厚壁圆筒的弹塑性分析

外压厚壁圆筒的弹塑性分析姓名：黄达飞学号：SQ10018014012指导老师：林智育时间：2011-6-251一、问题描述内半径为a，外半径为b的厚壁圆筒，在外表面处作用有均匀压力p（如图1（a）），圆筒材料为理想弹塑性的（如图1（b））。随着压力p的增加，圆筒内的及r都不断增加，若圆筒处于平面应变状态下，其z也在增加。当应力分量的组合达到某一临界值时，该处材料进入塑性变形状态，并逐渐形成塑性区，随着压力的继续增加，塑性区不断扩大，弹性区相应减小，直至圆筒的截面全部进入塑性状态时即为圆筒的塑性极限状态。当圆筒达到塑性极限状态时，其外压达到最大值，即载荷不能继续增加，而圆筒的变形也处于无约束变形状态下，即变形是个不定值，或者说瞬时变形速度无穷大。为了使讨论的问题得以简化，本文中限定讨论轴对称平面应变问题，并设2/1。（a）（b）图1厚壁圆筒二、弹性分析1.基本方程平面轴对称问题中的未知量为r，，r，，u，它们应该满足基本方程及相应的边界条件，其中平衡方程为0rdrdrr（1）2几何方程为drdur，ru（2）本构方程为rrrEE11（3）边界条件为rrFs，在力的边界S上（4）2.应力的求解取应力分量r，为基本未知函数，利用平衡方程和以应力分量表示的协调方程联立求解，可以求得应力分量的表达式为221221rCCrCCr（5）如图1（a）所示内半径为a，外半径为b的厚壁圆筒，在外表面处受外压p，内表面没有压力，相应的边界条件为0arr，pbrr将以上边界条件代入式（5），则可以求得两个常数为2221abpbC，22222abpbaC则应力分量为222222222211raabpbraabpbr（6）上式和弹性常数无关，因而适用于两类平面问题。3三、弹塑性分析1.屈服条件在塑性理论中，常用的屈服条件是米泽斯（Mises）屈服条件，其表达式为：222222226szrzrzzrr（7）由于厚壁圆筒为轴对称平面应变问题，则有0zrzr，即r，，z均为主应力，且由0z以及2/1，可以得到rz21，代入Mises屈服条件其表达式为ssr155.132（8）2．弹塑性分析当压力p较小时，厚壁圆筒处于弹性状态，由式（6）可求出应力分量222222222211raabpbraabpbr（9）在ar处r有最大值，即筒体由内壁开始屈服，若此时的压力为ep，由式（8）和（9）可以求得弹性极限压力为2222155.1babpse（10）当epp时，圆筒处于弹性状态；当epp时，在圆筒内壁附近出现塑性区，并且随着压力的增大，塑性区逐渐向外扩展，而外壁附近仍然为弹性区。由于应力组合r的轴对称性，塑性区和弹性区的分界面为圆柱面。设筒体处于弹塑性状态下的压力为pp，弹塑性分界半径为pr，分别考虑两个变形区（图2），也可将两个区域按两个厚壁圆筒分别进行讨论，设弹性区和塑性区的相互作用力为q，即qprrr。4图2弹塑性分析为求弹性区的应力分量，将弹性区作为内半径为pr，外半径为b，承受外压pp，内压q的厚壁圆筒。由圆筒的弹性分析公式可以求得弹性区（brrp）的应力分量为222222222222222211pppppppppppprrbpbqrrrbqpbrrbpbqrrrbqpbr（11）为求解塑性区的应力分量，将弹性区作为内半径为a，外半径为pr，承受外压q的厚壁圆筒。应满足平衡方程和屈服条件，即0rdrdrrssr155.132由上面两式可得rCsrln155.1由于在r=pr处压力为q，即qprrr，代入可得psrqCln155.1，代入r5表达式，并利用屈服条件求得，即塑性区（prra）的应力分量为1ln155.1ln155.1rrqrrqpspsr（12）上式（11）和（12）中的pr和q是未知量，由径向应力边界条件确定他们之间的关系。在塑性区的r=a处压力为0，即0arr，代入式（12）的第一式可得arqpsln155.1（13）在弹性区的r=pr处刚达到屈服，由屈服条件ssr155.132可得2222155.1ln155.1brrbarpppspsp（14）上式给出了pprp~，当给定pp可以确定pr，或者给定pr后也可以确定pp。将式（13）、（14）确定的q代入式（11）、（12），则可以得到pr表示的弹性区（brrp）和塑性区（prra）的应力分量。222222222222222211pppppppppppprrbpbqrrrbqpbrrbpbqrrrbqpbr（15）1ln155.1ln155.1ln155.1ln155.1rrarrrarpspspspsr（16）随着压力的增加，塑性区不断扩大，当pr=b时，整个截面进入塑性状态，即圆筒达到塑性极限状态，此时的压力不能继续增加，该临界值称为塑性极限压力，以lp表示。将pr=b代入式（14），得6abpslln155.1（17）令式（16）中的pr=b，则得压力达到lp时的应力分量，此时整个截面进入塑性状态。1ln155.1ln155.1rarassr（18）取5a，15b，200s，10pr，则由式（10）、（13）、（14）、（17）可得7.102ep，160q，5.166pp，8.253lp（19）将式（19）代入式（9）、（15）、（16）、（18）中可以得到在ep、pp、lp作用下的应力分布如图3所示。（a）ep作用下的应力分布7（b）pp作用下的应力分布（c）lp作用下的应力分布图3应力分布8三种状态下均有0，0r，且r绝对值的最大值在筒体的外壁处，而的绝对值的最大值则随着外压的增加而由内壁移动到外壁。四、有限元分析由于厚壁圆筒具有中心对称性，且所受的载荷也具有中心对称性，所以其应力分布同样具有中心对称性；厚壁圆筒是平面应变状态。为了计算简便，可以将模型简化为1/4的平面圆环，并且加上适当的载荷边界条件和位移边界条件，其abaqus模型如图4所示。图4厚壁圆筒的abaqus模型定义材料的屈服极限为200s，划分成四节点四边形平面应变单元（如图5），定义不同大小的外压p提交计算。9图5厚壁圆筒的有限元网格当100p时，epp，圆筒处于弹性状态，计算结果如图6，可以看出整个模型处于弹性状态没有塑性应变。（a）Mises应力分布云图10（b）塑性应变分布云图图6弹性状态计算结果当150p时，leppp，圆筒处于弹塑性状态，计算结果如图7，可以看出模型外壁附近部分处于弹性状态没有塑性应变，而内壁附近部分处于塑性状态，有塑性应变。（a）Mises应力分布云图11(b)塑性应变分布云图图7弹塑性状态计算结果当260p时，lpp，圆筒处于塑性状态，计算结果如图8，可以看出模型整个截面都有塑性应变，整个模型处于塑性状态。12（a）Mises应力分布云图(b)塑性应变分布云图图8弹塑性状态计算结果以上三种压力状态下的有限元计算结果与理论的计算结果是一致的。