浙江省杭州市西湖高级中学2019-2020学年高二数学10月月考试题

1六大注意1考生需自己粘贴答题卡的条形码考生需在监考老师的指导下，自己贴本人的试卷条形码。粘贴前，注意核对一下条形码上的姓名、考生号、考场号和座位号是否有误，如果有误，立即举手报告。如果无误，请将条形码粘贴在答题卡的对应位置。万一粘贴不理想，也不要撕下来重贴。只要条形码信息无误，正确填写了本人的考生号、考场号及座位号，评卷分数不受影响。2拿到试卷后先检查有无缺张、漏印等拿到试卷后先检查试卷有无缺张、漏印、破损或字迹不清等情况，尽管这种可能性非常小。如果有，及时举手报告；如无异常情况，请用签字笔在试卷的相应位置写上姓名、考生号、考场号、座位号。写好后，放下笔，等开考信号发出后再答题，如提前抢答，将按违纪处理。3注意保持答题卡的平整填涂答题卡时，要注意保持答题卡的平整，不要折叠、弄脏或撕破，以免影响机器评阅。若在考试时无意中污损答题卡确需换卡的，及时报告监考老师用备用卡解决，但耽误时间由本人负责。不管是哪种情况需启用新答题卡，新答题卡都不再粘贴条形码，但要在新答题卡上填涂姓名、考生号、考场号和座位号。4不能提前交卷离场按照规定，在考试结束前，不允许考生交卷离场。如考生确因患病等原因无法坚持到考试结束，由监考老师报告主考，由主考根据情况按有关规定处理。5不要把文具带出考场考试结束，停止答题，把试卷整理好。然后将答题卡放在最上面，接着是试卷、草稿纸。不得把答题卡、试卷、草稿纸带出考场，试卷全部收齐后才能离场。请把文具整理好，放在座次标签旁以便后面考试使用，不得把文具带走。6外语听力有试听环外语考试14:40入场完毕，听力采用CD播放。14：50开始听力试听，试听结束时，会有“试听到此结束”的提示。听力部分考试结束时，将会有“听力2部分到此结束”的提示。听力部分结束后，考生可以开始做其他部分试题。浙江省杭州市西湖高级中学2019-2020学年高二数学10月月考试题一.选择题（共40分，每题4分，请从A、B、C、D四个选项中选出最符合题意的一个）1.下列多面体是五面体的是()A．三棱锥B．三棱柱C．四棱柱D．五棱锥2.正方体的棱长和其外接球的半径之比为()A.3∶1B.3∶2C．2∶3D.3∶33.如图所示，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6cm，O′C′＝2cm，则原图形是()A．正方形B．矩形C．菱形D．一般的平行四边形4.一个几何体的三视图如图所示，那么此几何体的侧面积为()A．48B．64C．80D．1205.如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是BB1，BC的中点，则图中阴影部分在平面ADD1A1上的正投影为()6.设P表示一个点，a，b表示两条直线，α，β表示两个平面，给出下列四个命题：①若P∈a，P∈α，则a⊂α；②若a∩b＝P，b⊂β，则a⊂β；③若a∥b，a⊂α，P∈b，P∈α，则b⊂α；④若α∩β＝b，P∈α，P∈β，则P∈b.其中真命题是()A．①②B．②③C．①④D．③④7.如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线交点为O，M为PB的中点，给出五个结论：①OM∥PD；②OM∥平面PCD；③OM∥平面PDA；④OM∥平面PBA；⑤OM∥平面PBC.其中，正确结论的个数为()A．1B．2C．3D．48.如图所示，正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有()A．AH⊥平面EFHB．AG⊥平面EFHC．HF⊥平面AEFD．HG⊥平面AEF9.如图所示，四棱锥S­ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是()3A．AC⊥SBB．AB∥平面SCDC．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角10.如图所示，在正四棱锥S­ABCD中，E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，动点P在线段MN(不包括端点)上运动，给出下列四个结论：①EP⊥AC；②EP∥BD；③EP∥平面SBD；④EP⊥平面SAC.其中，恒成立的为()A．①③B．③④C．①②D．②③④二.填空题（共36分，双空题每空3分，单空题每空4分）11.如图所示，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是矩形，且PA⊥平面ABCD，PA＝5，AB＝4，AD＝3，则异面直线PC与BD所成的角为________，直线PC与平面ABCD所成的角为________.12.如图所示，设P是正方形ABCD所在平面外一点，且PA⊥平面ABCD，则与平面PAB垂直的平面有和.13.如图2­2­3所示，P是平行四边形ABCD所在平面外一点，E为PB的中点，O为AC，BD的交点，则与EO平行的平面有________和________.14.若一个几何体的正视图，侧视图和俯视图形状相同，大小均相等，那么这个几何体不可能是，可能是也可能不是的几何体是.A．球B．三棱锥C．正方体D．圆柱E.四棱柱F.圆台15.如图，已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点．若在PB上存在一点Q，使平面MNQ∥平面PAD，则PQ∶QB＝________．16.下列叙述不正确的是________．①如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线平行；②如果两条直线都和第三条直线所成的角相等，那么这两条直线平行；③两条异面直线所成的角为锐角或直角；④直线a与b异面，b与c也异面，则直线a与c必异面．17.如图所示，已知边长为2的等边三角形PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，且BC＝22，M为BC的中点，则二面角P­AM­D的大小为________．三.解答题（共74分，请写出必要的解题过程和步骤）18.（14分）如图，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点．(1)求证：MN∥平面PAD；4(2)若MN＝BC＝4，PA＝43，求异面直线PA与MN所成的角的大小．19.（15分）如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC＝45°，AD＝AC＝1，PO⊥平面ABCD，O点在AC上，PO＝2，M为PD中点．(1)证明：AD⊥平面PAC；(2)求三棱锥M­ACP的体积．20.（15分）如图所示，在四棱锥P­ABCD中，底面是边长为a的正方形，侧棱PD＝a，PA＝PC＝2a，求证：(1)平面PAC⊥平面PBD；(2)二面角P­BC­D的大小为45°.21.（15分）如图，已知四棱柱ABCD­A1B1C1D1的底面是菱形，该菱形的边长为1，∠ABC＝60°，AA1⊥平面AC.(1)设棱形ABCD的对角线的交点为O，求证：A1O∥平面B1D1C；(2)若四棱柱的体积V＝32，求C1C与平面B1D1C所成角的正弦值．22.（15分）如图所示，PA⊥矩形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点．(1)求证：MN∥平面PAD；(2)求证：MN⊥CD；(3)若二面角P-CD-A的大小为45°，求证：平面BMN⊥平面PCD.5杭西高2019年10月高二数学参考答案一.选择题（共40分，每题4分，请从A、B、C、D四个选项中选出最符合题意的一个）1.下列多面体是五面体的是()A．三棱锥B．三棱柱C．四棱柱D．五棱锥B[解析]三棱柱有3个侧面，2个底面，共5个面，所以三棱柱为五面体．2.正方体的棱长和其外接球的半径之比为()A.∶1B.∶2C．2∶D.∶3C[解析]设正方体的棱长为a，其外接球的半径为R.易知(2R)2＝a2＋a2＋a2＝3a2，则R＝23a，故正方体的棱长和其外接球的半径的之比为a∶23a＝2∶.3.如图所示，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6cm，O′C′＝2cm，则原图形是()A．正方形B．矩形C．菱形D．一般的平行四边形C[解析]如图，在原图形OABC中，应有OA＝O′A′＝6cm，OD＝2O′D′＝2×2＝4cm，CD＝C′D′＝2cm.∴OC＝＝＝6cm，∴OA＝OC.故四边形OABC是菱形．4.一个几何体的三视图如图所示，那么此几何体的侧面积为()A．48B．64C．80D．120C[解析]根据三视图知，该几何体是一个正四棱锥(底面边长为8)，直观图如图，PE为侧面△PAB的边AB上的高，且PE＝5.所以此几何体的侧面积是S＝4S△PAB＝4×21×8×5＝80.65.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是BB1，BC的中点，则图中阴影部分在平面ADD1A1上的正投影为()A[解析]由正投影的定义可知，点M在平面ADD1A1上的正投影为AA1的中点，点N在平面ADD1A1上的正投影为AD的中点，易知选A.6.设P表示一个点，a，b表示两条直线，α，β表示两个平面，给出下列四个命题：①若P∈a，P∈α，则a⊂α；②若a∩b＝P，b⊂β，则a⊂β；③若a∥b，a⊂α，P∈b，P∈α，则b⊂α；④若α∩β＝b，P∈α，P∈β，则P∈b.其中真命题是()A．①②B．②③C．①④D．③④D[解析]当a∩α＝P时，P∈a，P∈α，但a⊄α，∴①错；当a∩β＝P时，②错；如图所示，∵a∥b，P∈b，∴P∉a，∴由直线a与点P确定唯一平面α，又a∥b，由a与b确定唯一平面β，但β经过直线a与点P，∴β与α重合，∴b⊂α，故③正确；两个平面的公共点必在其交线上，故④正确．7.如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线交点为O，M为PB的中点，给出五个结论：①OM∥PD；②OM∥平面PCD；③OM∥平面PDA；④OM∥平面PBA；⑤OM∥平面PBC.其中，正确结论的个数为()7A．1B．2C．3D．4C[解析]矩形ABCD的对角线AC与BD交于O点，所以O为BD的中点．在△PBD中，M是PB的中点，所以OM∥PD，所以OM∥平面PCD，且OM∥平面PDA.因为M∈PB，所以OM与平面PBA、平面PBC相交．8.如图所示，正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有()A．AH⊥平面EFHB．AG⊥平面EFHC．HF⊥平面AEFD．HG⊥平面AEFA[解析]原图中AD⊥DF，AB⊥BE，所以折起后AH⊥FH，AH⊥EH，又FH∩EH＝H，所以AH⊥平面EFH.9.如图所示，四棱锥SABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是()A．AC⊥SBB．AB∥平面SCDC．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角D[解析]由AC⊥BD，AC⊥SD，且BD∩SD＝D，得AC⊥平面SBD，∴AC⊥SB，故A正确．由AB∥CD，得AB∥平面SCD，故B正确．记AC与BD交于点O，连接SO，则∠ASO为SA与平面SBD所成的角，∠CSO为SC与平面SBD所成的角，可证明△SAO≌△SCO，∴SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角，故C正确．显然D错误．10.如图所示，在正四棱锥SABCD中，E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，动点P在线段MN(不包括端点)上运动，给出下列四个结论：①EP⊥AC；②EP∥BD；③EP∥平面SBD；④EP⊥平面SAC.其中，恒成立的为()8A．①③B．③④C．①②D．②③④A[解析]设AC，BD交于点O，连接SO，EN，EM.①由SABCD是正四棱锥，可得SO⊥底面ABCD，AC⊥BD，∴SO⊥AC.又∵SO∩BD＝O，∴AC⊥平面SBD.∵E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，∴EM∥BD，MN∥SD.又EM∩MN＝N，SD∩BD＝D，∴平面EMN∥平面SBD，∴AC⊥平面EMN，∴AC⊥EP，故①正确．②由异面直线的定义可知EP与BD是异面直线，不可能有EP∥BD，因此②不正确．③由①可知平面EMN∥平面SBD，∴EP∥平面SBD