矩阵论-华中科技大学-课后习题答案

习题一1.判断下列集合对指定的运算是否构成R上的线性空间（1）11{()|0}nijnniiiVAaa，对矩阵加法和数乘运算；（2）2{|,}nnTVAARAA，对矩阵加法和数乘运算；（3）33VR；对3R中向量加法和如下定义的数乘向量：3,,0RkRk；（4）4{()|()0}Vfxfx，通常的函数加法与数乘运算。解：（1）、（2）为R上线性空间（3）不是，由线性空间定义，对0有1=，而题（3）中10（4）不是，若k0，则()0kfx，数乘不满足封闭性。2.求线性空间{|}nnTVARAA的维数和一组基。解：一组基10001010101010000000100..................0010010dimW=n(n+1)/23.如果U1和U2都是线性空间V的子空间，若dimU1=dimU2，而且12UU，证明：U1=U2。证明：因为dimU1=dimU2，故设12,,,r为空间U1的一组基，12,,,r为空间U2的一组基2U，有12rX而1212rrC，C为过渡矩阵，且可逆于是11212121rrrXCXYU由此，得21UU又由题设12UU，证得U1=U2。4.设111213315A，讨论向量(2,3,4)T是否在R(A)中。解：构造增广矩阵111|2111|2|213|3011|1315|4000|0A矩阵A与其增广矩阵秩相同，向量可由矩阵A的3个列向量线性表示，在列空间R(A)中。5.讨论线性空间P4[x]中向量3211Pxxx，32223Pxxx，323452Pxxx的线性相关性。解：23123102135(1)111124PPPxxx而102102135011111000124000，该矩阵秩为2所以向量组P1,P2,P3线性相关。6.设mnAR，证明dimR(A)+dimN(A)=n。证明：12(){,,,}nRALAAA，(){|0,}nNAXAXXR假定dimR(A)=r，且设12,,,rAAA为R(A)的一组基则存在12,,,(1,,)iirikkkirn，其中12,,,iirikkk不全为零使11220(1,,)iiririkAkAkAAirn显然1,11,21,2,12,22,,1,2,()100010001rrnrrnrrrrrnkkkkkkkkkNA上述n-r个向量线性无关，而121,,,,1,0,0Tskkk，sr不为N(A)中的向量，否则与12,,,rAAA线性无关矛盾，故dimN(A)=n-r所以dimR(A)+dimN(A)=n7.设113021211152A，求矩阵A的列空间R(A)和零空间N(A)。解：通过矩阵的行初等变换将矩阵A化为行阶梯形113011302121014111520000A矩阵A的秩为2，从A中选取1、2列（线性无关）作为R(A)的基，于是()121,111TTRAL由0AX，1234(,,,)TXxxxx，rank(A)=2，有12323434xxxxxx分别取341,0xx和340,1xx，求得齐次方程0AX解空间的一组基1410,1101TT所以A的零空间为()1410,1101TTNAL8.在22R中，已知两组基11000E，20100E，30010E，40001E10111G，21011G，31101G，41110G求基{Ei}到基{Gi}的过渡矩阵，并求矩阵0123在基{Gi}下的坐标X。解：4123412341234,iGGGGEEEECCCCCR由此，得过渡矩阵0111101111011110C再由123401011011112311110110xxxx解得0123TX9.判别下列集合是否构成子空间。（1）2221{(,,)|1,,,}WxyzxyzxyzR；（2）22{|,}nnWAAIAR；（3）3R中，231231230{(,,)|(}0}tWxxxxxxd；（4）411{()|0}mnijmnijijWAaa。解：（1）不是3R子空间，对加法及数乘运算不封闭。如取k=2，(100)T，(200)Tk，而22241xyz，1kW。（2）不是子空间，因为W2中没有零元。（3）、（4）为子空间。10.设1(1,2,1,0)T，2(1,1,1,1)T，1(2,1,0,1)T，2(1,1,3,7)T，112{,}Wspan，212{,}Wspan，求12WW和12WW。解：设12WW，则1122xx且3142xx于是，有112231420xxxx即123411210211101103001170xxxx而11211121211101171103001301170000A取41x，得12341,4,3,1xxxx所以121212143WWLL由于rank(A)=3则12121,,WWL11.在矩阵空间22R中，子空间121123434{|0}xxVAxxxxxx，212{,}VLBB，其中11023B，20201B，求（1）V1的基和维数；（2）12VV和12VV的维数。解：（1）1V中，1223422343434111010001001xxxxxxAxxxxxxx令123111010,,001001AAA，可验证A1，A2，A3线性无关，它们构成空间V1的一组基，空间V1的维数dimV1=3。（2）212{,}VLBB中，B1与B2线性无关，它们是V2的一组基，故dimV2=2，而V1+V2=L{A1,A2,A3}+L{B1,B2}=L{A1,A2,A3,B1,B2}在22R的标准基E11，E12，E21，E22下，A1,A2,A3,B1,B2对应的坐标X1,X2,X3,X4,X5排成矩阵123451111011110100020111201020001320013100001XXXXX于是dim(V1+V2)=4，由维数定理121212dim()dimdimdim()3241VVVVVV12.设1W和2W为nV的子空间，1121{(,,,)|0}nTniiWxxxx，21212{(,,,)|}TnnWxxxxxx，证明12nVWW。证明：对W1，由120nxxx，解得1121110001010010001TTTnXkkk显然W1的维数dimW1=n-1，而向量组12111000,10100,10001TTTn为W1的一组基。对W2，由12nxxx，解得211111TXkW2的基为11111T，dimW2=1于是12121121,,,,,,,nnWWLLL这里12111111001det(,,,,)001010011n所以121,,,,n为W1+W2的基，则dim(W1+W2)=n，由维数定理可知12dim()0WW，故有12nVWW13.nR中，12(,,,)Tn，12(,,,)Tn，判别下面定义的实数(,)是否为内积。（1）1(,)niii；（2）1(,)niiii；（3）(,)TA，其中A为正定矩阵。解：（1）不是nR上的内积。设112Tnaaa，212Tnaaa12Tnbbb于是12121111,()(,,)nnnniiiiiiiiiiiiiiiaababababab内积的线性性不满足。（2）与（3）是nR上的内积。可验证对称性、线性性及正定性都满足。13.设125{,,,}是V5的标准正交基，又115，2134，31232，求123{,,}WL的标准正交基。解：W的标准正交基11110001,10221,111012210TTT14.在欧氏空间R4中，求子空间{(1,1,1,1),(1,1,1,1)}TTWL的正交补子空间W⊥。解：设1234TXxxxxW令12(1111),(1111)TT由12,XX得1234123400xxxxxxxx解得1100,1001X所以1010,1001TTWL15.判断下列变换哪些是线性变换（1）R2中，21212(,)(1,)TTTxxxx；（2）R3中，12312123(,,)(,,2)TTTxxxxxxxx；（3）nnR中，A为给定n阶方阵，nnXR，()TXAXA；（4）22R中，()TAA，A为A的伴随矩阵。解：（1）不是，该变换为非线性变换设112Txx，212Tyy则2221211221122121212()()1()11()()TTTTTTxyxyxyxyxxyyTT（2）是线性变换（3）不是，因有00T（4）是线性变换1212223434,aabbABRaabb而112244224242**334433113131()()()ababababaabbTABTABTATBababababaabb124242*343131()()kakakakaaaTkATkk