必修5-正余弦定理课件.ppt

在初中，我们已经能够借助于锐角三角形函数解决有关直角三角形的一些测量问题。在实际工作中我们还会遇到许多其它测量问题，这些问题金庸锐角三角函数就不够了，如：*1、怎样在航行途中测出海上两个岛屿之间的距离？*2、怎样测量底部不可到达的建筑物的高度？*3、怎样测出海上航行的轮船的夯土和航向？这些问题的解决余姚我们进一步学习任意三角形中便于角关系的有关知识。本章学习正余弦定理，将得以解决。1.1.1正弦定理讨论1.在直角三角形中，边角关系有哪些？如何解直角三角形？那么斜三角形怎么办？（三角形内角和定理、勾股定理、锐角三角函数）探究1：在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的关系，我们能否得到这个边、角关系准确量化的表示呢？例1：在Rt▲ABC中，∠C是最大角，所对的斜边c是最大的边，要考率边长之间的数量关系，就涉及到了锐角三角函数。根据正弦函数定义，=SinA，A=SinB，所以，==c.又SinC=1，所以==CB那么在一般的三角形，以上关系是否仍然成立呢？abccacbSinAaSinBbSinAaSinBbSinCc例2：如图，▲ABC是锐角三角形，设边AB上的高是CD，由三角函数定义，CD=asinB，CD=bsinA，所以asinB=bsinA,得到.同理，在▲ABC中，.BbAasinsinCcBbsinsinABCDab*补充其它证法1、（等积法）AS▲ABC=absinC=acsinB=bcsinA两边同时除以abc得，BC21212121CcBbAasinsinsin2、（外接圆法）如图所示，∠A＝∠D，∴=CD=2R同理,∴思考：▲ABC是钝角三角形，以上等式成立吗？DaAasinsinRBb2sinRCc2sinRCcBbAa2sinsinsin经讨论探究得以下定理：*它所对角的正弦的比相等，即正弦定理（lawofsines）在一个三角形中，各边和=（2R）*一般的，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a,b,c叫做三角形的的元素.已知三角形的几个元素求其它元素的过程叫做解三角形*分析正弦定理知，如果已知三角形的任意两角与一边，由内角和定理，可求另一角，由正弦定理计算出另两边;若知三角形两边与其中一边的对角，应用正弦定理可得另一边的对角的正弦值，进而确定其它角和边。CcBbAasinsinsin定理的运用习题1、在ABC中，已知A=32.0°，B=81.8°，a=42.9cm,解三角形。解：根据三角形内角和定理，C=180°—(A+B)=66.2°根据正弦定理得,b=根据正弦定理得，;cm1.800.32sin8.81sin9.42sinsin）（。。ABa）（。。cm1.740.32sin2.66sin9.42sinsinACac2、在ABC中，已知a=20cm,b=28cm,A=40°,解三角形（角度精确到1°，边长精确到1cm）解：根据正弦定理得，因为0°＜B＜180°，所以B≈64°，或B≈116°（1）当B≈116°时，C=180—（A+B）≈180°—（40°+64°）=76°（2）当B≈116°时，C=24°899.02040sin28sinsin。aAbB;cm3040sin76sin20sinsin）（。。ACac）（。。cm1340sin24sin20sinsinACac1.1.2余弦定理探究：如果已知一个三角形的两条边及其所夹的角，如何求此三角形的其它角和另一条边？例：在ABC中，设，∣∣=×===a×a+b×b－2abcosC所以，c=a+b－2abcosC同理，a=b+c－2bccosAb=a+c－2accosBABCabc,,CBaCAbABc,cabc2cc()()abab2aabbab222222222经探究得，余弦定理（lawofcosines）三角形中任何一边的平方等于其它两边的平方的和减去这两边与他们的的夹角的余弦的积的两倍。即应用余弦定理，可从已知两边和夹角计算出三角形的第三边，及其它三角形那个元素。2222222222cos2cos2cosabcbcAbcaacBcababC余弦定理推论222222222cos2cos2cos2bcaAbccabBacabcCab思考：勾股定理指出了直角三角形中三遍平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三百年平方之间的关系，如何看待这两个定理之间的关系？从余弦定理和预先函数的性质克制，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角；如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角；如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角。从上可知，余弦定理可看做勾股定理的推广。习题练习1、在ABC中，已知b=60cm,c=34cm,A=41°,解三角形（角度精确到1°，边长精确到1cm）解：根据余弦定理得，所以，a≈41(cm).由正弦定理得，因为c不是三角形中最大边，所以C是锐角，利用计算器得C≈33°，B=180°--(A+B)≈106°2222cosabcbcA22603426034cos411676.82。，sin34sin41sinC=0.5440.41cAa。2、在ABC中，已知a=134.6cm,b=87.8cm,c=161.7cm,解三角形（角度精确到1′）解：由余弦定理得，A≈56°20′同理，B≈32°53′，C≈90°47′。222cos2bcaAbc22287.8+161.7-134.6287.8161.70.5543，