数字电子技术基础第一章

参考教材清华大学《数字电子技术基础简明教程》数字电子技术基础数字电子技术数字电子技术讲述的是信号的传送、控制、记忆、计数、产生、整形等内容。数字电路在结构、分析方法、功能、特点等方面均不同于模拟电路。数字电路的基本单元是逻辑门电路，分析工具是逻辑代数，在功能上则着重强调电路输入与输出间的因果关系。第一章逻辑代数基础概述一、逻辑代数逻辑代数也称为布尔代数，又可以称为开关代数。特点：其变量只有两种取值范围，“0”或“1”。也可表示为：正逻辑1、负逻辑0。二、数制在日常生活中，人们习惯用十进制计数，在逻辑代数中常使用二进制或十六进制数。10121031031031033333.基数或称权由0~9十个数码来表示，基数是10。超过9的数需要用多位数表示，其计数规律为“逢十进一”，故称为十进制。例：将333.3展开任意十进制数可表示为：∑10iikD任意进制数的普遍形式：iiNkD（一）10进制数k系数取值范围0~9位数（二）二进制数二进制数的基数N=2，只有两个数0和1，进位为“逢二进一”。iikD2例如:将二进制数10011.01转换成十进制数。解：将每一位二进制数乘以位权，然后相加，可得102101234)25.19(25.0012001621202121202021)01.10011(B二进制转换成十进制231152122222………余0………余1………余1………余1………余10bbbbb01234读取次序例如：将十进制数23转换成二进制数。解：用“除2取余”法转换:十进制转换成二进制则（23)D=（10111)B整数的转换：高位低位除到0为止小数的转换：例如：将十进制数0.59转换成二进制数（要求转换误差不大于2-4）。解：用“乘2取整”法转换故：(0.59)D=(0.1001)B高位低位除到误差不大于2-4为止（三）二进制的缩写形式——八进制和十六进制数1.八进制数基数N=8，每一位用0~7八个数表示，逢8进一例如：00000101001110010111011101234567二进制和八进制转换方便，每3位2进制数对应1位8进制数。iikD821012818487858341.3572.十六进制数基数N=16，每一位用0~F共16个数表示，逢16进一。iikD16例如：2221012161516714161016516167161416101657.5FFAE二进制和十六进制转换方便，每4位2进制数对应1位16进制数。电脑常用8、16、32位二进制数，用16进制数阅读方便。0000.0001.0010.0011.0100.0101.0110.0111012345671000.1001.1010.1011.1100.1101.1110.111189ABCDEF注：在进行有小数的二进制转换为十六进制或八进制时，整数在小数点左边补0，小数在小数点右边补0。要求快速转换三、二进制代码用二进制数表示文字、符号等信息的过程叫做编码，编码之后的二进制数称二进制代码。若所需编码的信息有N项，则需要用的二进制码的位数n应满足关系：在数字电路中，二进制数用电路实现起来比较容易。表示十进制数字符0～9，常用8421代码（也称为8421BCD码），见右表：十进制数字8421BCD码B3B2B1B000000100012001030011401005010160110701118100091001位权84218421BCD码编码表Nn2四、带符号二进制代码n位二进制数值码（真值）加一位符号位构成机器数。常用的带符号二进制代码：原码（TrueForm）[X]原反码（One’sComplement）[X]反补码（Two’sComplement）[X]补最高位为符号位：“0”表示正数，“1”表示负数。正数的三种代码相同，都是数值码最高位加符号“0”。即X≥0时，真值与码值相等，且：X=[X]原=[X]反=[X]例：4位二进制数X=1101和Y=0.1101[X]原=[X]反=[X]补=01101,[Y]原=[Y]反=[Y]补=0.11014位二进制负整数的原、反、补码对照表计算机减法采用：被减数-减数=被减数+[减数]补例：计算15-4，[有效位7位]15-4=15+[4]补=（00001111）B+（11111100）B=（00001011）B文字符号信息码ASCII码——美国标准信息交换码，由7位二进制码组成，常用十六进制表示。1、十进制数符0~9按二进制编码，高3位为011，ASCII码为30H~39H。2、大写英文字母从A~Z按顺序编ASCII码为41H~5AH。3、小写英文字母从a~z按顺序编ASCII码为61H~7AH。4、00H~20H为各文字符的ASCII码5、其余为各符号的ASCII码。1．1．1.基本和常用逻辑运算在逻辑代数中，基本逻辑运算有与、或、非三种，常用的逻辑运算是与非、或非、与或非和异或一、三种基本逻辑运算（一）基本逻辑关系举例1、逻辑图如下图所示电路，是反映与、或、非三种基本逻辑关系最简单的例子：1．1逻辑代数的基本公式与基本规则ABABAR电源（1）与逻辑关系（2）或逻辑关系（3）非逻辑关系电源电源2、真值表完整表达所有可能的逻辑关系表格——称为真值表。与、或、非三种电路的基本逻辑关系真值表AB与输出或输出非输出0000101011001011113、三种基本逻辑关系（1）与逻辑关系运算——（2）或逻辑关系运算——（3）非逻辑关系运算——BAY1BAY2AY3（一）逻辑变量和普通代数相同：用英文字母表示；和普通代数不同：取值范围只有“1”和“0”，没有数值大小，只表示事物的两个对立面。（二）逻辑函数原变量：字母上无反号；反变量：字母上有反号。书中图1.1.2列出了7种运算逻辑符号，分别用国标符号、曾用符号及美国符号列出。国标符号曾用符号美国符号二、逻辑变量与逻辑函数及基本逻辑运算&123ABYABYABY,......),(BAFY=Y是A,B,….的逻辑函数（三）基本逻辑运算BAL2．或运算——当决定一件事情的几个条件中，只要有一个或一个以上条件具备，这件事情就发生。我们把这种因果关系称为或逻辑。L＝A+B3．非运算——某事情发生与否，仅取决于一个条件，而且是对该条件的否定。即条件具备时事情不发生；条件不具备时事情才发生。我们把这种因果关系称为非逻辑AL1．与运算——只有当决定一件事情的条件全部具备之后，这件事情才会发生。我们把这种因果关系称为与逻辑。其他常用逻辑运算2．或非——由或运算和非运算组合而成。1．与非——由与运算和非运算组合而成。AB000011111110&ABL=A·B(a)(b)L=A·B01AB1011L=A+BA00B1(a)(b)000L=A+B≥1先与再非先或再非3．异或异或是一种二变量逻辑运算，当两个变量取值相同时，逻辑函数值为0；当两个变量取值不同时，逻辑函数值为1。异或的逻辑表达式为：BAL1100(b)BA0AB10101(a)01L=A=1+AB+B1.1.2公式和定理一、逻辑代数的基本公式、定理“同一律”“德。摩根定理”“还原律”二、逻辑代数的基本规则1.代入规则对于任何一个逻辑等式，以某个逻辑变量或逻辑函数同时取代等式两端任何一个逻辑变量后，等式依然成立。例如，已知，若用代替等式中A，根据代入规则，等式仍然成立，故CAYBABABCABCABCA2.反演规则将一个逻辑函数L进行下列变换：·→＋，＋→·；0→1，1→0；原变量→反变量，反变量→原变量。所得新函数表达式叫做L的反函数，用表示。L在应用反演规则求反函数时要注意以下两点：（1）保持运算的优先顺序不变，必要时加括号表明，如例1.1.4。（2）变换中，几个变量（一个以上）的公共非号保持不变，如例1.1.5。DBCALDBCADBCAL)()(DCBALDCBAL利用反演规则，可以非常方便地求得一个函数的反函数例1.1.4求以下函数的反函数：解：例1.1.5求以下函数的反函数：解：1.2逻辑函数的化简2．逻辑函数的标准与或式和最简式在表达式中，每一个乘积都具有标准形式。例如：标准与或表达式最简与或表达式1．逻辑函数表达式的常见形式一个逻辑函数的表达式不是唯一的，可以有多种形式，并且能互相转换。化简逻辑函数常用到的方法有两种，一种叫公式化简法，用公式和定理化简，一种叫图形化简法，用卡诺图化简。1.2.1逻辑函数的公式化简法ABACBCABCCABCBABCAY++=+++=逻辑函数的最简表达式有多种，可以用摩根定理进行适当变换，将其化解为与或式。标准与或表达式是唯一的，可以将任何逻辑函数展开或变换成标准与或表达式。例：从下例所示真值表可以直接写出标准与或表达式：ABCCABCBACBABCACABABCAY))((最简“与—或表达式”的标准：（1）与项最少，即表达式中“+”号最少。（2）每个与项中的变量数最少，即表达式中“·”号最少。在真值表中，挑出那些使函数值为1的变量取值。ABCCABCBACBABCACABABCAY++++=++=+=))((3．逻辑函数的公式化简法逻辑函数化简的目的是：乘积项最少，乘积项的因子最少。ABBABAAB)(BADECBABAL)(EBAEBBAEBABAL（1）并项法（2）吸收法（3）消去法运用公式，将两项合并为一项，消去一个变量。如1AA运用吸收律A+AB=A，消去多余的与项。如)()()()(CCBACCABCBACABCBAABCCBCBACBBCAL解：例1.2.1:化简逻辑函数：EFBEFBABDCAABDAADLEFBEFBABDCAABAL（利用）1AAEFBBDCAA（利用A+AB=A）EFBBDCA（利用）BABAA（4）配项法消去多余的与项消去多余的因子1.2.2逻辑函数的卡诺图化简法一、最小项的定义与性质最小项的定义n个变量的逻辑函数中，包含全部变量的乘积项称为最小项。n变量逻辑函数的全部最小项共有2n个。最小项的性质1、每一个最小项都有一组也只有一组使其为1的对应变量取值；2、任意两个不同的最小项之积，值恒为0；3、变量全部最小项之和，值恒为1。变量A、B、C全部最小项的真值表二、逻辑函数的最小项表达式解：)()(),,(BBCACCABCAABCBALCBABCACABABC=m7+m6+m3+m1例1.2.4：将以下逻辑函数转换成最小项表达式：任何一个逻辑函数表达式都可以转换为一组最小项之和，称为最小项表达式。三、卡诺图2、卡诺图用小方格来表示最小项，一个小方格代表一个最小项，然后将这些最小项按照相邻性排列起来。即用小方格几何位置上的相邻性来表示最小项逻辑上的相邻性。CBAACBBACCBAABC)(1、相邻最小项如果两个最小项中只有一个变量互为反变量，其余变量均相同，则称这两个最小项为逻辑相邻，简称相邻项。例如，最小项ABC和就是相邻最小项。如果两个相邻最小项出现在同一个逻辑函数中，可以合并为一项，同时消去互为反变量的那个量。如（2）三变量卡诺图（1）二变量卡诺图变量卡诺图的画法：(a)卡诺图都画成正方形或矩形(b)按循环码排列取值的顺序。3、卡诺图的结构（3）四变量卡诺图仔细观察可以发现，卡诺图具有很强的相邻性：（1）直观相邻性，只要小方格在几何位置上相邻（不管上下左右），它代表的最小项在逻辑上一定是相邻的。（2）对边相邻性，即与中心轴对称的左右两边和上下两边的小方格也具有相邻性。m0ABCDABCDm1ABCDm3mABCD2m567mmABCDABCDmABCD4ABCDABCDmm13ABCDABCD1412m15mABCDABCDABCD