第四章-畸变

第四章箱形梁的畸变前面假定箱梁在扭转时截面周边保持不变形，扭转就如刚体转动，根据截面几何性质和边界条件又可分为自由扭转和约束扭转。这在箱壁较厚或横隔板较密时，这个假设是接近实际情况，在设计中就不必考虑扭转变形（既畸变）所引起的赢利状态。但高强度混凝土在桥跨结构中的应用以及预应力技术的普及与发展，使得薄壁箱梁结构得到推广。由于设计和施工技术上的要求，希望在桥跨上部箱梁间少设或不设横隔梁，因此，截面就不满足周边不变形的假设，则在反对称荷载作用下，截面不但扭转而且要发生畸变，从而产生畸变翘曲正应力和剪应力，箱壁上也将引起横向弯曲正应力。dddt一、畸变微分方程的建立1.畸变荷载的分解垂直偏载水平偏载任何偏心荷载可分解为对称和反对称荷载支点侧倾（三条腿）Pe表示几个车轮的合力，作用在横桥方向的偏心距为，则可分解为（b）、（c），为作用在肋上的集中荷载，（c）式又通过局部分析分解为下图：0]22[]22[hhbPbPhhbPbPbPvvbPvvvvP2vPePbvP＝＋bheP()a()b()c纵向弯曲一般扭转vPvP2vPbh2vPbh2vPbh2vPbh2vP2vP2vP2vP刚性扭转h畸变＋b局部分析畸变荷载是由水平分力和垂直分力组成，是一组自相平衡的力系，由于各力作用在不同的部件上而导致畸变变形，因而由畸变变形产生的内力也是自相平衡的。2.畸变变形0huhvv横向：组成箱梁各板元产生了箱梁截面内的位移hv、畸变横向挠曲箱梁横向框架刚度纵向：由于横向挠曲而产生了相应的与梁轴线平行(垂直截面)的翘曲位移畸变翘曲箱梁翘曲刚度假定：1.组成箱梁的各板沿自身平面挠曲满足平截面假设，可用初等梁理论计算；2.箱壁很薄可不考虑应力沿壁厚方向的变化，既认为翘曲正应力和剪应力沿壁厚均匀分布。如选择箱梁截面畸变角做为变形参数，由力学中三大关系（物理关系、几何关系、平衡关系），得到畸变微分方程（推导略）：)404(ˆ)4(bVEIIEdR:ˆIE箱梁畸变翘曲刚度:REI箱梁框架刚度:b箱梁底板宽:dV畸变荷载计算公式见表4-292P将上式写成：bVEIIEdzddR)ˆ(22引进：IEBDˆ畸变双力矩畸变产生的翘曲变形和约束扭转产生的翘曲变形是一样的，由此：畸变产生的翘曲正应力，由约束扭转翘曲率求正应力公式（3-30）类比得：IBDdˆˆABDCIBw为畸变翘曲率，表示畸变翘曲时，截面纵向位移参数，A、B两点最大用、表示,计算公式见表4-2，代入得式（4-42）和式（4-43）。畸变产生的翘曲剪应力，由约束扭转翘曲率求剪应力公式（3-37）类比得：ˆ、Bˆ92PAˆ)1(ttISMW单宽ISQDDdˆIEdzdBQDDˆ畸变力（剪力）ABDCISQDDdˆˆˆˆdSSSDdFSˆˆ横向弯曲力矩为：)1(2)1(2mRmBCmRADEImEIm则：（W为箱壁板的截面模量）WmmBCADdt）或(:m框架参数，见表4-2现在关键是未知参数畸变角的求解，有了畸变角即可求出畸变双力矩，进而求出畸变应力。DB二、用弹性地基梁比拟法求畸变微分方程箱梁在畸变荷载的作用下，由式（4-40）可得畸变微分方程：dV44)4(ˆ4)444(ˆ4IEEIIEbVRd2vdPVhbPHvd2dVdH这与受竖向荷载的弹性地基梁的微分方程有相似形式，弹性地基梁的弹性微分方程为：44)4(4)454(4EIkEIqyyss)(xq)(xqxx其中：:k地基系数:EI梁的竖向抗弯刚度:q竖向荷载存在所列相似关系，求箱梁畸变问题转化为求弹性地基梁问题弹性地基梁箱形梁微分方程相似的物理量弹性地基梁抗弯惯矩（）弹性地基梁抗弯刚度（）弹性地基梁地基弹性系数（）弹性地基梁的分布荷载（）弹性地基梁的挠度（）弹性地基梁的弯矩箱形梁抗畸变翘曲惯矩（）箱形梁抗畸变翘曲刚度（）箱形梁抗畸变框架惯矩（）箱形梁抗畸变框架刚度（）箱形梁上分布的畸变垂直分力的力偶（）箱形梁的畸变角（弧度）箱形梁的畸变双力矩bVEIIEdR)4(ˆqkyEIy)4()(mkNyEIM)(ˆ2mkNIEBDIEIkqyM4m2mkN2mkNmkNmIˆIEˆRIREIbVdDB6m4mkN2mkNmmkN)(xqxy弹性地基梁解当梁发生挠曲而弹性地基梁也同时发生沉陷时，我们假设梁上各点的反力与弹性地基梁在该点的沉陷成正比，即文克尔假设，相当于梁底下作用有无限密集的弹簧，其地基系数相当弹簧刚度，作用在梁的单位长度内的地基反力为，则根据梁的挠曲微分方程：kykyxqdxydEI)(44为四阶的线性常系数微分方程可写成：)454(44)4(EIqyys其通解为：)()sincos()sincos(4321akqxCxCexCxCeyssxssxssxyPxy2P设有一集中荷载作用在一无限长梁上，荷载的作用点可作为坐标的原点，由于对称性，只需研究荷载右边这段梁：)()sincos()sincos(4321akqxCxCexCxCeyssxssxss当时，可认为在离P无限远的点上，挠度及曲率为零，只有在（a）式中的系数和等于零时，于是右边这段梁的挠度曲线方程变成：x1C和2C)()sincos(43bxCxCeyssxs剩下的两个积分常数和，可由的原点条件求得，挠度曲线在这一点应有一水平切线（对称性），既：3C4C，可由0x00xdxdy0)cossinsincos(04343xssssxxCxCxCxCes代入（b）得到：43CC于是（b）式变成：)()sin(cos3cxxeCyssxs此式的各阶导数：xeCdxdysxsssin23)cos(sin23222xxeCdxydssxssxeCdxydsxsscos43333因在原点的剪力，所以：2PQ2)(033PdxydEIx得：EIPCs338xy2P代入（c）式：xePdxydEIxQxxePdxydEIxMxeEIPdxdyxxeEIPysxssxsxssxssssscos2)()]sin(cos[4)(]sin[4)]sin(cos[8332223根据相似关系对比)444(ˆ44)4(IEbVd)454(44)4(EIqyyssDdRMBbVqIEEIyEIkˆ则无限长梁（）时，当跨中截面作用单位畸变荷载（），利用上式（）得：4L1PEIkEIsR44xeQxxeBxxeEIxDxDxRcos21)]sin(cos[41)]sin(cos[2bVdx根据内力与变形的互等定理知，该曲线就是荷载作用点截面（如跨中截面）的畸变角和畸变双力矩影响线（力作用跨中在整个梁引起的等于力作用其他作用点时引起跨中）DB、DB、DB对有限长梁（）时，利用边界条件，重新确定畸变微分方程通解的四个积分常数，其结果书中以表的形式给出，根据所求截面位置坐标参数和荷载作用位置坐标参数，查表4-18~表4-22得到不同约束情况下值，再根据图4-16所列公式计算出。4L2lulc、DB、。计算步骤：1.根据表4-2所列公式计算截面各项几何特征和参数（见表4-4）2.根据常见支座的边界条件（表4-3），确定畸变微分方程的通解中的系数，为了工程方便书中给出了常见几种梁畸变角和畸变双力矩影响线计算公式和图表；对无限长梁（）直接利用公式绘出畸变角和畸变双力矩影响线。3.在影响线上布置畸变荷载；4.求相应截面的畸变角和畸变双力矩5.根据式（4-42）和式（4-43）计算A点、B点畸变翘曲应力4L根据式（4-38）和式（4-39）计算横向弯矩，继而计算顶板、底板和腹板的横向弯曲应力。畸变翘曲剪应力一般很小，可以不计。ABDCBCADmm,dDDtD