(完整版)矩阵的运算应用实例

矩阵运算应用示例一10.020.015.010.015.010.0BA商店商店梨橘子苹果7假设我们已知下列涉及不同商店水果的价格，不同人员需要水果的数量以及不同城镇不同人员的数目的矩阵：梨橘子苹果BA人员人员5351045100050020001000BA人员人员21城镇城镇第一个矩阵为A，第二个矩阵为B，而第三个矩阵为C。（a）求出一个矩阵，它能给出在每个商店每个人购买水果的费用是多少？（b）求出一个矩阵，它能确定在每个城镇每种水果的购买量是多少？10.205.365.130.210.020.015.010.015.010.05351045D11000550025000125001400070005351045100020005001000E（a）设该矩阵为D，则：D=BA，即：（b）设该矩阵为E，则：E=CB，即：：所求矩阵D和E能分别给出在每个商店购买水果的费用和每个城镇每种水果的购买量。这是一个矩阵的具体应用问题。其实很显然在没有矩阵的知识前，我们也可以解出这一简单的问题。此题的一般提法是：现有两个城镇（城镇1和城镇2）；城镇1中有人员A（1000）和人员B（500人），城镇2中有人员A（2000）和人员B（1000）；人员A需苹果、橘子和梨分别5、10和3，而人员B需苹果、橘子和梨分别4、5和5；现不妨假设每个城镇中都有两个商店（商店A和商店B），每个商店内的苹果、橘子和梨的价格均不相同。商店A中苹果、橘子和梨的价格分别为每斤0.10、0.15和0.10，而商店B中苹果、橘子和梨的价格分别为0.15、0.20、0.10。现问:（a）每个商店每个人购买水果的费用是多少？（b）每个城镇每种水果的购买量是多少？（a）商店A：人员A购买水果的费用为：人员B购买水果的费用为：商店B:人员A购买水果的费用为：人员B购买水果的费用为：30.210.0315.01010.0565.110.0515.0510.0405.310.0320.01015.0510.210.0520.0515.04此时如果用矩阵表示的话，有：显然答案与用矩阵算出来的是一致的；同理对于（b）也是一样的。然而，不难看出利用矩阵求解此问题要简单明了的多。就此问题而言，数据即简单且较少，如果是更为复杂的问题，如：假设这里的城镇有10个，商店有50个的话。显然用一般解法是很繁琐的，而用矩阵求解仍是只需要一个算式即可。BA人员人员BA商店商店10.265.105.330.2矩阵运算应用示例二问题描述设下列距阵A是在3家不同商店购买3种不同糖果的价格（以美分计）：糖果A糖果B糖果C问题a:若糖果的价格加倍，糖果的价格距阵是什么？问题b:若糖果价格上涨50%，每块糖果的税为5美分，那么糖果的价格距阵是什么？354030203025202010第三商店第二商店第一商店A本题的问题只是一个简单的距阵运算，利用Matlab软件既可以容易的解决。利用以下问题假设的内容，既可以方便的解决。现在我们设糖果的初始价格距阵为：问题A：设糖果价格加倍以后的价格距阵为B,则B=2*A。问题B：设糖果价格上涨50%，而交纳每块糖果5美分的税后的价格距阵为C，则C=A+0.5*A-5*E;其中E为各个元素值为1的3阶距阵。354030203025202010A利用Matlab软件可以得到以下的数据：A=[10,20,20;25,30,20;30,40,35]A=102020253020304035B=2*AB=204040506040608070E=[1,1,1;1,1,1;1,1,1]E=111111111C=A+0.5*A-5*EC=10.000025.000025.000032.500040.000025.000040.000055.000047.5000则满足问题A的价格距阵为：糖果A糖果B糖果C则满足问题B的价格距阵为：糖果A糖果B糖果C708060406050404020第三商店第二商店第一商店B5.470.550.400.250.405.320.250.250.10第三商店第二商店第一商店C矩阵运算应用示例三问题描述：设我们要为一次聚会准备餐饮，需要10个大型三明治（巨无霸）、6夸脱（每夸脱约1.14升——译注）果汁饮料、3夸脱土豆沙拉及2盘开胃菜。以下数据给出3家不同供货商提供这些商品的单价：供货商A供货商B供货商C巨无霸$4.00$6.00$5.00果汁饮料$2.00$1.00$0.85土豆沙拉$0.65$0.85$1.00开胃菜$6.00$5.00$7.00（a）用矩阵——向量乘积把确定每供应商为聚会备餐的价格问题表述出来（注意在乘积中向量处于第一位还是第二位）。(b)确定每一个供货商的备餐价格。准备知识：矩阵与向量乘积：实际上为两个矩阵乘积只不过有一个矩阵为一n维向量。所以应用矩阵乘法原理可以很快得出结果。问题解答1：根据题意此向量为一四维行向量，具体表示为：10个6夸脱3夸脱2盘问题解答2：根据第一个问题的要求，我们可以知道该向量处于矩阵乘积的第一位，而第一题的具体矩阵形式表述为下：106324.006.005.002.001.000.850.650.851.006.005.007.00问题解答3：在MATLAB运算结果如下：C=A*BC=65.950078.550072.1000其中A为行向量，B为矩阵。因此，第二个问题的结果也就得到相应的解答：对于供货商A的备餐价格为$65.9500，对于供货商B的备餐价格为$78.5500，对于供货商C的备餐价格为$72.1000。小结：通过对矩阵向量乘积的学习使我认识到了它在应用生产的重要性，本题就是很好的例子。矩阵运算应用示例四问题内容假设我们已知下列矩阵：矩阵A给出3种作业中的每一种，为了进行输入/输出（I/O），执行程序及系统总开销所需的机时；矩阵B给出了在两种不同收费方式下，不同的计算机活动（每个单位时间）所需要的费用；矩阵C（实际上为一向量）给出每种类型的工作有多少；矩阵D给出每天使用每种收费方式的机时的比。机时AI/O执行系统作业A作业B作业C计时收费B方式Ⅰ方式ⅡI/0执行系统51010825410205435632C每种类型的作业数量D机时比作业A方式Ⅰ作业B方式Ⅱ作业C利用A，B，C和D，按照下列要求求出矩阵乘积，并计算这些矩阵的数字：3547.03.0(a)计算矩阵乘积AB。(b)对每种收费方式，求出每一种作业所需的总费用。(c)计算为完成所有作业的(所有作业已概括在矩阵C中)输入/输出，执行程序及系统开销所需的总机时。(d)在方式Ⅰ和方式Ⅱ下，求所有作业所需总开销。(e)计算输出/输入，执行程序和系统总开销所需每个单位机时的平均费用。问题求解：(a)AB==(b)根据矩阵A与B的乘积可知在方式Ⅰ下：作业A所需的总费用为160，作业B所需的总费用为182，作业C为95，在方式Ⅱ下作业A所需的总费用为155，作业B所需的总费用为167，作业C所需的总费用为100。1009516718215516051010825410205435632(c)所需的总机时为：(5+20+10)×4+(4+25+8)×5+(10+10+5)×5=400;(d)在方式Ⅰ下：×==E4625101082541020595182160把E转置后成为再与C作矩阵乘积：=则在方式Ⅰ下所需费用为1835；ET951821603541835同理在方式Ⅱ下所需费用为1765：=1001691553541765(e)=输出/输入，执行程序和系统总开销所需每个单位机时的平均费用分别为：2.7,5.3,3.7。4356327.03.07.33.57.2实验总结矩阵乘法是线性代数中最常见的运算之一，它在数值计算中有广泛的应用。矩阵及矩阵的乘法使现实生活中繁琐的方阵计算得到了简化。这道题就充分应用到矩阵的乘法。矩阵运算应用示例五问题描述：假设我们已知下列矩阵：矩阵A给出制造不同物品所需原材料的数量；矩阵B给出两个不同国家中，原材料的价格；矩阵C给出为了建造两种类型的住宅，需要多少物品；矩阵D给出这两个国家对两种住宅的需求。A原材料物品A物品B物品C52010425810105B木材劳力钢材木材劳力钢材价格西班牙意大利$2$3$6$5$3$4C住宅对物品的需求住宅一住宅二ABC483552D西班牙意大利住宅一住宅二5000020000080000500000(a)哪个矩阵乘积给出了为建造每中类型住宅需要各种物品的数量？（b）哪个矩阵乘积给出了在每个国家制造每种物品需要多少费用？（c）哪个矩阵乘积给出了在每个国家建造每种类型住宅需要多少费用？预备知识：两个矩阵乘积的定义：矩阵A与B的乘积C的第i行第j列的元素等于第一个矩阵A的第i行与第二个矩阵B的第j列的对应元素乘积的和。当然，在矩真乘积定义中，我要求第二个矩阵的行数与第一个矩阵的列数相等。问题分析一：问题所要求的是对于题目中所给出的四种矩阵，理解它们所代表的含义，并根据所提出的三个问题，将对应的矩阵组合起来，以乘积形式表述出来。由于各个矩阵代表的含义不同，所以局阵乘积所代表的含义也尽不相同。问题分析二：对于第一个问题是要求出为建造每种类型住宅需要各种物品的数量，由题意对于C矩阵的定义我们得知矩阵C正是题目所要求的答案。对于第二个问题是要求出在每个国家制造每种物品需要多少费用，由题目对矩阵A和矩阵B的定义。矩阵A的行向量代表制造一个物品所需要各种原材料的数目，而矩阵B的列向量问题分析二（续）：代表制造一个物品所需要各种原材料的价格。所以前者与后者的乘积正是制造一个物品所需要的费用。而相应的矩阵乘积即AB就代表了在每个国家制造每种物品需要多少费用。对于第三个问题要求出在每个国家建造每种类型住宅需要多少费用。因为矩阵C的定义是为了建造两种类型的住宅需要多少物品，而由前面已求出AB矩阵乘积所代表的意义问题分析二（续）：是在每个国家制造每种物品需要多少费用。所以用C的行向量去乘以AB乘积的列向量就是在每个国家建造每种类型住宅需要多少费用，所以第三个问题答案为CAB。问题求解：对于第一个问题的答案就是矩阵C本身即：住宅一住宅二ABC483552问题求解（续）：对于第二个问题的答案就是矩阵A与B的乘积即AB在MATLAB运算后得到的结果为：E=A*BE=16015518216995100问题求解（续）：E矩阵所代表的意义为：物品A$160$155$182$169$95$100西班牙意大利物品B物品C问题求解（续）：对于第三个问题的答案就是矩阵C与AB的乘积即：CAB在MATLAB运算后得到结果为：F=C*EF=2381227219001820问题求解（续）：F矩阵所代表的意义为：住宅一住宅二$2381$2272$1900$1820西班牙意大利小结：通过对矩阵乘积含义的了解，使我们明白了在应用生产中矩阵所扮演的重要角色。不同矩阵间的运算代表的含义也不尽不同。所以我们应更努力的学习本专业的知识以便更好的应用于生产实践之中，为社会做出贡献。