复合函数的单调性例讲

1复合函数的单调性例讲山西忻州五寨一中摄爱忠高考主要考查：①求复合函数的单调区间；②讨论含参复合函数的单调性或求参数范围问题．①“中间变量”是形成问题转化的桥梁.②函数思想是解决问题的关键．复合函数定义：1.设)(ufy定义域为Ａ，)(xgu的值域为Ｂ，若AB，则y关于x的函数)]([xgfy叫做函数f与g的复合函数，u叫中间变量．外函数：)(ufy；内函数：)(xgu复合函数的单调性：同增异减.2.若)(xgu)(ufy则)]([xgfy增函数增函数增函数减函数减函数增函数增函数减函数减函数减函数增函数减函数3.求解复合函数的单调性的步骤如下：(1)求复合函数定义域；(2)将复合函数分解为若干个常见函数(一次、二次、幂、指、对函数)；(3)判断每个常见函数的单调性；(4)将中间变量的取值范围转化为自变量的取值范围；(5)求出复合函数的单调性。题型1：内外函数都只有一种单调性的复合型.例题1：◇已知函数y=loga(2-ax)在[0,1]上是x的减函数，则a的取值范围是()2(A).(0,1)(B).(1,2)(C).(0,2)(D).[2，+∞)解：设y=logau，u=2-ax，∵a是底数，所以a0，∵函数y=logau在u∈[0,1]上是减函数，而u=2-ax在区间x∈[0,1]上是减函数，∴y=logau是u∈(0,+∞)上的增函数，故a1，还要使2-ax0在区间上总成立，令g(x)=2-ax，由{g(0)=2-a·00g(1)=2-a·10，解得a2，∴1a2，故选(B).变式训练：◇已知函数)121ln(xy，求其单调区间.【分析】：由0121x，得0x，即)0,(x.而函数uyln在),0(u上是增函数，函数121xu在)0,(x上是减函数，故函数)121ln(xy在)0,(x上是减函数.题型2：外函数有一种单调性内函数有两种单调性的复合型.例题2：◇求函数y=log0.5(x2+4x+3)的单调区间.解：令y=log0.5u，u=x2+4x+3，由x2+4x+30知函数的定义域为),1()3,(x，因y=log0.5u在u∈(0,+∞)上是减函数，而u=x2+4x+4在x∈(-∞，-3)上是减函数，在(-1，+∞)上是增函数，根据复合规律知，函数y=log0.5(x2+4x+4)在x∈(-∞，-3)上是增函数；在x∈(-1，+∞)上是减函数.变式训练：◇讨论函数34252xxy的单调性。解：函数定义域为R.令u=x2-4x+3，y=0.8u。指数函数uy52在u∈(-∞，+∞)上是减函数，u=x2-4x+3在(-∞，2]上是减函数，在[2，+∞)上是增函数，∴函数34252xxy在(-∞，2]上是增函数，在[2，+∞)上是减函数。这里没有第四步，因为中间变量允许的取值范围是R，无需转化为自变量的取值范围。题型3：外函数有两种单调性内函数有一种单调性的复合型.例题3：3递减单调递增+∞220x复合函数：外函数：内函数：递减单调递增单调递增0–2–1231◇函数y=2sin(π4-2x)的单调递增区间是()(A).8783，(B).8785，(C).830，(D).40，解：令y=sinu，u=π4-2x，∵u=π4-2x是R上的减函数，而y=sinu在u∈[2kπ+π2，2kπ+3π2](k∈Z)上单调递减，根据函数单调性的复合规律，令2kπ+π2≤π4-2x≤2kπ+3π2得:885kxk当k=0时，8783，x，故选(A).例题4：◇讨论函数y=(log2x)2+log2x的单调性.解：显然函数定义域为(0，+∞).令u=log2x，y=u2+u∵u=log2x在(0，+∞)上是增函数，y=u2+u在(-∞，21]上是减函数，在[21，+∞)上是增函数【注意】:(-∞，21]及[21，+∞)是u的取值范围.令021log2xx，则0＜x≤22，(u≥21log2x≥21x≥22)所以y=(log2x)2+log2x在(0，22]上是减函数，在[22，+∞)上是增函数。用数轴标单调区间如下：①求复合函数的定义域；②求内函数在定义域内的单调区间；③求外函数的单调区间；④求外函数对内函数变量所对应的单调区间；⑤在数轴上标出②④按“同增异减”写出复合函数的单调区间.4变式训练：◇求函数211222log2log1yxx的单调区间．【解析】（1）此函数的定义域：0，；（2）此函数是由函数212221logyuuuxx，（）复合所得；（3）内层函数的单调区间：函数12loguxx（）在0,x单调递减；（4）外层函数的单调区间：函数2221yuu在12u，单调递减，12u，单调递增；（5）根据复合函数的单调性规律，写出复合函数的单调区间：函数211222log2log1yxx在1222ux，，单调递增；在12022ux，，单调递减．【评注】：给出复合函数的单调区间，必须将外层函数中的12u，调整为复合函数的自变量x等价的范围22x，，必须将外层函数中的12u，调整为复合函数的自变量x等价的范围202x，.◇函数19232xxfx的单调递减区间是；单调递减区间是.题型4：内外函数都有两种单调性的复合型.例题5：◇已知函数282,fxxx则22gxfx（A）在区间1,0上是减函数（B）在区间0,1上是减函数（C）在区间2,0上是增函数（D）在区间0,2上是增函数【解析】设228)(uuuf，22xu，外函数：增区间），（1-；减区间），（1；内函数：增区间），（0-；减区间），（05复合函数：2+312-30单调递增单调递减递增单调递增递增单调递减递减外函数：内函数：单调递增递减x0–123451当1,u时，22x1,，即22x＜1，x＞1或x＜-1；当),1[u时，22x),1[即22x≥1，-1≤x≤1用数轴标出单调区间如下：递减递增单调递减单调递增单调递增单调递减单调递增单调递减单调递增复合函数：外函数：内函数：01+∞-∞-1x0–2–3–4–123451显然，A正确.变式训练：◇已知函数282,fxxx则10gxfxxx的递增区间是.【解析】设28)(2uuuf，xxu1；外函数：减区间)4,(；增区间),4(内函数：减区间)1,0(；增区间),1(令3232410xxxx；再令3232410xxxxx或.用数轴标出单调区间如下：故)(xg的单调递增区间为1,32和,32.①求复合函数的定义域；②求内函数在定义域内的单调区间；③求外函数的单调区间；④求外函数对内函数变量所对应的单调区间；⑤在数轴上标出②④按“同增异减”写出复合函数的单调区间.6练习题组：◇函数)1,0()4(log)(aaaxxfa在[]0,1上单调递减，则a的取值范围是（）.（A）(]1,4（B）()1,4（C）,4（D）,4答案为B.【评注】：研究函数的单调区间必须遵循“定义域优先”的原则，不能忽视40ax-在[]0,1恒成立.◇函数)1,0()4(log)(aaaxxfa在[]6,8上单调递增，则a的取值范围是().（A）），（210（B）），（121（C）），（2（D），2◇（2013福建）函数()2()ln1fxx=+的图象大致是A．B．C．D．◇（2014天津）函数()()212log4fxx=-的单调递增区间是（A），0（B）0-，（C），2（D）2--，◇求函数),3()(2322xxfxgxxxf；的单调区间◇函数2sin3log65fxxx的单调区间是.◇函数9log8afxxx在1,上是增函数，求a的取值范围．◇函数2coscos1fxxx的单调性判断错误的是（A）在,3递减（B）在,0递增（C）在0,3递减（D）在5,3递增◇（2014年全国卷）若函数cos2sinfxxax在区间62，是减函数，则a的取值范围是________．◇函数2sin4sin1fxxx的单调递增区间是.◇函数)2cos2(sinlog)(5.0xxxf的单调递减区间是（）.7题型5：已知函数的单调性求参数范围型.例题5：◇已知函数)3(log)(221aaxxxf在区间[2，+∞)上是减函数，则实数a的取值范围是_______。【解析】如下：令u=x2-ax+3a，y=u．因为y=u在(0，+∞)上是减函数∴f(x)=(x2-ax+3a)在[2，+∞)上是减函数u=x2-ax+3a在[2，+∞)上是增函数，且对任意x∈[2，+∞)，都有u＞0。对称轴x=在2的左侧或过(2，0)点，且u(2)＞0。-4＜a≤4◇若f(x)=loga(3-ax)在[0，1]上是减函数，则a的取值范围是_______。【解析】令u=-ax+3＞0，y=logau，由于a作对数的底数，所以a＞0且a≠1，由u=-ax+3＞0得x＜。在[0，1]上，且u是减函数。∴f(x)=loga(3-ax)在[0，1]上是减函数。y=logau是增函数，且[0，1](-∞，a3]＜a＜3．所以a的取值范围是(1，3)。试一试：练习◆已知函数212log()yxaxa在区间（２，+∞）上是减函数，则实数a的取值范围是．]4,(◆若函数log(2)(0,1)ayaxaa在区间（１，３）内单调递增，则a的取值范围是．]32,0(◆若函数2log()ayaxx在]3,21[上单调递增，则实数a的取值范围是．),2(◆已知函数log(1)aayx在区间]52,0(上单调递增，则实数a的取值范围是．)1,52(