数字电子技术ch3-1

1河北工程大学信电学院数字电子技术2019/8/41第三章组合逻辑电路3.1逻辑代数3.2逻辑函数的卡诺图化简法3.3组合逻辑电路的分析3.5组合逻辑电路中的竞争冒险3.4组合逻辑电路的设计2河北工程大学信电学院数字电子技术2019/8/42逻辑代数与初等代数的比较初等代数逻辑代数变量A、X取值∞…0、1、…+∞0、1数值符号0、1、…………、90、1数值表示数值，有大小，例如：1＞0两个对立的逻辑状态，例如：1表示有，0表示无基本运算加、减、乘、除与、或、非3河北工程大学信电学院数字电子技术2019/8/433.1.1逻辑代数的基本定律和恒等式加运算:0+0=0，0+1=1，1+0=1，1+1=1乘运算:0•0=00•1=01•0=01•1=1非运算:0,,1,00AAAAAAAA1,,11,0AAAAAAAA1001AA3.1逻辑代数分析数字电路或数字系统的数学工具，用二值函数进行逻辑描述和运算-----简单1、基本定律4河北工程大学信电学院数字电子技术2019/8/442、交换律3、结合律4、分配律A+B=B+AA•B=B•AA+(B+C)=(A+B)+C=(A+C)+BA•(B•C)=(A•B)•CA(B+C)=A•B+A•CA+B•C=(A+B)(A+C)求证:右边=(A+B)(A+C)=AA+AB+AC+BC;分配律=A+A(B+C)+BC;分配律,A=AA=A(1+B+C)+BC;分配律=A•1+BC;1+B+C=1=A+BC;A•1=1普通代数不适用!5河北工程大学信电学院数字电子技术2019/8/455、吸收律(1)A+AB=A证明：A+AB=A(1+B)=A•1=A利用吸收律可以对逻辑式进行化简。例如：CDAB)FE(DABCDAB被吸收吸收是指吸收多余（冗余）项，多余（冗余）因子被取消、去掉被消化了。A(A+B)=A证明：A(A+B)=AA+AB=A+AB;AA=A=A;A+AB=A(2)6河北工程大学信电学院数字电子技术2019/8/46(3)BABAA证明：BAABABAABA)AA(BA例如：DEBCADEBCAA(A+B)(A+C)=A+BC(4)证明：(A+B)(A+C)=AA+AC+BA+BC=A+AC+BA+BC;AA=A=A+BA+BC;A+AB=A=A+BC;A+AB=A7河北工程大学信电学院数字电子技术2019/8/47(5)CAABBCCAAB证明：BC)AA(CAABBCCAABCAABBCAABCCAAB证明：CAABBCCAABBCDBCCAABBCDCAAB1吸收(6)CAABBCDCAAB8河北工程大学信电学院数字电子技术2019/8/486、反演律BABABABAABAB0001111010110110010111110000BAABBA可以用列真值表的方法证明：德•摩根(De•Morgan)定理：反演定律具有特殊重要的意义，它经常用于求一个函数的非函数或者对逻辑函数进行变换。9河北工程大学信电学院数字电子技术2019/8/49将Y式中“.”换成“+”,“+”换成“.”“0”换成“1”,“1”换成“0”原变量换成反变量，反变量换成原变量3.1.2逻辑代数的基本规则1.代入规则：等式中某一变量都代之以一个逻辑函数，则等式仍然成立。例如，已知BABA(用函数A+C代替A)则BCABCABCA)(2.反演规则：不属于单个变量上的反号应保留不变运算顺序：括号乘加注意:Y10河北工程大学信电学院数字电子技术2019/8/410例如：已知)(1CDCBAY)()(1DCCBAYCDCBAY2CDCBAY)(2反演规则的应用：求逻辑函数的反函数则将Y式中“.”换成“+”,“+”换成“.”“0”换成“1”,“1”换成“0”原变量换成反变量，反变量换成原变量已知则变换时，原函数运算的先后顺序不变不属于单个变量上的反号应保留不变Y11河北工程大学信电学院数字电子技术2019/8/4113.对偶规则：如果两个表达式相等，则它们的对偶式也一定相等。将Y中“.”换成“+”,“+”换成“.”“0”换成“1”,“1”换成“0”)()(1DCBCAY)(1CDCBAYCDCBAY2CDCBAY)(2例如对偶规则的应用：证明等式成立0·0=01+1=10AAAA1)(对偶式Y注意：对偶规则同反演规则的区别：变量不变换12河北工程大学信电学院数字电子技术2019/8/4123.1.3逻辑函数的代数变换与化简法1．逻辑函数的变换一个特定逻辑问题，对应的真值表是唯一的，代数表达式和电路却是多样的。例：同或门电路。BAABBAABBAABABBABAL)(ABL＆＆≥1＆ABABBABAABL11＆＆＆13河北工程大学信电学院数字电子技术2019/8/413最简或与式最简与或非式2、逻辑函数的化简BCCAABY最简与或式CAAB最简与非-与非式最简或与非式CBCABA)()(CABACABA最简或非-或非式))((CABA核心①乘积项（与项）的个数最少；②变量的个数最少。14河北工程大学信电学院数字电子技术2019/8/414①并项法:1AACBACABCBAABCY)()(CBCBACBBCAA)(CBACBA[例]（与或式最简与或式）公式定理（3）关于逻辑函数的代数化简法15河北工程大学信电学院数字电子技术2019/8/415②吸收法：AABABCDCBABCAAY)()()()(DCBABCABCABCA[例]③消去法：BABAACBCAABYCBAAB)(CABABCAB[例]④配项法：A＝A（B+B）=AB+AB16河北工程大学信电学院数字电子技术2019/8/416利用逻辑代数的基本公式例1：反变量吸收提出AB=1提出A最简与或式乘积项的项数最少。每个乘积项中变量个数最少。ABAC)BC(A)BCB(AABCBA)CC(ABCBAABCCABCBAF17河北工程大学信电学院数字电子技术2019/8/417例2：CBBCBAABF)(CBBCBAAB）（反演CBAABCCCBAAB)()(配项CBBCAABCCBACBAAB被吸收被吸收CBBBCAAB)(CBCAAB18河北工程大学信电学院数字电子技术2019/8/418例3:证明BABBAABABABAYBABBAA右边BABBAA)BA(B)BA(ABBABBAAA0ABBA0ABBA左边AA;;展开BABA;BABA;19河北工程大学信电学院数字电子技术2019/8/419异或门可以用4个与非门实现：&&&&ABYBABBAABABABAY20河北工程大学信电学院数字电子技术2019/8/4201.逻辑代数与普通代数的公式易混淆，化简过程要求对所有公式熟练掌握；2.代数法化简无一套完善的方法可循，它依赖于人的经验和灵活性；3.用这种化简方法技巧强，较难掌握。特别是对代数化简后得到的逻辑表达式是否是最简式判断有一定困难。卡诺图法可以比较简便地得到最简的逻辑表达式。代数法化简在使用中遇到的困难：21河北工程大学信电学院数字电子技术2019/8/4211、最小项的定义3-2逻辑函数的卡诺图化简法3.2.1最小项的定义及其性质n个变量X1，X2，…，Xn的最小项是n个变量的乘积，每个变量都以其原变量或非变量的形式在乘积项中出现，且仅出现一次。1）是n个变量的乘积（“与”形式）2）最小项中包含所有变量3）每个变量在最小项中出现，且只出现一次。22河北工程大学信电学院数字电子技术2019/8/422包括所有变量的乘积项，每个变量均以原变量或反变量的形式出现一次。)(A,BFY(2变量共有4个最小项)BABABAAB)(A,B,C,DFY(4变量共有16个最小项)(n变量共有2n个最小项)DCBADCBA…DABC…ABCDDCBA)(A,B,CFY(3变量共有8个最小项)CBACBACBABCACBACBACABABC23河北工程大学信电学院数字电子技术2019/8/4233变量全部最小项的真值表ABC0000010100111001011101111000000001000000001000000001000000001000000001000000001000000001CBACBACBABCACBACBACABABC2、最小项的性质①任意一个最小项，只有一组变量取值使其值为1。③对变量的任一组值，全部最小项的和必为1。②对变量的任一组值，任意两个不同的最小项的乘积必为0。24河北工程大学信电学院数字电子技术2019/8/4243、最小项的编号把与最小项对应的变量取值当成二进制数，与之相应的十进制数，就是该最小项的编号。对应规律：原变量1反变量0CBACBACBABCACBACBACABABC00000101001110010111011101234567m0m1m2m3m4m5m6m7最小项的表示：通常用mi表示最小项，m表示最小项,下标i为最小项编号。25河北工程大学信电学院数字电子技术2019/8/425任何一个逻辑函数都可以表示成唯一的一组最小项之和，称为标准与或表达式，也称为最小项表达式)()())((,,,,mmmmmmABCBCACBACBACBABCAABCCBACBACBABCABCAACCBBABCAY73210732103.2.2逻辑函数的最小项表达式26河北工程大学信电学院数字电子技术2019/8/426如果列出了函数的真值表，则只要将函数值为1的那些最小项相加，便是函数的最小项表达式。ABCY最小项00000101001110010111011101110100m0m1m2m3m4m5m6m7m1＝ABCm5＝ABCm3＝ABCm2＝ABC1235(1,2,3,5)YmmmmmABCABCABCABC27河北工程大学信电学院数字电子技术2019/8/4273.2.3用卡诺图表示逻辑函数1、卡诺图的引出卡诺图：将n变量的全部最小项都用小方块表示，并使具有逻辑相邻的最小项在几何位置上也相邻地排列起来，所得到的图形叫n变量的卡诺图。逻辑相邻：如果两个最小项只有一个变量互为反变量，那么，就称这两个最小项在逻辑上相邻。如最小项m6=ABC、与m7=ABC在逻辑上相邻m7m628河北工程大学信电学院数字电子技术2019/8/428ABCCBACBACBACBAF逻辑相邻CBCBACBA逻辑相邻的项可以合并，消去一个因子29河北工程大学信电学院数字电子技术2019/8/429①一变量卡诺图：（设变量为D）②二变量卡诺图：（设变量为C、D）DDDm0m1DD下面举例说明卡诺图的画法。卡诺图的每一个方块（最小项）代表一种输入组合，并且把对应的输入组合注明在阵列图的上方和左方。CDCDCDCDDCDC10m0m1m3m2101030河北工程大学信电学院数字电子技术2019/8/430③三变量卡诺图：（设变量为B、C、D）④四变量卡诺图：（设变量为A、B、C、D）BCDBCDBCDBCDBCDBCDBCDBCDBCDm6m7m5m4m2m3m1m0CDBABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDm10m11m9m8m14m15m13m12m6m7m5