导数在经济学中的应用

引言近年来，随着市场经济的不断发展、经济的不断繁荣，经济活动中的实际问题也愈加复杂，简单的分析已经不足以满足企业管理者对经济分析的需求。因此，有必要将高等数学应用于简单的数学函数所不能解决的实际经济问题中，对其进行定量分析，这使得高等数学在解决经济问题中占据重要地位。而导数作为高等数学中的重要概念，同样也是解决经济问题的一个有力工具。在高等数学中，导数通常被用于判断函数的单调性，求函数的最值、极值等。在实际经济问题中，导数可作为经济分析的工具，广泛地应用到经济研究和企业管理之中，促进经济理论朝着更加精确的方向发展。本文从边际分析，弹性分析，优化分析三个方面论述导数在经济分析方面的应用。1、导数的概念早在法国数学家费马探究极值问题时就将导数的思想引入了，但导数思想是在英国数学家牛顿研究力学和德国数学家莱布尼茨研究几何学的过程中正式建立起来的。设函数xfy在点0x的某领域内有定义，若极限000limxxfxfxxx存在，则称f在点0x处可导，并称该极限为函数f在0x处的导数，记作0'xf。[1]于是，导数的定义从数量关系上看，所反映的是函数的自变量的变化对相应的函数值变化快慢影响的程度，即变化率，也被称为瞬时变化率；对数学表达式而言，所表达的是函数增量和自变量增量之比的极限问题。[2]2、经济分析中常用的函数由于导数主要应用于探究经济领域中出现的一些函数关系问题，所以，我们必需对经济分析中的一些常用的函数具有一定的了解，以便更好的理解和使用它们。经济分析中常用的函数主要有以下四类：需求函数需求函数指在特定的时间内，各种可能的价格条件下，消费者愿意并且能够购买该商品的数量。（出处）为了使问题简单化，我们一般假设需求函数的诸多自变量中除价格外其他均为常量，则函数表示为PfQd，其中，P为商品的价格，Qd为商品的需求量。这个函数表示一种商品的需求量与价格之间存在一一对应的关系，并且通过观察可以知道商品（除某些抵挡商品、某些炫耀性商品、某些投资性商品除外）的需求量与价格成反方向变动关系，即商品本身价格上升，需求量随之减少，反之亦然。例1：服装店销售某种衬衫的件数Q与价格P是线性关系，当价格为100元一件时，可销售120件，当价格为80元时，可销售200件，求需求函数。解:设衬衫的件数与价格的函数关系为：baPQ则ba100120；ba80200解得4a；520b所以需求函数为5204PQ。供给函数一种商品的供给函数，是指单个生产者在一定时期内在各种可能的价格下，愿意且能够提供出售的该种商品数量。[3]我们通常通过将除价格外的其他因素看成常量以达到化简问题的目的。所以，供给函数可以用PfQs表示，其中，P为商品的价格，QS为商品的供给量。可以看出，商品（除单个劳动力商品、古董商品、某些投资性商品外）的价格与供给量之间成同方向变动的关系。例2：已知大蒜的收购价为每千克4元，每星期能收购2000千克，若收购价每千克提高元，每星期可收购2500千克，求大蒜的供给函数。解：设大蒜的线性供给函数为：baPQ则ba42000；ba5.42500得1000a；2000b所以供给函数为为：20001000PQ成本函数产品成本一般情况下是用货币的形式来表现的企业生产和出售产品的所用度支出。成本函数所表示的是企业成本总额与产出总量之间关系的公式。产品成本可以分为固定成本和变动成本两部分，固定成本和可变成本是相对于某一个特定的过程而言的，并不是唯一确定的。固定成本F是指在一定的时间内不会随着产量的变动而多支出费用，例如设备、厂房设施等的固定费用和其他管理费用等。可变成本V是指当产品产量变动时随之变动的支出费用，如电力燃烧材料、原材料支出、税收等。一般来说，以货币形式计值得（总）成本C是产量Q的函数，用QCC，0Q表示，称该公式为（总）成本函数。当产量0Q时，对应的成本函数值0C就是成品的固定成本。在短期生产活动过程当中，固定成本是不变的，所以可变成本被看成是关于产量Q的函数，即（总）成本函数表示为QVFQC；在长期生产过程中支出都是可变的，此时0F。例3：假设某厂商的短期成本函数为4416423QQQQC,分别指出该短期成本函数中的可变成本部分与固定成本部分。解：当0Q时，440C所以固定成本为44，可变成本部分为QQQQC16423收入函数在贸易活动过程当中，一定时期内销售该商品后所获得的收入总额即为该时期内的总收入，记为R。而售出某商品所能获得的收入的多少则取决于该商品的销售数量和价格。所以，收入函数可以表示为PQR，其中P表示商品得销售价格，Q表示商品销售总量。例4：由于橙子的批发价格过低，农户决定将橙子全部运往市场自行销售，一个星期内，以6元一斤的价格售出了全部的橙子，共计3000斤，求该农户这星期的收入为多少解：1800030006（元）所以该农户这星期收入18000元。利润函数利润函数是指生产问题中的价格函数，也就是是生产中所获得的纯收入的数额，为收入总额与成本总额之间的差值，常用L来表示，QCQRQL。例5：某企业生产销售Q个单位的产品，总收入函数为2224xxR，总成本函数52xC，求利润函数、最大产出水平与最大利润。解：利润函数52435224222xxxxxCRL当4x时有最大值43L（解题过程要详细，须进一步完善）所以利润函数为52432xxL，最大产出水平为4，最大利润为43。3、导数在经济学中的应用随着市场经济的不断发展，应用数学知识定量分析经济及管理领域中的问题已成为经济学的一个重要部分,用数学知识来解答经济活动中的一些现象对很多经营决策起到了非常重要的作用。导数是微积分中的一个重要概念，它是函数关于自变量的变化率。[4]在经济学中，也存在变化率问题，如：边际问题、弹性问题和优化问题。边际分析边际概念是经济学中的一个重要概念，通常指经济变量的变化率,它的提出不仅为人们作出决策提供了一个有用的工具，而且使得数学工具能应用于经济学,利用导数研究经济变量的边际变化的方法，即边际分析法。[5]早在19世纪70年代就出现边际分析的身影，边际分析主要用于研究自变量的单位增加量对因变量产生的影响，偏重于自变量的最后一个单位增加量与因变量之间的数量关系的考察。在经济学中，把函数xf的导数xf'称为xf的边际函数，在点x0的值xf0'称为xf在x0处的边际值。3.1.1边际成本边际成本的定义是指每增加一单位的产量随即产生的总成本增加量即称为边际成本，假设生产某种产品q单位时所需要的总成本函数)(qC可导，则其边际成本定义为qqCqqCqCMCq0lim；边际成本是总成本函数qC关于产量q的导数，其经济含义是：当产量为q时，再生产一个单位（即1q）所增加的总成本qC,因此可以近似的记为qCqCqCqC'1。[6]例6：若厂商要生产某种商品，生产件数为Q件时的总成本函数为QQC204.0500)(（百元），求产量为20件时的边际成本。解：边际成本函数为QQC08.0'6.12008.020'C（百元/件）=160（元/件）它的经济意义是：在产量Q为20时的基础上再生产一个单位商品，总成本增加160元。3.1.2边际收入边际收入与边际成本类似，边际收入定义为qR'，即边际收入是总收入函数qR关于销售量k的导数，其经济含义是：当销售量为q时，再销售一个单位（即1q）所增加的总收入qR。[6]例7：某商店新进了一种商品，当该商品的销售量为Q件时收益函数为48002QQQR（元），求销售400件时的边际收益为多少解：边际收入函数为2800'QQR（元/件）6002400800400'R(元/件)它的经济意义是：当该商品的销售量Q为400时，销售量若再增加一个单位，则收益可增加600元。3.1.3边际利润边际利润指的是销售该产品所获得的收入总额与相应的可变成本之间相差的数额，能够反映出当该产品的销售量增加或降低时企业增加或减少的收益额。与边际成本类似，边际利润MR定义为总利润函数qL关于销售量q的导数，其经济含义是:当销售量为q时，再销售一个单位（即1q）所增加的总利润qL。[7]例8:某工厂将要生产一种商品，该商品的产量Q与总利润QL之间的函数关系为：QQQL25250,求产量为20时的边际利润。解：边际利润函数为QQL10250'50201025020'L（元）它的经济意义是：在每天生产20个单位的基础上，再多生产1个单位，总利润将增加50元。弹性分析弹性问题是供求原理的深化。弹性概念描述一个经济变量对另一个经济变量变化时,所作出反映的强弱程度。对于任何存在函数关系的经济变量之间都可以建立二者之间的弹性关系或是进行弹性分析。假设y与x存在函数关系xfy,函数xfy在点x处可导，函数的相对该变量yy与xx自变量的相对改变量之比，当0x时的极限被称为函数xfy在点x处的相对变化率，也称为弹性函数。记为xfxfxEx。[8]3.2.1需求价格弹性需求的价格弹性通常简称为需求弹性，需求弹性是用来表示在一定时期内一种商品的需求量变动对于该商品的价格变动的反应程度。表示为：需求的价格弹性系数=-（需求量变动率/价格变动率），为方便起见，一般取绝对值。需求价格的弧弹性表示某种商品需求曲线上两点之间的需求量的变动对于价格变动的反应程度。简单来说，它表示需求曲线上两点之间的弹性。假定需求函数为PfQ，Q表示需求量的变动量、P表示价格的变动量，以ed表示需求的价格弹性系数，则需求的价格弧弹性的公式为:QPPQPPQQed。[9]例9：厂商生产某种产品，假设定价为5元/件时市场需求量为400件，定价为4元/件时市场需求量为500件，求该产品的价格弧弹性。①5400554400800112121QPPPQQQPPQed②2800445800400221212QPPPQQQPPQed由计算可知，两种计算方式所得的结果不同。这是由于两种计算所代表不同有理量（涨价与降价），所以产生的需求价格弹性系数就不同。为了避免上述算法带来的结果不同，一般采用中点公式来计算。公式表示为：222121QQPPPQed。当需求曲线上两点之间的变化量趋于无穷小时，需求的价格弹性要用点弹性来表示。也就是说，她表示需求曲线上某一点上的需求量变动对于价格变动的反应程度，则需求的价格点弹性公式可表示为:QpdPdQQPPQPde0lim。在现实生活中常常有这样的一些情况出现:有的商店将商品的价格提高了之后所获得的收入比提价前更多了，而有的商店将提高价格之后所获得的收入不但没有增加反而还减少了。这可用商品的需求价格弹性大小和销售收入两者之间的相互关系来进行解释。例10：假设某商店新到一种商品，该商品的需求函数为212PPfQ。(1)确定该商品的需求弹性函数；（2）当6P时需求弹性是多少（3）当6P时，如果价格上涨%1，那么销售该商品总收益是增加还是减少解：（1）需求弹性函数为PPPPed2421221（2）3162466ed（3）因为16ed，所以可以知道该商品的收益函数是递增的，即价格上涨%1，销售该商品所获得总收益将增加。3.2.2供给价格弹性供给的价格弹性简称为供给弹性，供给弹性是表示在一定时期内一种商品的供应量变动对于该商品的价格变动的反应程度，是商品的供应量变动率与价格变动率之比。假设供给函数为PfQ，以es表示供给的价格弹性系数，则供给的价格弧弹性的公式为：QPPQPPQQe