连续时间信号的分析讲义

2.1连续时间信号的时域分析2.1.1基本连续时间信号2.1.2连续时间信号的冲激表示2.2周期信号的傅里叶分析2.2.1周期信号的傅里叶级数2.2.2典型周期信号的频谱2.3非周期信号的傅里叶变换2.3.1从傅里叶级数到傅里叶变换2.3.2典型非周期信号的傅里叶变换2.3.3傅里叶变换的性质2.4周期信号的傅里叶变换2.5连续信号的拉普拉斯变换2.5.1拉普拉斯变换的定义2.5.2拉普拉斯逆变换第二章连续时间信号的分析时域分析以冲激函数为基本信号，任意输入信号可分解为一系列冲激函数；而yf(t)=h(t)*f(t)。这里用于系统分析的独立变量是时间。频域分析本章将以正弦信号和虚指数信号ejωt为基本信号，任意输入信号可分解为一系列不同频率的正弦信号或虚指数信号之和。这里用于系统分析的独立变量是频率。2.1连续时间信号的时域分析2.1.1基本连续时间信号1、单位斜变信号数学描述：00()0trttt0t()rt112、单位阶跃信号负载K+-突然接入的直流电压突然接通又马上断开电源（1）阶跃信号的物理背景（开关作用）ton1n11γn21n→∞to1ε(t)0,10,210,0)(lim)(deftttttnn函数序列γn(t)阶跃信号和冲激信号都是奇异信号,阶跃信号与冲激信号是两种最基本的理想信号模型。阶跃信号和冲激信号在信号分析与处理中占有重要地位。1Ott01tO(t)(t-t0)1Ott01tO(t)(t-t0)0010)(tttε00010)(ttttttε（2）阶跃信号的数学描述延迟时间的阶跃函数单位阶跃函数（3）阶跃信号的单边特性Otx(t)Otx(t)(t)对函数t＞0部分的截取()(0)()()0(0)xttxtεtt（5）用阶跃函数闭式表示分段光滑信号12131121321()()[1()]()[()()]()()()[()()]()[()()]()xtxtεtxtεtεttxtεttxtxtxttxtxttt13121tttxtt0tx0ttxx(t))()()(x(t)o2t12-1x(t)=2ε(t)-3ε(t-1)+ε(t-2)（4）阶跃信号的加窗特性对脉冲范围内的截取Otp(t)x(t)tOx(t)p(t)Otx(t)00()()d0()ttrtττtttt()()drttdttOt(t)（6）单位阶跃函数的积分为单位斜坡信号（1）冲激信号的物理背景冲激信号反映一种持续时间极短，函数值极大的脉冲信号的极限，如：雷击电闪、短促而强烈的干扰信号、瞬间作用的冲击等等。3、单位冲激信号x(t)tτ/2-τ/21/τΟx(t)tτ-τ1/τΟ000ax(t)t1/τΟ)2t2(aaπ单位冲激信号的特征：宽度无穷小（脉宽）、高度无穷大（脉高）、面积为1（强度为1）的窄脉冲。注意：图中K为强度，要括住！（2）冲激信号δ(t)的数学描述()d1()0(0tttt当时）)(,0)(1)()(0000ttttdttttt延迟单位冲激1）δ(t)的狄拉克定义单位冲激函数一般冲激信号)(,0)()()(0000ttttKKdtttKttKO(1)t(t)OO(k)(1)tt0k(t)(t-t0)t2）脉冲函数极限定义法矩形脉冲逼近：)2t2(aaπ脉冲逼近：对γn(t)求导矩形脉冲pn(t)topn(t)n1n12n)(lim)(deftptnnto(1)δ(t)ton1n11γn21（3）冲激函数的性质1）与普通函数x(t)的乘积——筛分性质若x(t)在t=0、t=t0处存在，则x(t)δ(t)=x(0)δ(t)，x(t)δ(t–t0)=x(a)δ(t–t0))0(d)()(xtttx)(d)()(00txttttx冲激函数把信号在充激时刻的值“筛分”出来，赋给冲激函数作为冲激强度。连续信号与冲激函数相乘再积分，等于冲激时刻的信号值,这就是抽样性质。2）与普通函数x(t)的乘积再积分——抽样性质（4）冲激函数与阶跃函数关系：tttd)(d)(to1ε(t)to(1)δ(t)ttd)()(可见，引入冲激函数之后，间断点的导数也存在。如tox(t)21-1x(t)=2ε(t+1)-2ε(t-1)x′(t)=2δ(t+1)-2δ(t-1)求导1-1otx'(t)(2)(-2)ton1n11γn21topn(t)n1n12nn→∞n→∞tttpnnd)(d)(t122)(ˆttt(1/-/2/2O)(ˆt)(t)2(1)2(1)(ˆttt)(ˆlim)(0tttt'ddttdt)()(4、冲激函数的导数δ’(t)（也称冲激偶信号）δ(–t)=δ(t)为偶函数δ’(–t)=–δ’(t)为奇函数（1）冲激偶信号的数学描述（2）冲激偶信号的性质1）与普通函数x(t)的乘积——筛分性质2）抽样性质()()(0)()(0)()xttxtxt00()()d()()xttttxtdtt00()()()()xtttxtttdt0()()xtttdt00()()d()xttttxt)(22)()4sin()()4sin(tttt?d)1()4sin(03ttt?d)()4sin(91ttt?d)(211t?d)()1(12t022其它,011,2ttε(t))(e2)()(e2)(e)(edd2222tttttttttt24(2(2))tt)42(4)(2tttx24(2)8(2)2ttt例：简化下列表达式。5、指数信号()stxtke（1）指数信号的数学描述1）实指数信号s()txtke()xt22te22te02teOt000指数规律增长指数规律衰减直流2）复指数信号sj()()[cos()sin()]jttjttxtkekeeketjtIm(())xtOtIm(())xtOtIm(())xtOt000增幅振荡衰减振荡等幅振荡复指数信号是连续信号与系统的复频域分析中使用的基本信号。其中复频率s中的实部绝对值的大小反映了信号增长或衰减的速率，虚部的大小反映了信号振荡的频率。（2）用复指数信号表示正余弦信号1sin()()2jtjtteej1cos()()2jtjttee6、抽样信号抽样信号的数学描述：sin()Sa()ttttOSa()t1π2π-π-2πsin()sinc()tttSa()sinc(/)tt2.1.2连续时间信号的冲激表示x(t)0tΔ-Δτx(kΔτ)...kΔτ(K+1)Δτ任意连续信号可以表示为无限多个不同加权的冲激信号之和。()()()xtxtd傅里叶生平1768年生于法国1807年提出“任何周期信号都可用正弦函数级数表示”拉格朗日反对发表1822年首次发表在“热的分析理论”一书中1829年狄里赫利第一个给出收敛条件★非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示傅立叶的两个最主要的贡献★周期信号都可表示为谐波关系的正弦信号的加权和2.2周期信号的傅里叶分析傅里叶分析的工程意义②各种频率的正弦信号的产生、传输、分离和变换容易工程实现。③正弦量只需三要素即可描述，LTI系统的输入和输出的差别只有两要素，即系统的作用只改变信号的振幅和相位。①是LTI系统的特征函数，响应易求且简单。tttjsincosej1、傅里叶分析的基本信号单元2、适用于广泛的信号由虚指数或正弦信号的线性组合可以组成工程中各种信号，使得对任意信号作用下的LTI系统进行频域分析成为一件容易的事情。利于滤波、压缩处理。3、频域分析的优势①任意信号分解成不同频率虚指数（正弦）信号的线性组合，分析LTI系统对这些不同频率单元信号作用的响应特性的过程就是频域分析。②频率分析可以方便求解系统响应。例如相量法。③频域分析的结果具有明显的物理意义，例如抽样定理和无失真传输概念都是频域分析的结果。④可直接在频域内设计可实现的系统，例如滤波器的设计。狄里赫利条件00()dtTtxtt1、在一个周期内只有有限个间断点；2、在一个周期内有有限个极值点；3、在一个周期内函数绝对可积，即正交函数与正交函数集•正交函数：若两个函数g1(t)、g2(t)在区间(t1,t2)内满足2121122()()0()1,2tttiitgtgtdtgtdtki则说明这两个函数在区间(t1,t2)正交，或称它们是区间(t1,t2)上的正交函数。正交函数与正交函数集•正交函数集：若函数集{gi(t)}在区间(t1,t2)内且函数g1(t)，...gn(t)满足21212()()0,1,2,,()1,2,,tijttiitgtgtdtijijngtdtkin、则这个函数集就是正交函数集，当ki=1时为归一化正交函数集。满足一定条件的信号可以被分解为正交函数的线性组合1122nf(t)C()C()C()ngtgtgt若正交函数集是完备的，则：1122nf(t)C()C()C()ngtgtgt三角函数集是最重要的完备正交函数集•三角函数是基本函数；•用三角函数表示信号，建立了时间与频率两个基本物理量之间的联系；•单频三角函数是简谐信号，易于产生、传输、处理；•三角函数信号通过LTI系统后，仍为同频三角函数信号。三角函数集：00{1,cos,sin}ntnt完备正交函数集复指数函数集：Zketjk,11、傅里叶级数的三角形式设周期信号x(t)，其周期为T1，角频率ω1=2/T1，当满足狄里赫利(Dirichlet)条件时，它可分解为如下三角级数——称为x(t)的傅里叶级数))sin()cos(()(1110tkbtkaatxkkk系数ak,bk称为傅里叶系数221111d)cos()(2TTkttktxTa221111d)sin()(2TTkttktxTb可见，ak是k的偶函数，bk是k的奇函数。221011d)(1TTttxTa2.2.1周期信号的傅里叶级数110)cos()(kkktkCCtx式中，C0=a022kkkbaCkkkabarctan上式表明，周期信号可分解为直流和许多余弦分量。其中，C0为直流分量；C1cos(ω1t+1)称为基波或一次谐波，它的角频率与原周期信号相同；C2cos(2ω1t+2)称为二次谐波，它的频率是基波的2倍；一般而言，Ckcos(kω1t+k)称为k次谐波。可见Ck是k的偶函数，k是k的奇函数。ak=Ckcosk，bk=–Cksink，k=1,2,…将上式同频率项合并，可写为由前知]22[)(1110tjkkktjkkkkejbaejbaatx)(21)(1kkjbakX)(21)(1kkjbakX0)0(aX引入了负频率)sincos()(1110tkbtkaatxkkk其中由欧拉公式])()([)0()(11111tjktjkkekXekXXtx111111()()jktjktkkXkeXke指数级数ktjkkXtx1e)(