一阶线性微分方程

上页下页返回上页下页返回第四节一阶线性微分方程一、线性方程二、伯努利方程三、小结思考题上页下页返回上页下页返回.的一次项或者且均为yy)()(xQyxPdxdy一阶线性微分方程的标准形式:,0)(xQ当上方程称为齐次的.上方程称为非齐次的.,0)(xQ当一、线性方程例如,2xydxdy,sin2ttxdtdx,32xyyy,1cosyy线性的;非线性的.特点：右边是已知函数，左边每项中仅含,yy或上页下页返回上页下页返回.0)(yxPdxdy,)(dxxPydy,)(dxxPydy,ln)(lnCdxxPy齐次方程的通解为.)(dxxPCey1.线性齐次方程一阶线性微分方程的解法(使用分离变量法)上页下页返回上页下页返回2.线性非齐次方程).()(xQyxPdxdy讨论,)()(dxxPyxQydy两边积分,)()(lndxxPdxyxQy),()(xvdxyxQ为设,)()(lndxxPxvy.)()(dxxPxveey即非齐次方程通解形式与齐次方程通解相比:)(xuC上页下页返回上页下页返回常数变易法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.实质:未知函数的变量代换.),()(xyxu原未知函数新未知函数作变换dxxPexuy)()(,)]()[()()()(dxxPdxxPexPxuexuy上页下页返回上页下页返回代入原方程得和将yy,)()()(CdxexQxudxxP),()()(xQexudxxP积分得一阶线性非齐次微分方程的通解为:dxxPdxxPeCdxexQy)()(])([dxexQeCedxxPdxxPdxxP)()()()(对应齐次方程通解非齐次方程特解上页下页返回上页下页返回.sin1的通解求方程xxyxy,1)(xxP,sin)(xxxQCdxexxeydxxdxx11sinCdxexxexxlnlnsinCxdxxsin1.cos1Cxx解例1上页下页返回上页下页返回例2如图所示，平行与轴的动直线被曲线与截下的线段PQ之长数值上等于阴影部分的面积,求曲线.y)(xfy)0(3xxy)(xf,)()(230yxdxxfxxyxydx03,两边求导得,32xyy解解此微分方程xyoxPQ3xy)(xfy上页下页返回上页下页返回dxexCeydxdx23,6632xxCex,0|0xy由,6C得所求曲线为).222(32xxeyx23xyy上页下页返回上页下页返回7.411,2,21.练习：题题CdxexQeyxxQxxPxxyydxxPdxxP,,1,114.722方程，解：此为一阶线性微分：题上页下页返回上页下页返回.414111343ln2ln121xCxCxxCdxxxCdxexeCdxexeCdxexQeyxxdxxdxxdxxPdxxP上页下页返回上页下页返回.22244,4,2,4221222222222xxxxxxxxdxxdxxPdxxPCeCeeCedeCdxxeeCdxxeeCdxexQeyxxQxxPxxyy上页下页返回上页下页返回,221444,4,5,4512532553553533xxxxxxxdxxdxdxxPdxxPxxCeeCeeCdxeeeCdxeeeCdxexQeyexQxPeydxdy得由.12,2C4,023xxeeyyx特解为有代入上式，当上页下页返回上页下页返回伯努利(Bernoulli)方程的标准形式nyxQyxPdxdy)()()1,0(n方程为线性微分方程.方程为非线性微分方程.二、伯努利方程时，当1,0n时，当1,0n解法:需经过变量代换化为线性微分方程.上页下页返回上页下页返回,1nyz令，则dxdyyndxdzn)1(),()(1xQyxPdxdyynn),()1()()1(xQnzxPndxdz求出通解后，将代入即得nyz1，得两端除以ny代入上式.))1)((()()1()()1(1CdxenxQezydxxPndxxPnn上页下页返回上页下页返回.42的通解求方程yxyxdxdy,412xyxdxdyy,yz令,422xzxdxdz,22Cxxz解得.224Cxxy即解，得两端除以y例3上页下页返回上页下页返回例4用适当的变量代换解下列微分方程:;22.122xxexyyy解,2112yxexyyx,2)1(1yyz令,2dxdyydxdz则,22xxexzdxdz][222Cdxexeezxdxxxdx所求通解为).2(222Cxeyx上页下页返回上页下页返回;)(sin1.22xyxyxdxdy解,xyz令,dxdyxydxdz则,sin1))(sin1(22zxyxyxxydxdz,42sin2Cxzz分离变量法得,代回将xyz所求通解为.4)2sin(2Cxxyxy上页下页返回上页下页返回;1.3yxdxdy解,uyx令,1dxdudxdy则代入原式,11udxdu分离变量法得,)1ln(Cxuu,代回将yxu所求通解为,)1ln(Cyxy11yeCxy或另解.yxdydx方程变形为上页下页返回上页下页返回三、小结1.齐次方程2.线性非齐次方程3.伯努利方程)(xyfy;xuy令;)()(dxxPexuy令;1zyn令上页下页返回上页下页返回作业：习题7.4题1（4）（6）；题2（3）上页下页返回上页下页返回思考题求微分方程的通解.yxyyyysin2sincoscos上页下页返回上页下页返回思考题解答yyxyydydxcossin2sincos,tan2sinyxy,2sintanyxydydxCdyeyexyycoslncosln2sinCdyyyyycoscossin2cos.cos2cosyCy上页下页返回上页下页返回一、求下列微分方程的通解:1、xexyysincos；2、0)ln(lndyyxydxy；3、02)6(2ydxdyxy.二、求下列微分方程满足所给初始条件的特解:1、4,5cot2cosxxyexydxdy；2、.0,132132xyyxxdxdy练习题上页下页返回上页下页返回三、设有一质的量为m质点作直线运动从速度等于零的时刻起,有一个与运动方向一致,大小与时间成正比(比例1k系数为)的力作用于它,此外还受一与速度成正比(比例2k系数为)的阻力作用,求质点运动的速度与时间的函数关系.四、求下列伯努利方程的通解:1、212121yxyxy；2、0)]ln1([3dxxxyyxdy.上页下页返回上页下页返回五、用适当的变量代换将下列方程化为可分离变量的方程,然后求出通解:1、11yxdxdy；2、1cossin2sin)1(sin222xxxyxyy；3、xyxyxdxdy)(sin12.六、已知微分方程)(xgyy,其中0,010,2)(xxxg,试求一连续函数)(xyy,满足条件0)0(y,且在区间),0[满足上述方程.上页下页返回上页下页返回练习题答案一、1、xeCxysin)(；2、Cyyx2lnln2；3、2321yCyx.二、1、15sincosxexy；2、113322xexxy.三、)1(022121tmkekmktkkv.四、1、Cxxy；2、)32(ln32322xxCyx.上页下页返回上页下页返回五、1、Cxyx2)(2；2、Cxxy1sin1；3、Cxxyxy4)2sin(2.六、1,)1(210,)1(2)(xeexexyyxx.