高等代数【北大版】(1)

§2标准正交基§3同构§4正交变换§1定义与基本性质§6对称矩阵的标准形§8酉空间介绍§7向量到子空间的距离─最小二乘法小结与习题第九章欧氏空间§5子空间§9.5子空间一、正交子空间§9.5子空间二、子空间的正交补§9.5子空间一、欧氏空间中的正交子空间1．定义：1)与是欧氏空间V中的两个子空间，如果对1V2V(,)0,则称子空间与为正交的，记作2V1V12.VV(,)0,则称向量与子空间正交，记作1.V1V12,,VV恒有2)对给定向量如果对恒有,V1,V§9.5子空间注：①当且仅当中每个向量都与正交．12VV1V2V②1212{0}.VVVV③当且时，必有1V1V0.12(,)00.VV§9.5子空间证明：设子空间两两正交，12,,,sVVV2．两两正交的子空间的和必是直和．12,sVVV要证明中零向量分解式唯一．12sVVV只须证：设120,,1,2,,siiVis,ijVVij12(,0)(,)(,)0iisii由内积的正定性，可知0,1,2,,.iis§9.5子空间二、子空间的正交补1．定义：如果欧氏空间V的子空间满足并且12,VV12,VV则称为的正交补.2V1V12,VVV2．维欧氏空间V的每个子空间都有唯一正交补.1Vn证明：当时，V就是的唯一正交补．1{0}V1V当时，也是有限维欧氏空间.1V1{0}V12,,,,m取的一组正交基1V§9.5子空间由定理1，它可扩充成V的一组正交基121,,,,,,,mmn记子空间12,,.mnLV12.VVV显然,又对11221,mmxxxV112,mmnnxxV1111(,)(,)(,)0mnmniijjijijijmijmxxxx12.VV即为的正交补.2V1V§9.5子空间再证唯一性.设是的正交补，则23,VV1V1213VVVVV131,,1131(,)(,)由此可得10,23.VV对由上式知2,V13VV131133,,VV即有又1213,VVVV011(,)1131(,)(,)从而有3V即有同理可证32,VV23.VV唯一性得证.§9.5子空间②维欧氏空间V的子空间W满足:n①子空间W的正交补记为即.Wi)()WWii)dimdimdimWWVniii)WWV注：ⅳ)W的正交补必是W的余子空间.W但一般地，子空间W的余子空间未必是其正交补.WVW§9.5子空间称为在子空间W上的内射影.13．内射影,VWW设W是欧氏空间V的子空间，由对有唯一的使12,,WW,V12