函数单调性与最大最小值

单调性与最大（小）值曹利霞问题提出德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类的记忆牢固程度进行了有关研究.他经过测试，得到了以下一些数据：时间间隔t刚记忆完毕20分钟后60分钟后8-9小时后1天后2天后6天后一个月后记忆量y(百分比)10058.244.235.833.727.825.421.1以上数据表明，记忆量y是时间间隔t的函数.艾宾浩斯根据这些数据描绘出了著名的“艾宾浩斯遗忘曲线”,如图.123tyo20406080100思考1:当时间间隔t逐渐增大你能看出对应的函数值y有什么变化趋势？通过这个试验，你打算以后如何对待刚学过的知识?思考2:“艾宾浩斯遗忘曲线”从左至右是逐渐下降的，对此，我们如何用数学观点进行解释？tyo20406080100123知识探究（一）yxo考察下列两个函数:()fxx2()(0)fxxx（1）；(2)xyo思考1:这两个函数的图象分别是什么？二者有何共同特征？思考2:如果一个函数的图象从左至右逐渐上升，那么当自变量x从小到大依次取值时，函数值y的变化情况如何？()fx12xx1()fx2()fx思考3:如图为函数在定义域I内某个区间D上的图象，对于该区间上任意两个自变量x1和x2，当时，与的大小关系如何？xyox1x2()yfx1()fx2()fx思考4:我们把具有上述特点的函数称为增函数，那么怎样定义“函数在区间D上是增函数”？()fx()fx12,xx1x2x1()fx2()fx)(xf对于函数定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值，若当时，都有,则称函数在区间D上是增函数.知识探究（二）考察下列两个函数:()fxx2()(0)fxxx（1）；(2)1()fx2()fx()yfxxyoxoy思考1:这两个函数的图象分别是什么？二者有何共同特征？()fx思考2:我们把具有上述特点的函数称为减函数，那么怎样定义“函数在区间D上是减函数”？2()fxxyox1x2()yfx1()fx()fx12,xx1x2x1()fx2()fx)(xf对于函数定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值，若当时，都有,则称函数在区间D上是减函数.2()(1)fxx()fx()fx思考3：如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做函数的单调区间.那么二次函数在R上具有单调性吗？函数的单调区间如何？1、函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；注意：2、必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1x2时，总有f(x1)f(x2)或f(x1)f(x2)分别是增函数和减函数.下面是常见的基本初等函数的单调区间（应熟记）yoxoyxyoxyoxyox在增函数在减函数ab2--，,2ab在增函数在减函数ab2--，,2ab在(-∞,+∞)是减函数在(-∞,0)和(0,+∞)是减函数在(-∞,+∞)是增函数在(-∞,0)和(0,+∞)是增函数yox例1、下图是定义在区间[-5，5]上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每个区间上，它是增函数还是减函数？解：函数y=f(x)的单调区间有[-5,-2),[-2,1),[1,3),[3,5]其中y=f(x)在区间[-5,-2),[1,3)是减函数，在区间[-2,1),[3,5]上是增函数。知识迁移,应用提高思考:能否写成[-5,-2)∪[1,3)?注意：函数的单调性是对某个区间而言的，对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，因而没有增减变化，所以不存在单调性问题；对于闭区间上的连续函数来说，只要在开区间上单调，它在闭区间上也就单调，因此，在考虑它的单调区间时，包括不包括端点都可以；例2、证明函数f(x)=3x+2在R上是增函数。证明：设x1，x2是R上的任意两个实数，且x1x2，则f(x1)－f（x2）＝（3x1＋2）－（3x2＋2）＝3（x1－x2）由x1x2，得x1－x20于是f（x1）－f（x2）0即f（x1）f（x2）所以，函数f(x)=3x+2在R上是增函数。－－－取值－－－作差－－－变形－－－定号－－下结论证明函数单调性的方法步骤1任取x1，x2∈D，且x1x2；2作差f(x1)－f(x2)；3变形（通常是因式分解和配方）；4定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；5下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：证明：设x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，则22111)(,1)(xxfxxf212111)()(xxxfxf2112xxxx0),0(,2121xxxx01221xxxx0)()(21xfxf)()(21xfxf.),0(1)(上是减函数在函数xxf1－1－1Oxy1f（x）在定义域上是减函数吗？减函数f（x）在定义域上是减函数吗？取x1=-1，x2=1f（-1）=-1f（1）=1-1＜1f（-1）＜f（1）13.()(0,).fxx例函数在上是增函数还是减函数？证明你的结论小结利用定义确定或证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：1.取数:任取x1，x2∈D，且x1x2；2.作差:f(x1)－f(x2)；3.变形:通常是因式分解和配方;4.定号:判断差f(x1)－f(x2)的正负;5.小结:指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性.1、如果，且时，有，则函数在上是()A．增函数B．减函数C先减后增．D．不能确定12,,xxab12xx12()()fxfx,ab()fx2、函数在区间（2，4）上为()A．增函数B．减函数C．先减后增函数D．先增后减函数2610yxx3、已知函数在上单调，且，则方程在区间上()A．至少有一个实根B．至多有一个实根C．没有实根D．必有一个实根()fx,ab()()0fafb()0fx,ab4、证明函数在（0，1）上是减函数1()fxxxDCB当堂检测反馈：