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第1页，共9页八上三角形和勾股定理压轴题训练一、解答题1.如图所示,一根长2a的木棍,斜靠在与地面垂直的墙上,设木(𝐴𝐵)(𝑂𝑀)(𝑂𝑁)棍的中点为若木棍A端沿墙下滑,且B端沿地面向右滑行．𝑃.请判断木棍滑动的过程中,点P到点O的距离是否变化,并简述理由．(1)在木棍滑动的过程中,当滑动到什么位置时,的面积最大？简述理由,并求出面(2)△𝐴𝑂𝐵积的最大值．2.以点A为顶点作等腰,等腰,其中,如图1𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶𝑅𝑡△𝐴𝐷𝐸所示放置,使得一直角边重合,连接BD、CE．试判断BD、CE的数量关系,并说明理由；(1)延长BD交CE于点F,试求的度数；(2)∠𝐵𝐹𝐶把两个等腰直角三角形按如图2放置,中的结论是否仍成立？请说明理由．(3)(1)第2页，共9页3.在中,,,D是AB的中点,点E是边AC上的一动点,点F△𝐴𝐵𝐶𝐴𝐶=𝐵𝐶是边BC上的一动点．若,试证明；(1)𝐴𝐸=𝐶𝐹𝐷𝐸=𝐷𝐹在点E、点F的运动过程中,若,试判断DE与DF是否一定相等？并加(2)𝐷𝐸⊥𝐷𝐹以说明．在的条件下,若,四边形ECFD的面积是一个定值吗？若不是,请说明理(3)(2)𝐴𝐶=2由,若是,请直接写出它的面积．4.已知ABC中,,,有一个圆心角为,半径的长等于CA的扇形CEF𝑅𝑡△ 绕点C旋转,且直线CE,CF分别与直线AB交于点M,N．Ⅰ当扇形CEF绕点C在的内部旋转时,如图,求证：()∠𝐴𝐶𝐵①；𝑀𝑁2=𝐴𝑀2+𝐵𝑁2第3页，共9页思路点拨：考虑符合勾股定理的形式,需转化为在直角三角形中𝑀𝑁2=𝐴𝑀2+𝐵𝑁2解决可将沿直线CE对折,得,连DN,只需证,就可以.△𝐴𝐶𝑀△𝐷𝐶𝑀 了．请你完成证明过程：Ⅱ当扇形CEF绕点C旋转至图的位置时,关系式是否仍然()②𝑀𝑁2=𝐴𝑀2+𝐵𝑁2成立？若成立,请证明；若不成立,请说明理由．5.基本图形：在中,,D为BC边上一点不与点B,C重合,将线段𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶𝐴𝐵=𝐴𝐶()AD绕点A逆时针旋转得到AE．探索：连接EC,如图,试探索线段BC,CD,CE之间满足的等量关系,并证明结(1)①论；连接DE,如图,试探索线段DE,BD,CD之间满足的等量关系,并证明结论；(2)②联想：如图,在四边形ABCD中,若,(3)③𝐵𝐷=3第4页，共9页,则AD的长为______．𝐶𝐷=16.已知等边三角形ABC和点P,设点P到的三边AB,AC,BC的距离为,,,△𝐴𝐵𝐶ℎ1ℎ2ℎ3的高AM为h．△𝐴𝐵𝐶当点P在的一边BC上如图所示,此时,可得结论①△𝐴𝐵𝐶.(1)ℎ3=0______填“”或“”或“”ℎ1+ℎ2+ℎ3ℎ.(=)当点P在内部时,如图所示；上述结论是否成立,若成立,请给予证明；②△𝐴𝐵𝐶(2)当P在外部时,如图所示,,,与h之间的关系如何,请写出你猜想③△𝐴𝐵𝐶(3)ℎ1ℎ2ℎ3的结论,不需要证明．第5页，共9页7.已知在中,,,D为BC的中点．△𝐴𝐵𝐶𝐴𝐵=𝐴𝐶如图1所示,若E,F分别是AB,AC上的点,且求证：为等腰直角(1)𝐵𝐸=𝐴𝐹.△𝐷𝐸𝐹三角形．若E,F分别为AB,CA延长线上的点,仍有,如图2所示,其他条件不变,那(2)𝐵𝐸=𝐴𝐹么是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论．△𝐷𝐸𝐹8.探究学习：已知：C是线段AB所在平面内任意一点,分别以AC、BC为边在AB同侧作等腰直角三角形ACD和等腰直角三角形BCE,,连接AE、BD．如图1,当点C在线段AB上移动时,线段AE与BD的数量关系是______,位置关(1)系是______．如图2,当点C在直线AB外,等腰直角三角形ECB绕点C逆时针旋转至图2位(2)置,中的结论是否仍然成立？若成立,请证明；若不成立,请说明理由．(1)如图3,在基础上等腰直角三角形BCE绕顶点C逆时针旋转到图3位置,取等(3)(1)腰直角三角形ACD的斜边AD的中点M,连接CM交BE于点G,试探究BG、GH、HE的数量关系,并写出证明思路．第6页，共9页9.在中,、、所对的边分别用a、b、c表示．△𝐴𝐵𝐶∠𝐴∠𝐵∠𝐶如图,在中,,且度求证：．(1)△𝐴𝐵𝐶∠𝐴=2∠𝐵∠𝐴=60.𝑎2=𝑏(𝑏+𝑐)如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的2倍,我们称这样的三角形为“倍(2)角三角形”第一问中的三角形是一个特殊的倍角三角形,那么对于任意的倍角三角.形ABC,其中,关系式是否仍然成立？并证明你的结论．∠𝐴=2∠𝐵𝑎2=𝑏(𝑏+𝑐)试求出一个倍角三角形的三条边的长,使这三条边长恰为三个连续的正整数．(3)10.已知和均为等腰直角三角形,连接AD,BC,点△𝐴𝑂𝐵△𝐶𝑂𝐷H为BC中点,连接OH．如图所示,求证：且；(1)①𝑂𝐻=12𝐴𝐷𝑂𝐻⊥𝐴𝐷第7页，共9页将绕点0旋转到图,图所示位置时,线段OH与AD又有怎样的关系(2)△𝐶𝑂𝐷②③并选择一个图形证明你的结论．⋅11.如图一,,BD、CD分别平分和问：答题时,注意书写整洁𝐴𝐵=𝐴𝐶∠𝐴𝐵𝐶∠𝐴𝐶𝐵.()图一中有几个等腰三角形？写出来,不需要证明(1)()过D点作,交AB于E,交AC于F,如图二,图中现在增加了几个等腰三角(2)𝐸𝐹∥𝐵𝐶形,选一个进行证明．如图三,若将题中的改为不等边三角形,其他条件不变,图中有几个等腰三(3)△𝐴𝐵𝐶角形？写出来,不需要证明线段EF与BE、CF有什么关系,并证明．()第8页，共9页12.如图,和是两个大小不等的等边三角形,且有一个公共顶点C,连接AF△𝐴𝐵𝐶△𝐶𝐸𝐹和BE．线段AF和BE有怎样的大小关系？请证明你的结论．(1)将图a中的绕点C旋转一定的角度,得到图b,中的结论还成立吗？作(2)△𝐶𝐸𝐹(1)出判断并说明理由．若将图a中的绕点C旋转一定的角度,请你画出一个变换后的图形草图(3)△𝐴𝐵𝐶(即可,中的结论还成立吗？作出判断不必说明理由)(1)()根据以上证明、说理、画图,归纳你的发现．(4)13.如图,在和中,,,△𝐴𝐵𝐶△𝐴𝐷𝐸𝐴𝐵=𝐴𝐶𝐴𝐷=𝐴𝐸,且点B,A,D在同一条直线上,M,N分∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐷𝐴𝐸别为BE,CD的中点．求证：≌ACD；(1)△𝐴𝐵𝐸判断的形状,并说明理由．(2)△𝐴𝑀𝑁第9页，共9页14.如图,已知直线,的直角顶点C在直𝑙1∥𝑙2∥𝑙3𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶线上,点B在直线上,点A在直线上,与AC交于𝑙1𝑙2𝑙3𝑙2点D,且,．求证：是等腰三角形；(1)△𝐴𝐵𝐷求的度数．(2)∠𝐵𝐶𝐹15.如图,在中,,,点P是BC上的一动点,,△𝐴𝐵𝐶𝐴𝐵=𝐴𝐶𝐴𝑃=𝐴𝑄,连接CQ．求证：；(1)𝐶𝑄⊥𝐵𝐶能否成直角三角形？若能,请直接写出此时P点的位置；若不能,请说明(2)△𝐴𝐶𝑄理由；当点P在BC上什么位置时,是等腰三角形？并请说明理由．(3)△𝐴𝐶𝑄