上海市2020届高三数学试题分类汇编：立体几何(含解析)

高三上期末考试数学试题分类汇编立体几何一、填空、选择题1、（宝山区2019届高三）将函数21yx的图像绕着y轴旋转一周所得的几何容器的容积是．2、（崇明区2019届高三）设一个圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则此圆锥的体积等于3、（虹口区2019届高三）关于三个不同平面、、与直线l，下来命题中的假命题是（）A.若，则内一定存在直线平行于B.若与不垂直，则内一定不存在直线垂直于C.若，，l，则lD.若，则内所有直线垂直于4、（金山区2019届高三）在120的二面角内放置一个半径为6的小球，它与二面角的两个半平面相切于A、B两点，则这两个点在球面上的距离是5、（浦东新区2019届高三）已知圆锥的体积为33，母线与底面所成角为3，则该圆锥的表面积为6、（浦东新区2019届高三）下列命题正确的是（）A.如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行B.如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行C.如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行D.如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行7、（普陀区2019届高三）如图，正四棱柱1111ABCDABCD的底面边长为4，记1111ACBDF，11BCBCE，若AEBF，则此棱柱的体积为8、（青浦区2019届高三）已知直角三角形△ABC中，90A，3AB，4AC，则△ABC绕直线AC旋转一周所得几何体的体积为9、（徐汇区2019届高三）魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”.刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为:4.若正方体的棱长为2，则“牟合方盖”的体积为（）（A）16（B）163（C）163（D）128310、（杨浦区2019届高三）若圆锥的母线长5()lcm，高4()hcm，则这个圆锥的体积等于3()cm11、（长宁区2019届高三）若圆锥的侧面面积为2，底面面积为，则该圆锥的体积为12、（闵行区2019届高三）如图，在过正方体1111ABCDABCD的任意两个顶点的所有直线中，与直线1AC异面的直线的条数为13、（闵行区2019届高三）已知a、b为两条不同的直线，、为两个不同的平面，a，a∥b，则下列结论不可能成立的是（）A.b，且b∥B.b，且b∥C.b∥，且b∥D.b与、都相交14、（青浦区2019届高三）对于两条不同的直线m、n和两个不同的平面、，以下结论正确的是（）A.若m，n∥，m、n是异面直线，则、相交B.若m，m，n∥，则n∥C.m，n∥，m、n共面于，则m∥nD.若m，n，、不平行，则m、n为异面直线参考答案一、填空、选择题1、322、333、D4、25、36、D7、3228、12π9、C10、1211、3312、1213、D14、C二、解答题1、（宝山区2019届高三）如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，正方形ABCD的边长为2，4PA，设E为侧棱PC的中点．（1）求正四棱锥EABCD的体积V；（2）求直线BE与平面PCD所成角的大小．2、（崇明区2019届高三）如图，设长方体1111ABCDABCD中，2ABBC，直线1AC与平面ABCD所成的角为4.（1）求三棱锥1AABD的体积；（2）求异面直线1AB与1BC所成角的大小.3、（奉贤区2019届高三）如图，三棱柱111ABCABC中，1AA底面ABC，ABAC，D是BC的中点.（1）求证：BC平面11AAD；（2）若90BAC，4BC，三棱柱111ABCABC的体积是83，求异面直线1AD与1AB所成角的大小.4、（虹口区2019届高三）在如图所示的圆锥中，底面直径与母线长均为4，点C是底面直径AB所对弧的中点，点D是母线PA的中点.（1）求该圆锥的侧面积与体积；（2）求异面直线AB与CD所成角的大小.5、（金山区2019届高三）如图，三棱锥PABC中，PA底面ABC，M是BC的中点，若底面ABC是边长为2的正三角形，且PB与底面ABC所成的角为3.求：（1）三棱锥PABC的体积；（2）异面直线PM与AC所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）6、（浦东新区2019届高三）已知直三棱柱111ABCABC中，11ABACAA，90BAC.（1）求异面直线1AB与11BC所成角；（2）求点1B到平面1ABC的距离.7、（普陀区2019届高三）如图所示，某地出土的一种“钉”是由四条线段组成，其结构能使它任意抛至水平面后，总有一端所在的直线竖直向上，并记组成该“钉”的四条线段的公共点为O，钉尖为iA（1,2,3,4i）.（1）记iOAa（0a），当1A、2A、3A在同一水平面内时，求1OA与平面123AAA所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（2）若该“钉”的三个钉尖所确定的三角形的面积为232cm，要用某种线型材料复制100枚这种“钉”（耗损忽略不计），共需要该种材料多少米？8、（青浦区2019届高三）已知正四棱柱1111ABCDABCD的底面边长为3，15AD.（1）求该正四棱柱的侧面积与体积；（2）若E为线段1AD的中点，求BE与平面ABCD所成角的大小.9、（徐汇区2019届高三）如图，已知正方体''''ABCDABCD的棱长为1.（1）正方体''''ABCDABCD中哪些棱所在的直线与直线'AB是异面直线？（2）若,MN分别是','ABBC的中点，求异面直线MN与BC所成角的大小.10、（杨浦区2019届高三）如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，1PAAB，2AD，点F是PB的中心，点E在边BC上移动.（1）求三棱锥EPAD的体积；（2）证明：无论点E在边BC的何处，都有AF⊥PE.11、（长宁区2019届高三）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与地面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑，首届中国国际进口博览会的某展馆棚顶一角的钢结构可以抽象为空间图形阳马，如图所示，在阳马PABCD中，PD底面ABCD.（1）已知4ADCDm，斜梁PB与底面ABCD所成角为15，求立柱PD的长；（精确到0.01m）（2）求证：四面体PDBC为鳖臑.参考答案二、解答题1、解：（1）因为正方形ABCD的边长为2，所以4ABCDS，…………2分11633PABCDABCDVSPA，…………………………………4分因为E为侧棱PC的中点，所以1823PABCDVV.…………………………………………………6分（2）建立空间直角坐标系，(0,0,0)A，如图所示：(2,0,0)B，(0,0,4),(2,2,0),(1,1,2)PCE，……8分1,1,2,2,2,4,2,0,0,BEPCDC……………9分设平面PCD的一条法向量为(,,)nabc02240020PCnabcCDna，令1c，则(0,2,1)n，……………………………………………………11分故230sin15BEnBEn，……………………………………………13分所以，直线BE与平面PCD所成角大小230arcsin15.……………………14分17.2、解：（1）联结AC，因为1AAABCD平面，所以1ACA就是直线1AC与平面ABCD所成的角，……………………………………2分所以14ACA，所以122AA……………………………………4分所以11114233ABDABDABDAAVVSAA……………………………………7分（2）联结1AD，BD因为11//ABCD，所以11//ADBC所以1BAD就是异面直线1AB与1BC所成的角或其补角………………………3分在1BAD中，2221(23)(23)(22)2cos322323BAD所以12arccos3BAD……………………………………6分所以异面直线1AB与1BC所成角的大小是2arccos3……………………………………7分3、4、5、6、解：（1）在直三棱柱ABCCBA111中，ABAA1，ACAA1,9011BAC,AAACAB所以，211BCCABA．…………………………2分因为，11CB//BC，所以，BCA1为异面直线BA1与11CB所成的角或补角．……4分在BCA1中，因为，211BCCABA，所以，异面直线BA1与11CB所成角为3．…………………………7分（2）设点1B到平面BCA1的距离为h，由（1）得23322211sinSBCA，…………………………9分21112111BBAS，…………………………11分因为，BBACBCABVV1111，…………………………12分所以，CAShSBBABCA1113131，解得，33h．所以，点1B到平面BCA1的距离为33．…………………………14分或者用空间向量：（1）设异面直线BA1与11CB所成角为，如图建系，则1011,,BA，01111,,CB，…………4分因为，321221111111CBBACBBAcos所以，异面直线BA1与11CB所成角为3．…………7分（2）设平面BCA1的法向量为w,v,un，则BAn,BCn1．又011,,BC，1011,,BA，……………9分所以，由00001wuvuBAnBCn，得111,,n．…………12分所以，点1B到平面BCA1的距离331nnBBd．…………………………14分7、8、解：（1）在正四棱柱1111ABCDABCD中，∵1AA平面ABCD，AD平面ABCD，∴1AAAD，故12594AA，∴正四棱柱的侧面积为(43)448，体积为2(3)436．（2）建立如图的空间直角坐标系Oxyz，由题意可得(0,0,0)D,(3,3,0)B,1(3,0,4)A,(0,0,0)D,3(,0,2)2E,1(0,0,4)AA，3(,3,2)2BE，设1AA与BE所成角为，直线BE与平面ABCD所成角为，则118461cos61||||6144AABEAABE，又1AA是平面ABCD的一个法向量，故461sincos61，461arcsin61．所以直线BE与平面ABCD所成的角为461arcsin61．9、解：(1)由异面直线的定义可知，棱,,',','',''ADDCCCDDDCBC所在的直线与直线'AB是异面直线……………….6分(2)连结',''BCAC，因为,MN分别是','ABBC的中点，所以MN∥''AC，又因为BC∥''BC，所以异面直线MN与BC所成角为'''ACB(或其补角)，…….9分由于'''','''90ABBCABC于是'''45ACB，………………13分所以异面直线MN与BC所成角的大小为45.………….14分NMDBC'A'B'D'AC10、解：（1）1133PADEADEVPAS……6分（2）只需证明AFPBC面因为PAABCD面，故PABC，又BCAB，故BCAB面P，所以BCAF；……10分PAB中，PAAB，点F是PB的中点，故AFPB……12分所以，AFPBC面，故无论点E在边BC的何处，都有AFPE.……14分11、（1）解：因为侧棱PD底面ABCD，则侧棱PB在底面ABCD上的射影是DB，所以PBD就是侧棱PB与底面ABCD所成的角，即15PBD．……2分在PDB中，)(24