数轴上的动点问题

数轴上的运动问题在讲这个问题之前，我们先来看一道行程问题。【题1】甲乙两地相距200米，小明从甲地步行到乙地，用时3分钟，小明的平均速度为多少米每秒？【分析】这个问题的本质，就是把实际生活中的问题剥离出来，抽象成了简单的数学问题，很多学生都会解；初学时，老师会画线段图，用线段的长度来将两点间的距离具象化，如下：小明甲地乙地【解法一】直接利用：速度=路程÷时间解决。20018010（米/秒）9【解法二】用方程解。设速度为x米/秒，根据路程=时间×速度，得：200180x，解得x10。9如果在线段图上，用一个具体的数来表示甲地和乙地，从甲往乙的方向规定为正方向建立数轴，这个问题就转化为数轴上的运动问题了。【题2】如图，数轴上有两点A、B，点A表示的数为0，点B表示的数为200，一只电子蚂蚁P从A出发，以1个单位每秒的速度由A往B运动，到B点运动停止。设运动时间为t。（1）用含t的代数式表示电子蚂蚁P运动的距离；（2）用含t的代数式表示电子蚂蚁P表示的数；（3）用含t的代数式表示电子蚂蚁P到数B的距离。（4）当电子蚂蚁运动多少时间后，点P为线段AB的三等分点？【分析】引入数轴后，其本质是把线段图换成了带方向带单位长度的直线，将有限的实际距离推广到了无限的距离问题。所以，对于运动的点，处理的核心思想依然是路程=速度×时间。其余的点的距离，利用数轴上两点间距离公式解决。（1）根据路程=速度×时间，有：APt；（2）APt，故点P表示的数为t；（3）点B表示的数为200，点P表示的数为t，且P在B左边，故PB200t。（4）若P为AB的三等分点，有两种情况：①AP=2PB，即：t2200t，解得t400秒；3②2AP=PB，即：2t200t，解得t200秒；3现在，我们将【题2】一般化，线段AB一般化为在数轴上的一条定长线段，便得到如下的题：【题3】如图，数轴上有两点A、B，点A表示的数为a，点B表示的数为b，且数A和数B的距离为200个单位长度，一只电子蚂蚁P从A出发，以1个单位每秒的速度由A往B运动，到B点运动停止。设运动时间为t。（1）用含a的代数式表示数B；（2）用含a和t的代数式表示电子蚂蚁P表示的数；（3）用含t的代数式表示电子蚂蚁P到数B的距离。【分析】一般化后，增加了字母参数，更加抽象化，难度也上升了，但若严格按照逻辑推理进行解题，难度也会有所下降。（1）由数轴上两点间距离公式可得：ba200，整理得：b200a；（2）由路程=速度×时间得，APt，即A、P两点间的距离为t；同（1）可得，点P表示的数为at。（3）由于数B≥数P，故根据数轴上两点间距离公式有：BPbata200at200t。我们发现，只要线段AB的长度固定，点P到B的距离跟A、B表示的数无关。接下来，我们将问题复杂化，变为双动点问题，请看【题4】。【题4】如图，数轴上有两点A、B，点A表示的数为0，点B表示的数为200，一只电子蚂蚁P从A出发，以1个单位每秒的速度由A往B运动，到B点运动停止；另一电子蚂蚁Q在同一时间从B出发，以2个单位每秒的速度由B往A运动，到A点运动停止。设运动时间为t。（1）当电子蚂蚁P、Q相距40个单位长度时，求运动时间t；（2）用含t的代数式表示两只电子蚂蚁的距离。【分析】本题的实质，就是行程问题中的相向运动问题，若用数轴不好理解，可以借助熟悉的行程问题来辅助理解。（1）在运动的过程中，点P和点Q的位置有三种情况：P在Q的右边，P和Q重合，P在Q的左边，故运用两点间距离公式时，需要加个绝对值号，可以有效避免漏掉情况。另外，Q到A后，Q停止，但P继续往B运动，故也得考虑这种情况。①P、Q都在运动时，0秒t100秒时，点P表示的数为t，点Q表示的数为2002t，故P、Q两点间的距离为2002tt。根据题意有：2002tt40。很自然地需要分类讨论，考虑了两种情况。②Q停止运动，P继续运动，此时PQ距离＞100，故不符合题意。（2）①P与Q相遇之前，即P在Q的左边，此时有数Q＞数P，0秒t＜200秒，此时：3PQ2002tt2003t②P与Q相遇后，Q停止运动前，即Q在P的左边，此时有数P＞数Q，200秒t100秒，此时：3PQt2002t3t200③Q停止运动，P继续向B运动直至停止，数Q为0，数P＞数Q，100秒＜t200秒，此时：PQt0t【提炼】第（1）问题，利用数轴上两点间的距离公式，能有效解决漏掉情况的问题。下面，我们把线段等分点加进来，提升难度，请看【题5】和【题6】。其处理的核心，依然是表示出相关的数。【题5】如图，数轴上有两点A、B，点A表示的数为0，点B表示的数为200，一只电子蚂蚁P从A出发，以1个单位每秒的速度由A往B运动，到B点运动停止；另一电子蚂蚁Q在同一时间从B出发，以2个单位每秒的速度由B往A运动，到A点运动停止。设运动时间为t。（1）当P为AQ中点时，求运动时间t；（2）当Q为BP中点时，求运动时间t。【分析】搭上了线段中点，处理方式依然不变，用含t的代数式表示出数Q、数P，利用两点间距离公式解题。（1）点P表示的数为t，点Q表示的数为2002t，若P为AQ中点，有AP=PQ，即：t2002tt，解得：t50秒；（2）点P表示的数为t，点Q表示的数为2002t，若Q为BP中点，有PQ=BQ，即：2002tt2t，解得：t40秒。【题6】已知数轴上A、B两点对应的数分别是-2和4，P为原点。若A、B、P三点分别以1个单位每秒、4个单位每秒、2个单位每秒的速度向右运动，当A、B、P三点有其中一点为其余两点的中点时，求运动的时间。【分析】按理说有三种情况，A为P、B中点，B为A、P中点，P为A、B中点，但结合条件，发现A不可能为P、B中点，故此种情况可以舍去。设运动时间为t，则运动过程中，点A表示的数为t-2，点P表示的数为4t，点B表示的数为4+2t。①B为A、P中点，有AB=BP，即：4+2t-t+2=4t-4-2t，解得：t=10秒；②P为A、B中点，有AP=PB，即：4t-t+2=4+2t-4t，解得：t=0.4秒；接着，我们进一步加深难度，将动线段的等分点放进来，主动点带从动点，看处理是否发生变化呢？请看【题7】。【题7】如图，点A表示的数是-3，点B表示的数是1，若Q是点B右侧一点，QA的中点为M，QB的四等分点为N（N靠近点Q），当Q在B的右侧运动时，有两个结论：①1QM3BN的值不变，②QM2BN243的值不变，其中只有一个结论是正确的，请你判断正确的结论，并求出其值。【分析】此题有一难处，是Q点的速度未知，一些学生就不知该如何处理了。处理方式，还是比较简单的，直接设BQ=m即可。则点Q表示的数就可以用含m的代数式表示了。设BQ=m，则点Q表示的数为m+1，AQ=m+1+3=m+4,QM1AQm2；BN3BQ3m，2244将QM、BN代入上面两个式子即可：①1QM3BN1m2m1，值与m有关；24224②QM2BNm223m2，值与m无关；3234【解后反思】QM2BNm223m2的值与BQ的长度没有关系，只与AB的长度有关系，故3234可以将数A、数B推广到任意数，便得到了一般化的情况。【思考】线段（直线、射线）上的运动问题，可以转化为数轴上的运动问题来处理吗？最后，放几个题结束本文。【题1】如图，数轴上A、B两点对应的有理数分别为-8和12，点P从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴负方向运动，同时点Q从原点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，运动时间为t秒。（1）求经过两秒后，数轴点P、Q分别表示的数；（2）当t3时，求PQ的值；（3）在运动过程中，是否存在时间t，使得AP=BQ，若存在，求出t值；若不存在，说明理由。【题2】如图，点A、B和线段CD都在数轴上，点A、C、D、B起始位置所表示的数分别为-2,0,3,12；线段CD沿数轴的正方向以每秒1个单位的速度移动，移动时间为t秒。（1）当t0秒时，AC的长度为；当t2秒时，AC的长度为；（2）用含有t的代数式表示AC的长为．（3）当t秒时，AC－BD=5，当t秒时AC+BD=15．（4）若点A与线段CD同时出发沿数轴的正方向移动，点A的速度为每秒2个单位，在移动过程中，是否存在某一时刻使得AC=2BD，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．【题3】如图，E为线段AC上靠近点A的三等分点，B、D为线段EC上的两点，且满足CD=2BD。（1）若DE=6cm，求线段AB的长；AC（2）若图中所有线段的长度之和是线段DC长度的14倍，求DC的值；（3）若AC=15cm，EB=4cm，动点P从A点、动点Q从D点同时出发，分别以3cm/s、1cm/s的速度沿直线AC向右运动，是否存在某个时刻，使得BP+CQ=AB成立？若存在，求此时PQ的长度；若不存在，说明理由。【题4】如图，数轴上线段AB=2，CD=4，点A在数轴上表示的数是10，点C在数轴上表示的数是16。若线段AB以6个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段CD以2个单位长度/秒的速度向左匀速运动。（1）运动多少时，BC=8？（2）P是线段AB上一点，当B点运动到线段CD上时，是否存在关系式BDAP3，若存在，求线段PCPD的长；若不存在，请说明理由。