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数字通信老师指定75道习题答案leiqunlong译由于时间仓促，错误之处在所难免12.9根据柯西分布有当x很大时，所以有(b)当当0v，因此有：2.10(a)(b)(c)因为n→∞,不是高斯分布，因此中心极限定理不适用，原因是柯西分布没有有限的差异。2.11假定是实值随机过程。复值过程的处理也类似。(a)(b)当x(t),y(t)不相关时，同理因此(3)当x(t),y(t)不相关并且零均值时：0v数字通信老师指定75道习题答案leiqunlong译由于时间仓促，错误之处在所难免22.12随机过程x(t)的功率谱密度为：滤波器输出功率谱密度为：因此滤波器输出总功率为：2.14令因此2.16滤波器的传递函数为:(a)(b)令a=RC,v=2πf.那么2.19因为输出序列的自相关：这里的最后等式来自于X(n)的自相关函数：因此离散时间系统的频率响应为：数字通信老师指定75道习题答案leiqunlong译由于时间仓促，错误之处在所难免3综上，系统输出的功率密度谱为：2.20已知功率密度谱为：2.21本题中引用下标d表示离散过程，下标a表示连续时间过程，同样，f表示模拟频率。fd表示离散频率。(a)因此取样信号的自相关函数等于X(t)的取样自相关函数。(b)令fd=fT，则有：数字通信老师指定75道习题答案leiqunlong译由于时间仓促，错误之处在所难免4又因为离散时间的自相关函数是它的功率谱密度的反变换，于是有：比较(1),(2):得(c)从(3)式可以得出：否则出现混叠。2.22(a)(b)如果那么：K=0其他因此序列X(n)是白噪声序列，T的最小值可以从下图的取样过程的功率谱密度得到为了得到一个谱平坦序列，最大的抽样速率应满足：可由得到。(c)因此2211sinw()()()w，2.23假设那么：这里Y(f)是y(t)的傅里叶变换，因为：数字通信老师指定75道习题答案leiqunlong译由于时间仓促，错误之处在所难免5又有：当f=0时：2.24由于G=1，有对低通滤波器，可得到：将H(f)代入可得下式3.4要证而利用不等式当且仅当可得因为3.6通过定义，差熵为：对均匀分布随机变量(a)a=1,H(X)=0(b)a=4,H(X)=log4=2log2数字通信老师指定75道习题答案leiqunlong译由于时间仓促，错误之处在所难免6(c)a=1/4,H(X)=log14=-2log23.7(a)(b)每信源字符的平均二进制个数为：(c)信源熵为：通过比较，信源熵要少于每个码字的平均长度。3.9(a)(b)3.11(a)P(x)可以通过求得。因此类似地可证明数字通信老师指定75道习题答案leiqunlong译由于时间仓促，错误之处在所难免7(b)利用不等式ln1ww和()()(,)pxpywpxy，可以得到将不等式两边乘以P(x,y)并对x，y求和，即可得故有当=1时取等号。(c)从(b)联立两个关系式可得：当x，y独立取等号。3.13对于平稳过程和中n是独立的，因此就有3.18在给定的1x下，32,xx的条件互信息可定义为：()()(,)pxpypxy数字通信老师指定75道习题答案leiqunlong译由于时间仓促，错误之处在所难免8又因为有：3.19假设a0，已知Y=aX+b是线性变换，有令那么同理，当a0时，有：3.20线性变换因为{yi}和{xi}有相同的概率分布，即有因此DMS的熵通过线性变换是不产生影响的。3.21(a)霍夫曼码的设计如下，平均比特率：(b)一次编码两个电平符号，霍夫曼码的设计如下：数字通信老师指定75道习题答案leiqunlong译由于时间仓促，错误之处在所难免9每电平对的二进制平均比特数为：一个电平的平均比特数为：(c)因为3.25采用Lempel-Ziv编码方法分解题中序列，可以得到一下码段：0,00,1,001,000,0001,10,00010,0000,0010,00000,101,00001,000000,11,01,0000000,110,...码段数是18，对每一码段需要5位加一个附加位来表征一个新的信源输出。数字通信老师指定75道习题答案leiqunlong译由于时间仓促，错误之处在所难免103.27因为可得下图描述了R(D)在取0，1，2，3时的值，从图中可看出，增加，失真率也在增加。3.30(a)由于X,G是相互独立，因此有p(x,g)=p(x)p(g),p(x|g)=p(x).数字通信老师指定75道习题答案leiqunlong译由于时间仓促，错误之处在所难免11(b)因为X,G是相互独立，所以Y也是独立，由于Y=X+G，有所以：这里，利用了从H(Y),H(Y|X)，3.31数字通信老师指定75道习题答案leiqunlong译由于时间仓促，错误之处在所难免123.363.38一阶预测器系数a11对预测数据的预测误差的正交性可使得均方误差减小：最小均方误差为：(b)对二阶预测器，根据Levinson-Durbin算法最小均方误差为：3.39如果12,xx用相同的间隔长度分别量化，所需要的电平数为:比特数：利用2矢量量化，有2715xabL，27loglog15xXabRL，比特差：数字通信老师指定75道习题答案leiqunlong译由于时间仓促，错误之处在所难免133.41X,Y的联合概率密度函数为：边缘分布P(x)：当20x，当02x，()xpx的图如下:根据对称性：(b)总的失真为每对(x,y)所要的比特数为：(c)采用矢量量化，失真度D数字通信老师指定75道习题答案leiqunlong译由于时间仓促，错误之处在所难免144.2这里h(t)=1t,它的傅里叶反变换：而4.3(a)然而，因此有：(b),从(a)的结果有4.5从傅里叶变换特性知道，如果x(t)是实值的，那么它的傅里叶变换满足，因此()lst为实值的条件是：*()()llsfsf。对于带通信号()st，有*()()ccsffsff。而*()()llsfsf，满足此条件的()lst说明是实值低通信号，等效的带通信号正频部分在中心频率cf附近应该具有埃尔米特对称性，但一般来讲，带通信号不满足这个特性，因此，对应的低通信号是复值信号。4.6利用估计理论中基于均方误差准则的结论，当误差正交于级数展开式的每一个函数时，获得e的最小值，因此:数字通信老师指定75道习题答案leiqunlong译由于时间仓促，错误之处在所难免15因为函数{()}nft是正交的，(1)式只存在k=n的部分即可简化为：也即有相应的残余误差e为：4.9信号波形()mst的能量为：相关系数：4.10(a)波形()nft是正交的，只要证明数字通信老师指定75道习题答案leiqunlong译由于时间仓促，错误之处在所难免16因此()nft是正交的。(b)先确定加权系数由上看到，从信号波形()nft，n=1，2，3来看，()xt是正交的，因此它不能表示为这些函数的线性组合。4.11(a)作为正交基函数集，考虑集合：用矩阵表示4个波形为：因此波形的维数是4.(b)波形由向量表示为：(c)第1，2向量之间的距离为：同理：数字通信老师指定75道习题答案leiqunlong译由于时间仓促，错误之处在所难免17因此，任意两个向量之间的最小距离为4.13()xt的功率谱密度从2.14题有：Y(t)的功率谱密度如图：4.14(a)因为每个序列信号速率是1/2T，g(t)的间隔为2T，在2nTt2nT+T，(b)功率谱密度：这里：数字通信老师指定75道习题答案leiqunlong译由于时间仓促，错误之处在所难免18又因为exp()exp()sin2jxjxxj，很容易得到(c)上述功率谱密度与MSK是相同的，因此MSK可以产生交错四相PSK信号，其中g(t)是半个周期的正弦脉冲。4.16对于u(t)是广义平稳，必须有[()](,)()uuuuEuttt常数，的条件。4.17第一个基函数为：第二个基函数：所以：3E表示3()gt的能量，第三个基函数：所以有第四个基函数数字通信老师指定75道习题答案leiqunlong译由于时间仓促，错误之处在所难免194.20()ut的自相关函数：令,,(,)anTdada，那么：4.21(a)因为1nnnBII，所以有：每个符号概率(2)(2)1/4nnPBPB，信号空间为：(b)序列{}nI包含的独立符号为：数字通信老师指定75道习题答案leiqunlong译由于时间仓促，错误之处在所难免20所以(c)转移矩阵为：相应的马尔可夫链：4.22(a)序列{}na与随机变量不相关，所以有：(b)而：因此有：数字通信老师指定75道习题答案leiqunlong译由于时间仓促，错误之处在所难免21(c)如果{}na取0，1并且等概，那么E(an)=1/2，1/4,0()[1()]/41/2,0nmnmEaamm则有：4.24k=2，121/2pp为了简化计算，定义/2/2TtT，有：当0if时，的乘积项可以忽略。那么就有：类似地，对2()lST(用m代替n)，如果n(m)是偶数，1(2)()0lST，对于所有的l，除了()/2lnm，在这种情况下：对于12()()SfSf和的乘积项可以忽略，因为没有频谱重叠，因此：和MSK信号比较，这个信号在频谱上有冲击脉冲。4.26QPRS信号：数字通信老师指定75道习题答案leiqunlong译由于时间仓促，错误之处在所难免22(a)同4.20题，序列nB可以取P(Bn=2)=P(Bn=−2)=1/4,P(Bn=0)=1/2对序列nC，因为两个序列是独立的，有P{Bn=i,Cn=j}=P{Bn=1}P{Cn=j}信号空间：(b)如果令Zn=Bn+jCn，因为序列Bn,Cn是独立的，具有相同的统计特性，有：2()2cosBBffT，有(c)马儿可夫链及转移概率：数字通信老师指定75道习题答案leiqunlong译由于时间仓促，错误之处在所难免234.28相位树图：从相位树图模2得状态网格图：数字通信老师指定75道习题答案leiqunlong译由于时间仓促，错误之处在所难免24状态图：4.31脉冲Ck(t)定义为：脉冲Ck(t)的持续时间数字通信老师指定75道习题答案leiqunlong译由于时间仓促，错误之处在所难免25只需用找到ˆn使得S=L(2−ak,n)−n,易知ˆn=L-1，如果所有的,kna，n=0,1,L-1是0，------------------------------------------------------------------------------------------------------------------4.33如果，则。因此可以充足的消除线性频谱。假想，，例如，，那么就有，s(t)是单脉冲。然而，如果对所有的n，S(n/T)=0，线性频谱消失。一个单脉冲就满足这个条件，如下图：在此种情况下，所有对所有n，S(n/T)=0，所以条件是不必要的。4.34有，(b)对非独立的序列，功率谱密度S(t),21()()()ssbbfGffT然而数字通信老师指定75道习题答案leiqunlong译由于时间仓促，错误之处在所难免26因此：需要结果的功率谱：(c)引入零点的条件在f=l/4T，l=±1,±2,...得到212cos/20kkl，不是所有的l都满足，通过预编码可以避免这个情况，设bn=an+kan−4。类似于(b),k=-1，在1/4T的倍数处出现频谱的零点。4.36FSK的功率谱密度可以通过等式(4-4-60)且K=2，p0=p1=1/2得到，因此在这个条件下，载波01,的相位是确定的，可以得到：这里01(),()SfSf是01(),()stst的傅里叶变换，特定情况下：同理：，数字通信老师指定75道习题答案leiqunlong