逆高斯分布及其应用

1逆高斯分布及其应用王莲花指导教师:康殿统（河西学院数学与应用数学专业2007届1班38号,甘肃张掖734000）摘要研究了IGD分布的若干特征性质,获得了IGD分布的几个封闭性.利用随机序研究了IGD分布对参数的依赖性用.关键词逆高斯分布；矩估计;特征函数;偏度;峰度;极大似然函数;可靠性函数；随机序;封闭性中图分类号0212.2文献标识码:A1引言IGD分布在概率论、可靠性、参数的随机序、风险理论中有广泛的应用.本文对IGD分布类的性质做探讨.下面给出几个基本概念定义1.1设连续型随机变量X的概率密度为252()exp()22fxxxx0t其中(0)为常数则称服从参数为的逆高斯分布，记为(,)XIG定义1.2设随机变量X的概率为110()()00xxexfxx则称服从参数为,的的分布，记作(,)X其中0是尺度参数，0为形状参数定义1.3设随机变量X的概率密度为22102()2()200xnnxexnfxx则X称服从n个自由度的2()n分布，记作2()Xn定义1.4设随机变量X的3()EX和4()EX存在则称323()(())EXVarX为偏2度,432()3(())EXVarX为峰度2IG分布的基本性质2.1IG的基本性质2.1.1数学期望、方差1IG的数学期望2250()exp()22ExxxdxxxIG的方差为由于()Ex，523222220()exp()2xExxxdxx所以233222()()()DxExEx2.12矩母函数、特征函数(,)IG的矩母函数为2250()exp()22txtxxMtEeexdxxx22501exp()22txexdxxx12222exp11()2tt(,)IG的特征函数为2520()()exp()22itxitxtEeexdxxx225501exp()22itxiteexdxxx1/221exp((1))it2.13参数的极大似然估计设(,)XIG，,为未知参数，1,,nXX是来自X的一个样本值3由X的概率密度为252()exp()22fxxxx似然函数为2521(,)exp()22niLxxx252()exp()222xnnxx252ln(,)ln[()]222nnLxxx252252ln(,)ln[()]222ln(,)ln[()]222nnLxxxnnLxxx525232221ln..()0222ln.2()(2)()022nxnLxxnnLxxt11()iiXXX2.14偏度,峰度由于3E(X-)32520()exp()22xxdxxx43442520E(X-)()exp()22xxdxxx532153所以3132()r(())EXVarX342923.32.2有关(,)IG的几个定理4定理2.1设1,,nXX是来自逆高斯总体(,)IG的一组..iid(独立同分布)则有样本(,)XIGn证:设1niiZX定理2.2设1,,nXX是来自逆高斯总体(,)IG的一组..iid(独立同分布)则21111()niiVXX,XV与独立定理2.3设1,,nXX是来自逆高斯总体(,)IG的一组..iid(独立同分布)则11XVn1及是与的一致最小方差无偏3IG在可靠性中的应用定义3.1设F是一个寿命分布,有有限的均值.若01steFtdts则称F属于L类.若不等号反向,则称F属于L类定理3.1设连续型随机变量X的概率密度为252()exp()22fxxxx0t其中(0)为常数,则1(,)2(,)(,)IGLIGLIGL当时，当时，且定理3.2非负随机变量X服从参数0,0的IG分布，(,)XIG则X可靠度函数为2()()(1)(1)xxRxPXxexx证:()1()RxFXx21(1)(1)xxexx2(1)(1)xxexx5定理3.3非负随机变量X服从参数0,0的IG分布，(,)XIG则2252()exp022Rxexxx证:()1()RxFXx2(1)(1)xxexx=2252exp22exx定理3.4非负随机变量X服从参数0,0的IG分布，(,)XIG则22331311211120711()1()(7)()22234xorrxrrxrrxx证：212212()()()()1()()()()()XXXXeXXRxdxRXXeX223313112111207111()(7)()22234orrxrrxrrxx其中11XXX，21XXX定理3.5若iXIG，1,2,in，且iX间相互独立；记22iiir,1niiXX则X的剩余寿命分布渐进与参数r为的指数分布，其中12,3min(,,)rrrr4IG关于参数的随机序定理4.1设1,,nXX与1,,nYY分别是来自X与Y分别有函数F与G.若iciXY,1,2,in,则()()iciXY,1,2,in证:设iciXY,1,2,in,则由c定义知有iciXY1()GFx凸而iciXY1()iiGFx凸,又Bartoszewicz已证得11()()iiGFxGFx.6所以()()iciXY,1,2,in定理4.2若X,Y,1(,)YIG2(,)YIG,12,则1,2iciFYi4IG分布的封闭性定理4.1设X,Y,1(,)YIG,2(,)YIG则()ZXYIG致谢衷心感谢康殿统老师的悉心指导！参考文献[1]王梓坤.随机过程论[M].北京:科学出版社,1965.113-119.寿命分布类与可靠性数学理论[M].北京:科学出版社,1999.[2]Belzunce,F.Hu,T,Khaledi,B.E.Dispersion-TypeVariabilityOrders[J].ProbabilityintheEngineeringandInformationalScience,2003,17:305-334.[3]Manoukian,E.ModernConceptsandTheoremsofMathematicalStatistcs[M].NewYork.SpringerVela,1985.[4]Johnson,N,Katz,S,BALKrishnan,N.ContinuousUnivariateDistribution,Vol.l,secondedition[M].NewYork:JohnWiley&Sons,1994[5]何宗福,程侃.特殊关联系统下寿命的封闭[M].应用数学学报,1998,11:429-432.[6]Barlow,R.E.andProsChan,F.StatisticalTheoryofReliabilityandLifeTesting.SilverSpring,MD,1981.[7]Bartoszewicz,J.Applicationsofageneralcompositiontheoremtothestarorderofdistributions.Statist.1998,Prob.Lett.38:1-9.[8]康殿统,李泽彗.广义变换的若干性质.上海大学学报,2005,(2),13-16.[9]Muller,A,Stoyan,D.ComparisonMethodsforStochasticModerlsandRisks[M].JohnWiley&Sons,Ltd,WestSussex,2002.[10]Shaked,M.Shanthikhmer,J.G.StochasticOrdersandTheirApplications[M],Academic1994,AcademicPress,NewYork,1994.IGDDistributionAndItsApplicationsWangLian-Hua(DepartmentofMathematicsHexiUniversityZhangyeGansu73400)Abstract:SomecharacterizationpropertiesoftheIGDdistributionareinvestigated.Severalclosureclosurepropertiesareobtained.BymeansofstochasticorderingswesureythedependenceonparametersoftheIDGdistributionaswell.KeyWord:IGDdistribution;monmetestimator;characteristicfunction;Reliabilityfunction;stochasticordering;closurepropertiesCLC:0212.2Articlecode:A