高三立体几何大题专题(用空间向量解决立体几何类问题)

【知识梳理】一、空间向量的概念及相关运算1、空间向量基本定理如果三个向量,,abc不共面，那么对空间任一向量pxaybzc,,abc称为基向量。2、空间直角坐标系的建立分别以互相垂直的三个基向量kji,,的方向为正方向建立三条数轴：x轴，y轴和z轴。则axiyjzk（x,y,z）称为空间直角坐标。注：假如没有三条互相垂直的向量，需要添加辅助线构造，在题目中找出互相垂直的两个面，通过做垂线等方法来建立即可。3、空间向量运算的坐标表示(1)若111222,,,,,axyzbxyz，则：121212,,abxxyyzz111,,axyz121212abxxyyzz12121200ababxxyyzz121212//,,ababxxyyzz222111aaaxyz．ab=acos,bab．cos,ababab121212222222111222cos,xxyyzzabababxyzxyz(2)设111222,,,,,AxyzBxyz则212121,,ABOBOAxxyyzz(3)111,,xyz，222,,xyz，则222212121dxxyyzz二、应用：平面的法向量的求法：1、建立恰当的直角坐标系2、设平面法向量n=（x，y，z）3、在平面内找出两个不共线的向量，记为a=（a1，a2,a3）b=（b1，b2，b3）4、根据法向量的定义建立方程组①n*a=0②n*b=05、解方程组，取其中一组解即可。应用1：证明空间位置关系（1）线线平行：证明//ABCD，即证明//ABCD（2）线线垂直：证明ABCD，即证明0ABCD（3）线面平行：证明//AB（平面）（或在面内），即证明AB垂直于平面的法向量或证明AB与平面内的基底共面；（4）线面垂直：证明AB，即证明AB平行于平面的法向量或证明AB垂直于平面内的两条相交的直线所对应的向量；（5）面面平行：证明两平面//（或两面重合），即证明两平面的法向量平行或一个面的法向量垂直于另一个平面；（6）面面垂直：证明两平面，即证明两平面的法向量垂直或一个面的法向量在内一个面内。应用2：利用空间向量求线线角、线面角、二面角（1）异面直线的夹角：0,2。设12,ll是两条异面直线，,AB是1l上的任意两点，,CD是直线2l上的任意两点，则coscos,ABCD，即12,ll所成的角为arccosABCDABCD（2）直线与平面的夹角：0,2。设AB是平面的斜线，设n是平面的法向量，AB是平面的一条斜线，则sincos,ABn，即AB与平面所成的角为arccos2ABnABnABnABn，或者arcsin（3）二面角：0,设12,nn是二面角l的面,的法向量，则121212,cosnnnnarcnn就是二面角的平面角或补角的大小。需具体分析是哪一个。当法向量12nn与的方向分别指向二面角内侧与外侧时，二面角的大小等于法向量12nn与的夹角的大小。当法向量12nn与的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角的大小等于法向量12nn与的夹角的补角12,nn。应用三：求距离（1）两点间距离：111,,xyz，222,,xyz，则222212121dxxyyzz（2）点到直线距离：在直线l上找一点，过定点且垂直于直线l的向量为n，则定点到直线l的距离为cos,ndnn（3）点到平面距离：点是平面外一点，是平面内的一定点，n为平面的一个法向量，则点到平面的距离为cos,ndnn．（4）两异面直线距离：设直线21,ll是两条异面直线，n是21,ll公垂线AB的方向向量，又C、D分别是21,ll上的任意两点，则1l与2l之间距离..nnCDABd（5）直线AC平面（//AC）的距离：转化为点A到平面的距离（6）平面与平面（//）的距离（n为平面的法向量）：转化为平面内的点到平面的距离。应用四：解决探究问题对于存在判断型问题，解题的策略一般为先假设存在，然后转化为“封闭型”问题求解判断，若不出现矛盾，则肯定存在；若出现矛盾，则否定存在。这是一种最常用也是最基本的方法.立体几何中的点的位置的探求经常借助于空间向量，引入参数，综合已知和结论列出等式，解出参数.这是立体几何中的点的位置的探求的常用方法.方法：点F是线PC上的点，一般可设PCPF，求出值，P点是已知的，即可求出F点点F在平面PAD上一般可设DPtDAtDF21、计算出21,tt后，D点是已知的，即可求出F点。【经典例题】一、平行垂直的证明（包含存在性问题）例1、如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，EF∥AB，EFFB，2ABEF，90BFC，BFFC，H为BC的中点。(1)求证：FH∥平面EDB；(2)求证：AC平面EDB；例2、如图，在底面为直角梯形的四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90o，PD⊥平面ABCD，AD=1，AB=3，BC=4。（I）求证：BD⊥PC；（2）设点E在棱PC上，PEPC，若DE∥平面PAB，求的值．【变式1-1】在如图所示的几何体中，面CDEF为正方形，面ABCD为等腰梯形，ABCDBCAB260ABCACFBACFBCEDQEACQBCPABCDPACABCDPAAC2PAADABCDBCADABAD1ABBC,EF,PBPCPEPFPBPCEFPAD12BFCDAFDPCD//ADBC12ADBC60ABC90ABCDACABC//CNADDAEFBCDHGXYZPFEACDBNDCPABCDPAABCDABCACBDMAC4PAAB120CDANPB2PNBDPC//MNPDCMEMN【变式1-6】如图，在直三棱柱111ABCABC中，90BAC，12,ABACAAE是BC中点.（I）求证：1//AB平面1AEC；（II）若棱1AA上存在一点M，满足11BMCE，求AM的长；【变式1-7】如图，四棱锥ABCDP中，底面ABCD为正方形，PDPA，PA平面PDC，E为棱PD的中点．MDCBAPNNCDABMEEC1B1A1CBAOFEDCBA（Ⅰ）求证：PBEACPADABCDEABCD-ABCD,ACBDO与交于点FABCDEC,面BE（Ⅰ）求证：DE∥平面ACF；（Ⅱ）求证：BDAE；（Ⅲ）若2,ABCE=在线段EO上是否存在点G，使BDECG面若存在，求出EGEO的值，若不存在，请说明理由．二、利用空间向量求二面角，线面角，线线角例1、在棱长为a的正方体''''ABCDABCD中，EF分别是'',BCAD的中点，（1）求直线'ACDE与所成角；（2）求直线AD与平面'BEDF所成的角，（3）求平面'BEDF与平面ABCD所成的角例2、如图，四棱锥ABCDP的底面ABCD为菱形，60ABC，侧面PAB是边长为2的正三角形，侧面PAB底面ABCD.'DABCDEFG'A'B'CxyzPADM(Ⅰ)设AB的中点为Q，求证：PQ平面ABCD；（Ⅱ）求斜线PD与平面ABCD所成角的正弦值；（Ⅲ）在侧棱PC上存在一点M，使得二面角CBDM的大小为60，求CPCM的值.【变式2-1】在四棱锥PABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，ABCD为直角梯形，BCAD90ADC112BCCDADPAPDEF,ADPC,45PE63PFEDCABABCDABCDBE平面EBFAEBABFA21DFECBAPBAFAFD平面EDCFECBCFEDCBFAPABCDABCDPAABCD底面226BCABPAMN,PC（Ⅰ）求证：//ANMBD平面；（Ⅱ）求异面直线AN与PD所成角的余弦值；（Ⅲ）求二面角MBDC的余弦值.三、求距离例、如图,在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB=90°，CB=1,CA=3,AA1=6,M为侧棱CC1上一点,1AMBA．（1）求证:AM平面1ABC；（2）求二面角B－AM－C的大小；（3）求点C到平面ABM的距离．【变式3-1】如图1，在RtABC中，90C，36BCAC，．D、E分别是ACAB、上的点，且//DEBC，将ADE沿DE折起到1ADE的位置，使1ADCD，如图2．（Ⅰ）求证：BC平面1ADC；（Ⅱ）若2CD，求BE与平面1ABC所成角的正弦值；（Ⅲ）当D点在何处时，1AB的长度最小，并求出最小值．ABCA1B1C1MPABCDMNABCDEA1BCDE【强化训练】&【课后作业】（注：本专题根据学生的程度及上课接受情况适当选择部分进行上课练习，部分做为课后作业。）（13，西城一模）在如图所示的几何体中，面CDEF为正方形，面ABCD为等腰梯形，ABCDBCAB260ABCACFBACFBCBCEACEDQEACQBCABCDPABCD60ABCPABPABABCD(Ⅰ)设AB的中点为Q，求证：PQ平面ABCD；（Ⅱ）求斜线PD与平面ABCD所成角的正弦值；（Ⅲ）在侧棱PC上存在一点M，使得二面角CBDM的大小为60，求CPCM的值.（13，朝阳一模）如图，在四棱锥PABCD中，平面PAC平面ABCD，且PAAC，2PAAD．四边形ABCD满足BCAD，ABAD，1ABBC．点,EF分别为侧棱,PBPC上的点，且PEPFPBPC．（Ⅰ）求证：EF平面PAD；（Ⅱ）当12时，求异面直线BF与CD所成角的余弦值；（Ⅲ）是否存在实数，使得平面AFD平面PCD若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由．（13，东城一模）已知几何体A—BCED的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角PQABCDMPDABCFE侧视图正视图1444三角形，正视图为直角梯形．（Ⅰ）求此几何体的体积V的大小;（Ⅱ）求异面直线DE与AB所成角的余弦值；（Ⅲ）试探究在棱DE上是否存在点Q，使得AQBQ，若存在，求出DQ的长，不存在说明理由.（13，房山一模）在四棱锥PABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，ABCD为直角梯形，BCAD90ADC112BCCDADPAPDEF,ADPC,45PE//ADBC12ADBC60ABC90ABCDACABC//CNADDACNCPABCDPAABCDABCACBDMAC4PAAB120CDANPB2PNBDPC//MNPDCAPCBMEMN（13，海淀期末）如图，在直三棱柱111ABCABC中，90BAC，12,ABACAAE是BC中点.（I）求证：1//AB平面1AEC；（II）若棱1AA上存在一点M，满足11BMCE，求AM的长；（Ⅲ）求平面1AEC与平面11ABBA所成锐二面角的余弦值.（13，西城期末）如图，四棱锥ABCDP中，底面ABCD为正方形，PDPA，PA平面PDC，DFECBAPACDBNDCMDCBAPNNCDABMEEC1B1A1CBAE为棱PD的中点．（Ⅰ）求证：PB//平面EAC；（Ⅱ）求证：平面PAD平面ABCD；（Ⅲ）求二面角BACE的余弦值．