△ADE∽≌△CBF；(2)若四边形BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形？请说明你的理由．4．已知：如图14，E是正方形ABCD的对角线BD上一点，EF⊥BC,EG⊥CD，垂足分别是F、G。求证：AE＝FG.ADCBEGF图145.如图11，四边形ABCD中，点M，N分别在AB，BC上，将△BMN沿MN翻折，得△FMN，若MF∥AD，FN∥DC，则∠B=°．6.如图，矩形ABCD中，AB=1，E、F分别为AD、CD的中点，沿BE将△ABE折叠，若点A恰好落在BF上，则AD=.7.如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处．当△CEB′为直角三角形时，BE的长为．8.探究：如图①，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD,AE⊥CD于点E．若AE=10,求四边形ABCD的面积.应用：如图②，在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD,AE⊥BC于点E.若AE=19，BC=10,CD=6,则四边形ABCD的面积为.9.如图，在矩形ABCD中，E、F分别是AB、CD上的点，AE=CF，连接EF、BF，EF与对角线AC交于点O，且BE=BF，∠BEF=2∠BAC。（1）求证：OE=OF（2）若BC=23，求AB的长。10.在Rt△ABC中，∠C=90°，以AC为一边向外作等边三角形ACD，点E为AB的中点，连结DE.（1）证明DE∥CB；（2）探索AC与AB满足怎样的数量关系时，四边形DCBE是平行四边形.11.如图1所示，将一个边长为2的正方形ABCD和一个长为2、宽为1的长方形CEFD拼在一起，构成一个大的长方形ABEF．现将小长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CE′F′D′，旋转角为a．（1）当点D′恰好落在EF边上时，求旋转角a的值；（2）如图2，G为BC中点，且0°＜a＜90°，求证：GD′=E′D；（3）小长方形CEFD绕点C顺时针旋转一周的过程中，△DCD′与△CBD′能否全等？若能，直接写出旋转角a的值；若不能说明理由．12.如图1，△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，D、F分别在AB、AC边上，此时BD=CF，BD⊥CF成立．（1）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，BD=CF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（2）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BD交CF于点G．求证：BD⊥CF；(3)在(2)小题的条件下,AC与BG的交点为M，当AB=4，AD=时，求线段CM的长．13.如图，在边长为2的正方形ABCD中，P为AB的中点，Q为边CD上一动点，设DQ＝t（0≤t≤2），线段PQ的垂直平分线分别交边AD、BC于点M、N，过Q作QE⊥AB于点E，过M作MF⊥BC于点F．（1）当t≠1时，求证：△PEQ≌△NFM；QPNMFEDCBA（第9题）答案(1)证明：∵四边形ABCD是矩形∴AB∥CD∴∠OAE=∠OCF,∠OEA=∠OFC∵AE=CF∴△AEO≌△CFO(ASA)∴OE=OF(2)解：连接BO∵OE=OF,BE=BF,∴OB⊥EF,且∠EBO=∠FBO∴∠BOF=90°∵四边形ABCD是矩形，∴∠BCF=90°又∵∠BEF=2∠BAC,∠BEF=∠BAC+∠EOA∴∠BAC=∠EOA,∴AE=OE∵AE=CF,OE=OF∴OF=CF∵BF=BF∴△BOF≌△BCF(HL)∴∠OBF=∠CBF∴∠CBF=∠FBO=∠OBE∵∠ABC=90°∴∠OBE=30°∴∠BEO=60°∴∠BAC=30°∵tan∠BAC=BC:AB∴tan30°=23:AB∴AB=6探究：过点A作AF⊥CB,交CB的延长线于点F.∵AE⊥CD，∠BCD＝90，∴四边形AFCE为矩形.∴∠FAE＝90.∴∠FAB＋∠BAE＝90.∵∠EAD＋∠BAE＝90，∴∠FAB＝∠EAD.∵AB＝AD，∠F＝∠AED＝90，∴△AFB≌△AED.∴AF＝AE.∴四边形AFCE为正方形.∴ABCDS四边形＝AFCES正方形＝2AE＝210＝100.解：当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示．连结AC，在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，∴AC==5，∵∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，∴∠AB′E=∠B=90°，当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，∴点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，如图，∴EB=EB′，AB=AB′=3，∴CB′=5﹣3=2，设BE=x，则EB′=x，CE=4﹣x，在Rt△CEB′中，∵EB′2+CB′2=CE2，∴x2+22=（4﹣x）2，解得x=，∴BE=；②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．此时ABEB′为正方形，∴BE=AB=3．综上所述，BE的长为或3．故答案为：或3．解：（1）证明：连结CE.∵点E为Rt△ACB的斜边AB的中点，∴CE=12AB=AE.∵△ACD是等边三角形，∴AD=CD.在△ADE与△CDE中，AD=CD,DE=DE,AE=CE,∴△ADE≌△CDE.∴∠ADE=∠CDE=30°.∵∠DCB=150°，∴∠EDC+∠DCB=180°.∴DE∥CB.(2)∵∠DCB=150°,若四边形DCBE是平行四边形，则DC∥BE,∠DCB+∠B=180°.∴∠B=30°.（1）解：∵长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CE′F′D′，∴CD′=CD=2，在Rt△CED′中，CD′=2，CE=1，∴∠CD′E=30°，∵CD∥EF，∴∠α=30°；（2）证明：∵G为BC中点，∴CG=1，∴CG=CE，∵长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CE′F′D′，∴∠D′CE′=∠DCE=90°，CE=CE′=CG，∴∠GCD′=∠DCE′=90°+α，在△GCD′和△DCE′中，∴△GCD′≌△E′CD（SAS），∴GD′=E′D；（3）解：能．理由如下：∵四边形ABCD为正方形，∴CB=CD，∵CD=CD′，∴△BCD′与△DCD′为腰相等的两等腰三角形，当∠BCD′=∠DCD′时，△BCD′≌△DCD′，当△BCD′与△DCD′为钝角三角形时，α==135°，当△BCD′与△DCD′为锐角三角形时，α=360°﹣=315°，即旋转角a的值为135°或315°时，△BCD′与△DCD′全等．解（1）BD=CF成立．理由：∵△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，∴AB=AC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=90°，∵∠BAD=∠BAC﹣∠DAC，∠CAF=∠DAF﹣∠DAC，∴∠BAD=∠CAF，在△BAD和△CAF中，∴△BAD≌△CAF（SAS）．∴BD=CF．（2）证明：设BG交AC于点M．∵△BAD≌△CAF（已证），∴∠ABM=∠GCM．∵∠BMA=∠CMG，∴△BMA∽△CMG．∴∠BGC=∠BAC=90°．∴BD⊥CF．(3)过点F作FN⊥AC于点N．∵在正方形ADEF中，AD=DE=，∴AE==2，∴AN=FN=AE=1．∵在等腰直角△ABC中，AB=4，∴CN=AC﹣AN=3，BC==4．∴在Rt△FCN中，tan∠FCN==．∴在Rt△ABM中，tan∠ABM==tan∠FCN=．∴AM=AB=．∴CM=AC﹣AM=4﹣=，BM==