抽象代数习题

1.〈{1，2，3，4}，·5〉和〈{0，1，2，3}，+4〉是否同构？2.代数结构〈I，+〉与〈N，·〉是否同构？3.设X为集合，证明〈P（X），∩〉与〈P（X），∪〉是同构的。4.求出〈N6，+6〉的所有自同态。1.给定代数结构〈I，+，·〉，定义I上的二元关系R为：iRj当且仅当|i|=|j|,关于加法运算+，R是否具有代换性质？对于乘法运算·呢？2.设R是N3上的等价关系。若R关于+3具有代换性质，则R关于·3也一定具有代换性质。求出N3上的一个等价关系S，使其关于·3具有代换性质，但关于+3不具有代换性质。3.试确定I上的下述关系R是否为〈I，＋〉上的同余关系：a)xRy当且仅当(x＜0∧y＜0＝∨(x≥0∧y≥0)；b)xRy当且仅当|x·y|＜10；c)xRy当且仅当(x=0∧y=0)∨(x≠0∧y≠0)；d)xRy当且仅当x≥y。第二章2.在以下给出的N上的关系R中，哪些是么半群〈N，+〉上的同余关系？对于同余关系求出相应的商么半群。a)aRb当且仅当a－b是偶数。b)aRb当且仅当a＞b。c)aRb当且仅当存在r∈I使a=2r·b。d)aRb当且仅当10整除a－b。3.设〈S，*〉是半群，a∈S，在S上定义二元运算·如下：x·y=x*a*y，x，y∈S证明〈S，·〉也是半群。4.设〈M，*〉是么半群且＃M≥2。证明M中不存在有左逆元的左零元。5.设RaaTRbabaS|000,,|00，·为矩阵的乘法运算。证明：1)〈S，·〉为么半群；2)〈T，·〉为么半群；3)〈T，·〉是〈S，·〉的子半群，但〈T，·〉不是〈S，·〉的子么半群。9.试证明每个有限半群至少有一个幂等元素。定理2.2.5设〈G，*〉为群。若k∈I且a∈G的阶为n，则ak=e当且仅当n｜k。定理2.2.6设〈G，*〉为群且a∈G。若k∈I且a的阶为n，则ak的阶为n/（k，n）。推论设〈G，*〉为群。若a∈G，则a与a－1的阶相同。定理2.2.7设〈G，*〉为交换群且a，b∈G。若a的阶为m，b的阶为n且（m，n）=1，则ab的阶为mn。定理2.2.8有限群〈G，*〉的每个元素的阶为有限的，并且不超过＃G。习题2.22.设〈G，*〉是群，u∈G，定义G上的二元运算·如下：a·b=a*u－1*b，a，b∈G证明〈G，·〉也是群。3.设〈G，*〉为群，如果对任意a∈G均有a2=e，则〈G，*〉为交换群。4.设〈G，*〉为群，证明〈G，*〉是交换群，当且仅当对任意a，b∈G，均有(ab)2=a2b2。5.设〈G，*〉为群，且对任意a，b∈G均有(ab)3=a3b3且(ab)5=a5b5。证明〈G，*〉为交换群。5.设〈G，*〉是群，a，b∈G，a不是G的么元且a4b=ba5。证明ab≠ba。6.证明每个元素都可约的有限半群是群。7.证明有限多个群的积代数结构仍是群。10.设〈G，*〉是群，a，b，c∈G。证明1)a和b－1ab的阶相同；2)ab和ba的阶相同；3)abc，bca和cab的阶相同。11.有限群中阶大于2的元素个数必为偶数。12.证明〈Nn－{0}，·n〉是群，当且仅当n为素数。13.设d，m∈I+。证明d是m的因子当且仅当d是〈Nm，＋m〉中某元素的阶。14.求下列群中每个元素的阶：1)〈N5，＋5〉；2)〈N12，＋12〉；3)〈N7－{0}，·7〉；4)〈N13－{0}，·13〉。定理2.3.2若H为群G的非空子集，则H≤G，当且仅当对任意a,b∈H皆有a*b－1∈H。定理2.3.3若群G的非空有穷子集H关于G的二元运算封闭，则H≤G。定理2.3.5设f是群G1到G2的群同态，ei为Gi的幺元（i=1,2）。i）f(e1)=e2。ii）若a∈G1，则f(a－1)=(f(a))－1。iii）若H≤G1，则f[H]≤G2。iv）若f为群单同态且a∈G1，则a的阶与f(a)的阶相同。习题2.31.找出下列各群的所有子群。a)〈N12，+12〉；b)〈N5，+5〉；c)〈N7－{0}，·7〉；d)〈N11－{0}，·11〉。2.求下列各群上的自同态。1)〈N8，+8〉；2)〈N6，+6〉；3)〈N5－{0}，·5〉；4)〈N7－{0}，·7〉。3.设f是群〈G1，*〉到〈G2，·〉的群同态，a∈G1。a与f(a)的阶一定相同吗？证明你的断言。4.设H1和H2是群G的子群，证明H1∩H2也是G的子群。H1∪H2是G的子群吗？证明你的断言。5.设H是群G的非空子集，并且H中每个元素的阶都有限，则H为G的子群的充分必要条件是H关于G的乘法封闭。6.设f和g均为群G1到G2的群同态，令H={a∈G1|f(a)=g(a)}证明H是G1的子群。7.设G是群，H和K是G的子群。a)HK和KH必为G的子群吗？试证明或给出反例；b)HK是G的子群，当且仅当HK＝KH。8.设〈G，*〉是群，令C(G)={x∈G|若y∈G，则x*y=y*x}证明C(G)是G的子群。C(G)称为群G的中心。9.设H为群G的子群，a∈G，令aHa－1={aha－1|h∈H}证明aHa－1是G的子群。aHa－1称为H的共轭子群。10.设H为群G的子群，令N(H)={a∈G|aHa－1=H}证明N(H)是G的子群。N(H)称为H的正规化子。11.群G的自同构是从G到G的同构。证明G的所有自同构的集合关于函数的合成运算构成群。12.设G是有限群，H是G的子群，a∈G。证明存在最小正整数m使am∈H，且m是a的阶n的因子。13.设a是群G的阶为n的元素，H是G的子群。证明：如果am∈H且(m，n)=1，则a∈H。2.求下列置换：a)1342432112344321b)3136254654321c)(12345)(234)d)(362)(15)(42)e)1435612654321f)(124657)－23.将下列置换表示为无公共元素的循环的乘积：a)543216654321b)37516427654321c)6153724989876543214.除么元外，每个元素的阶都是2的四阶群称为克莱因（Klein）四元群。a)列出克莱因四元群的运算表；b)找出克莱因四元群的所有子群；c)找出与克莱因四元群同构的置换群。5.指出下列群是否为循环群？若是循环群，则给出其一个生成元：1)有理数加群〈Q，+〉；2)正有理数乘法群〈Q+，·〉；3)〈Gn，·〉，其中Gn={x|x∈C且xn=1}，n为正整数，·为复数的乘法。4)〈I，*〉，其中a*b=a+b－2，a，b∈I。6.设G为群，a，b∈G，a的阶为素数p且a(b)。证明(a)∩(b)={e}。8.设H=(am)，K=(an)是循环群G=(a)的两个子群，且d=[m，n]。证明H∩K＝(ad)。9.任一无限群必有无穷多个子群。10.证明循环群的子群必为循环群。11.证明无限循环群恰有两个生成元。12.无限循环群的子群除{e}外均为无限循环群。13.设存在代数结构〈G，·〉到〈G′，*〉的满同态，如果〈G，·〉是循环群，则〈G′，*〉也是循环群。14.设G是无限循环群，G′是任意循环群。证明存在G到G′的满同态。定理2.5.4（拉格朗日定理）如果H是有限群G的子群，则＃H整除＃G，并且＃G=＃H·［G∶H推论1有限群G的每个元素的阶整除G推论2例4若将同构的群视为一个群，则只存在两个4阶群，并且都是交换群。例5若H和K是群G的子群且K△G，则H∩K△H定理2.5.6设H△G，则G关于H的陪集关系R是G定理2.5.7设H为群〈G，·〉的不变子群，则〈G，·〉关于H的陪集关系的商代数结构〈G/H，⊙〉是群，并称为G关于H的商群。其中对任意a·H，b·H∈G/H，(a·H)⊙(b·H)=(a·b)·H。定理2.5.8设R是群〈G，·〉上的同余关系，则［e］R△G，并且R是G关于［e］R的陪定义2.5.3设f是群G1到G2的群同态，集合{g∈G1｜f(g)=2Ge}称为f的同态核，记为Kerf，其中2Ge为G2的幺元。定理2.5.9设f：G1→G2i)Kerf△G１ii)f是内射当且仅当Kerf={1Ge}定理2.5.10（群第一同构定理）设f是群〈G1，·〉到〈G2，*〉的群同态，则商群〈G1/Kerf，⊙〉同构于〈f［G１］，*这只是定理1.5.2定理2.5.12若H，K是群G的有限子群，则｜HK｜=｜H｜·｜K｜/｜H∩K｜。定理2.5.13设G为群。若K≤G且H△G，则i)H∩K△K；ii)H△〈H∪K〉；iii)HK=〈H∪K〉；iv)如果K△G且H∩K={e}，则对任意h∈H，k∈K，均有hk=kh。定理2.5.14（群第二同构定理）设G为群且K≤G。若H△G，则K/H∩KHK/H。定理2.5.15（群第三同构定理）设G为群，H△G且K△G。若K≤H，则H/K△G/K且(G/K)/(H/K)G/H。习题2.51.设n∈I+，p为素数，证明pn阶群必有p阶子群。2.证明6阶群恰有一个3阶子群。3.设G为群，C(G)为G的中心，证明C(G)△G。4.H△G且K△G，证明1)H∩K△G；2)HK△G。5.证明指数为2的子群必为不变子群。6.求〈N24，+24〉的6阶子群H及N24关于H的商群。7.设K△H，H△G，问K是否必为G的不变子群？证明或举出反例。7.设p，q是两个不同的素数，G为pq阶交换群。证明G是循环群。9.证明存在从m阶循环群G1到n阶循环群G2的满同态，当且仅当n|m。10.设H是循环群G的子群，证明G/H也是循环群。11.设H为群G的不变子群，且＃H=2。证明HC(G)。12.设H是群G的阶为n的子群，且G只有一个阶为n的子群。证明H是G的不变子群。13.设H是群G的子群，如果H的任意两个左陪集的乘积仍是一个左陪集，则H是G的不变子群。14.设H，K是群G的有限子群，且＃H与＃K互素。证明H∩K＝{e}。15.设p和q为素数，pq，且G为pq阶的群。证明G的q阶子群必为不变子群。16.设H是群G的子群且HC(G)，则H是G的不变子群。并且若G/H是循环群，则G是交换群。17.设H是群G的子群，N(H)为H的正规化子。证明：H△G当且仅当G=N(H)。20.证明阶数为p2的群必为交换群，其中p为素数。21.设G是交换群，H={x∈G|x的阶是有限的}。证明1)H是G的子群；2)在商群G/H中，除幺元H外不含阶为有限的元素。22.设H，K是群G的不变子群，且G/H和G/K均是交换群，则G/(H∩K)必为交换群。23.设H△G，证明G/H是交换群的充分必要条件为：对任意g1，g2∈G有Hggg12-1121g。24.设G是n阶交换群且p是素数。若p|n，则G中存在阶为p的元素。25.设G是群，对于任意a∈G，定义a(x)=axa－1，x∈G则a是G的自同构映射，称之为G的内自同构。G的内自同构的全体构成G的自同构群的不变子群。26.设f是群G到G′的群同态映射，K=Kerf。证明：对任意a∈G，f－1(f(a))=aK。27.证明除零同态之外，不存在〈Q，+〉到〈I，+〉的群同态映射。28.设f是群G到G′的满同态映射，A是G的子群。试证：如果A的阶与G′的阶互素，则A包含在Kerf中。29.设群G只含有限多个子群，f是G到其自身的满同态。证明f是G的自同构。30.设H是群G的不变子群，且[G:H]=m，则对任意x∈G，必有xm∈H。31.证明在同构的意义下只有两个6阶群，一个是循环群，一个是S3。32.证明：在同构的意义下只有两个不同的10阶群。定理3.1.2若〈R，+，·〉是环，则下列条件等价：定理3.1.3有限整环都是域。定理3.1.5体仅有零理想和单位理想。定理3.1.9设D是环〈R，+，·〉的理想。若在R/D上定义二元运算与⊙如下：（D+r1）（D+r2）=D+（r1+r2）r1，r2∈R（D+r1）⊙（D