数字电子技术基础第二章

2-1第二章逻辑代数基础2-2数字信号取值：数字信号位数：0和1不表示数值的大小，没有数值的概念，仅表示两种截然不同的逻辑状态0和1两种。即用二进制表示。1位二进制表示2种状态；n位二进制表示2n种状态,取2n≥N例：灯的开关－－2种取值———1位二进制数人的性别－－2种取值———1位学生的民族－－56种取值———6位(26=64≥56)东西南北方位－－4种取值———2位产品的计数－－N种取值———n位，2n≥N2.1概述2-3（1）与运算和与门例：串联开关电路三种基本逻辑运算----与、或、非1.基本逻辑运算及其表示方法A、B、C都具备时，事件F才发生。设开关闭为“1”开关开为“0”灯亮为“1”不亮为“0”与逻辑2.2逻辑代数中的三种基本运算2-4ABY000010100111F=A•B=AB逻辑表达式逻辑与（逻辑乘）逻辑状态表全1出1有0出0逻辑符号ABY2-5若开关数量增加，则逻辑变量增加。ABCY00000010010001101000101011001111Y＝A·B·C＝ABCABYC2-6ApplicationExample与门可以作为控制门（开关）计数器AB1s1s复位为0寄存器,显示译码器中显示频率计的原理框图2-7A、B、C只有一个具备时，事件F就发生。或逻辑（2）或运算和或门例：并联开关电路设开关闭为“1”开关开为“0”灯亮为“1”不亮为“0”2-8ABY000011101111F=A+B逻辑表达式逻辑或(逻辑加)逻辑状态表全0出0有1出1逻辑符号ABY2-9ApplicationExampleAlarmcircuit监测门/窗开的传感器HIGH=OPENLOW=CLOSED若开关数量增加，则逻辑变量增加。AEFBCF=A+B+C2-10开关与灯并联电路（3）非运算和非门A具备时，事件F不发生；A不具备时，事件F发生。非逻辑设开关闭为“1”开关开为“0”灯亮为“1”不亮为“0”2-11AY0110逻辑表达式逻辑非逻辑反逻辑状态表AY有1出0有0出1AF逻辑符号2-12在数字系统中，除应用与、或、非三种基本逻辑运算之外，还广泛应用与、或、非的不同组合，最常见的复合逻辑运算有与非、或非、与或非、异或和同或等。（1）与非运算逻辑表达式：Y＝ABCABCY00010011010101111001101111011110与非逻辑的真值表“有0出1，全1出0”ABYC2.复合逻辑运算“与”和“非”的复合运算称为与非运算。2-13ApplicationExample+VTankATankBLevelsensorLevelsensorHIGHHIGHLOWThesensorsproducea5Vlevelwhenthetanksaremorethanone-quarterfull.Whenthevolumeofchemicalinatankdropstoone-quarterfull,thesensorputsouta0level.2-14（2）或非运算“或”和“非”的复合运算称为或非运算。逻辑表达式：Y＝A+B+CABCY00010010010001101000101011001110或非逻辑的真值表“有1出0，全0出1”ABYC2-15（3）与或非运算“与”、“或”和“非”的复合运算称为与或非运算。逻辑表达式：Y＝AB+CDABCDY2-16（4）异或运算所谓异或运算，是指两个输入变量取值相同时输出为0，取值不相同时输出为1。异或逻辑的真值表“相同为0，相异为1”逻辑表达式：Y=A⊕B=AB+AB式中符号“⊕”表示异或运算。ABY000011101110ABY2-17ABY001010100111（5）同或运算所谓同或运算，是指两个输入变量取值相同时输出为1，取值不相同时输出为0。同或逻辑的真值表“相同为1，相异为0”逻辑表达式：Y=A⊙B=AB+AB=A⊕B式中符号“⊙”表示同或运算。ABY同或是异或的非2-18A•0=0•A=0A+1=1A+0=AA•1=A1AAAAA0AAAAAAA(1)0-1律自等律互补律重叠律还原律2.3逻辑代数的基本公式和常用公式2.3.1基本公式2-19与或00＝00＋0＝001＝00＋1＝110＝01＋0＝111＝11＋1＝11=00=1非数值与数值的关系所以，可以得到以下逻辑运算：2-20逻辑代数的基本定律交换律结合律分配律A+B=B+AA•B=B•AA+(B+C)=(A+B)+C=(A+C)+BA•(B•C)=(A•B)•CA(B+C)=A•B+A•CA+B•C=(A+B)(A+C)普通代数不适用!2-21A+AB=A证明：A+AB=A(1+B)=A•1=A利用运算规则可以对逻辑式进行化简。例如：CDAB)FE(DABCDAB被吸收吸收律（原变量的吸收）2-22（反变量的吸收）BABAA证明：BAABABAABA)AA(BA例如：DEBCADEBCAA++=++被吸收吸收律2-23CAABBCCAABBC)AA(CAABBCCAABCAABBCAABCCAAB1CAABBCCAABBCDBCCAABBCDCAABAC（混合变量的吸收）吸收律例如：2-24BABABABAABAB0001111010110110010111110000BAABBA可以用列真值表的方法证明：反演律（摩根定理）思考：三个变量时是否成立？2-25⑴异或:AB＝AB＋AB⑵同或:A⊙B＝AB＋AB变量相异为1,反之为0变量相同为1,反之为0A0＝AA1＝AA⊙0＝AA⊙1＝AAB＝A⊙BA⊙B＝AB两种常用的运算2-26请注意与普通代数的区别！AB=ACB=C?A+B=A+CB=C?2-27f(A1,A2,…,An)＋f(A1,A2,…,An)＝1将逻辑等式中的某一个逻辑变量全部用同一个逻辑函数代替，则逻辑等式仍然成立。例如：给定逻辑等式A(B+C)=AB+AC，若用A+BC代替A，则该等式仍然成立，即：(A+BC)(B+C)=(A+BC)B+(A+BC)C由式(A+A=1)，故同样有等式：1、代入定理运算优先顺序：首先算括号，其次算非运算，再次是与运算，最后是或运算。2.4逻辑代数的基本定理2-28F＝(A+B)(C+D)例1：已知F＝AB＋CD，根据反演规则可得到:即:“”,“+”,“0”,“1”,“原变量”,“反变量”“+”,“”,“1”,“0”,“反变量”,“原变量”2、反演定理F如果将逻辑函数F中所有的“”变成“+”；“+”变成“”；“0”变成“1”；“1”变成“0”；原变量变成反变量；反变量变成原变量；所得到的新函数是原函数的反函数。2-29例2：已知)(EDCBAF)]([EDCBAFEDCBAF例3：已知CBBCAABF)()()(CBCBABAF长非号不变与变或时要加括号不能破坏原表达式的运算顺序。不属于单变量的非运算符号应当保留不变。2-30如果将逻辑函数F中所有的“”变成“+”；“+”变成“”；“0”变成“1”；“1”变成“0”；则所得到的新逻辑函数是F的对偶式F*。如果F*是F的对偶式，则F也是F*的对偶式，即F与F*互为对偶式。即:“”,“+”,“0”,“1”,“变量”“+”,“”,“1”,“0”,不变例:0CBAF*(1)FABC3、对偶定理不能破坏原表达式的运算顺序。表达式中的非运算符号也不能改变。2-31推理：若两个逻辑函数F和G相等，则其对偶式F*和G*也相等。例:证明包含律：(A+B)∙(A+C)∙(B+C)=(A+B)∙(A+C)证:已知AB＋AC＋BC=AB＋AC等式两边求对偶：(A+B)∙(A+C)∙(B+C)=(A+B)∙(A+C)CAB)(CABABCBAABCBCAAB例：如CBACBCABA)()()()(则利用对偶定理,可以通过证明两个逻辑式的对偶式相等，从而很容易地证明这两个逻辑式相等。2-32逻辑代数→开关代数→布尔代数。用来解决数字逻辑电路的分析与设计问题。在逻辑代数中，参与逻辑运算的变量叫逻辑变量，一般用大写字母A，B……表示。1.逻辑变量每个变量的取值为0或1（二值变量）。0、1不表示数的大小，而是代表两种对立的逻辑状态，如电位的高低、开关的开合、灯的亮灭等。2.5逻辑代数及其表示方法2.5.1逻辑函数2-33在一种逻辑关系中，当输入变量的取值确定后，输出的取值也随之确定，因此输入与输出之间是一种函数关系，记作：(,,)FFABC数字系统中输入与输出之间的逻辑关系都可以用一个逻辑函数来描述。2.逻辑函数A、B、C为自变量；F为因变量2-34例：举重裁判电路中，A为主裁判开关，B、C为副裁判开关，F为指示灯。电路功能：当主裁判开关闭合，同时至少有一名副裁判开关闭合，指示灯才会亮，表示成功。若以1表示开关闭合，0表示开关断开；1表示灯亮，0表示灯不亮，则A,B,C的不同取值，对应F的不同取值。即F是ABC的函数，F=F(A,B,C)CBAF2-35表示逻辑函数的方法有：真值表，逻辑式，逻辑图，波形图，卡诺图，硬件描述语言等。1、逻辑函数式BC中至少有一个闭合，可表示为：B+C同时还要求A闭合，可表示为：A(B+C)故：Y=A(B+C)优点：便于运算、化简和画逻辑图；缺点：不便从逻辑问题直接得到。举重裁判的逻辑式：把逻辑函数的输入、输出关系写成与、或、非等逻辑运算的组合式，即逻辑代数式，称为逻辑函数式，我们通常采用“与或”的形式。2.5.2逻辑函数的表示方法2-362、逻辑图举重裁判函数的逻辑图：特点：便于用电路实现。AYBC把相应的逻辑关系用逻辑符号和连线表示出来。3、逻辑真值表将输入、输出的所有可能状态一一对应地列出。表格的左侧是输入变量的所有取值组合，右侧是每一组输入变量的组合对应的输出变量的值，即函数值。注意：完整列出所有的输入变量的组合。2-37ABCY00000010010001101000101111011111当输入变量个数为n时，真值表共有2n行。举重裁判的真值表：优点：描述逻辑问题方便、直观；缺点：较繁琐。2-384、波形图（时序图）将逻辑函数的输入变量每一组可能的取值与其对应的输出值按时间顺序依次排列起来，就得到了表示该逻辑函数的波形图。A0tB0tC0tY0t00001111001100110101010100000111举重裁判的波形图：通常在一些计算机仿真工具和逻辑分析仪中，利用波形图得到分析结果。优点：描述逻辑问题方便、直观；缺点：较繁琐。2-395、各种表示方法之间的互相转换例：已知真值表如下，求逻辑式ABCY00000010010001111000101111011110此表表明，只要满足下列三种情况之一，则Y=1A=0，B=1，C=1A=1，B=0，C=1A=1，B=1，C=01BCA1CBA1CAB故：只要上述三个乘积项至少有一个为1，则Y=1CABCBABCAY转换方法：将输出为1对应的乘积项（最小项）相或。1→原变量；0→反变量（1）由真值表转换到与或表达式2-40（2）由逻辑表达式转换到真值表第一步：把逻辑表达式中变量的各种取值组合有序地添入真值表中；（有n个变量时，变量的取值组合有2n个）ABF001001110110BABAF第二步：计算出变量的各种取值组合对应的函数值，并填入表中。2-41ABCY00000011010101101001101111011111例：已知逻辑式如下，求真值表。CBACBAY2-42例：CCBACBAYABC方法：将运算符号转换成图形符号Y（3）逻辑表达式转换为逻辑图2-43（4）逻辑图转换为逻辑表达式方法：将图形符号转换成运算符号ABBABABABABABABABABABABAY))((整理，得：ABY2-44（5）波形图转换为真值表